2023~2024学年北京市九年级上学期期末复习数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年北京市九年级上学期期末复习数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为．
∴新抛物线为．
故选：C．
2. 如图，已知，，，长为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，，
故选：B．
3. 在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形
C. 等边三角形D. 不能确定
【答案】C
【解析】由题意得，，，
，，
即是等边三角形．
故选：C．
4. 如图，是的直径，C、D是上两点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵AB是的直径，
．
∵和都是所对的圆周角，
，
，
故选：C．
5. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
6. 对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第一、三象限；②当时，随的增大而减少；③图象经过点，；④若点，，，都在图象上，且，则，其中正确的是( )
A. ①②③B. ②③④
C. ①③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】对于反比例函数，
∵
∴图象分布在第一、三象限，故①正确，
②当时，随的增大而减少，故②正确，
③当时，，故③正确，
④不确定与的大小关系，
∴不能确定点、所在的象限，故不能判断的大小关系，④不正确．
故选：A．
7. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】绕点A按逆时针方向旋转α，得到，
，
，，
，
，
，
故选：D ．
8. 如图，在平面直角坐标系中，两点同时从原点出发，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运动时间为秒，以为直径作圆，圆心为点．在运动的过程中有如下5个结论：
①的大小始终不变；
②始终经过原点O；
③半径的长是时间t的一次函数；
④圆心的运动轨迹是一条抛物线；
⑤始终平行于直线．
其中正确的有（ ）
A. ①②③④B. ①②⑤
C. ②③⑤D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】依题意，
∴，
∴的大小始终不变，故①正确；
如图，连接，
∴，
∴始终经过原点O，故②正确
∵
∴半径的长是时间t的一次函数，故③正确；
∵
∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确
∵，，
设直线的解析式为,
则，解得：，
∴直线的解析式为
∴始终平行于直线，故⑤正确．
故选：D
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】，
∴盒子中棋子的总个数是．
10. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
【答案】
【解析】添加，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
11. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则是____________．
【答案】
【解析】设平均每次涨价的百分率为，
由题意得：，
解得：，（舍去，不符合题意），
故答案为：．
12. 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．

【答案】200
【解析】由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）．

【答案】
【解析】正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
14. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则___.
【答案】4
【解析】过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．，，
四边形的面积可表示为：，．
15. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似．
【答案】或
【解析】设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，解得：；
当时，，
即，解得：；
故答案为：或．
16. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】如图所示，
①图形关于y轴成轴对称，故正确；
②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确；
③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；
④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本题有10个题，共68分）
17. 计算：.
解：原式＝4×+1﹣2+2﹣＝2+1﹣2+2﹣
＝3﹣．
18. 如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点．
（1）求n和b的值；
（2）观察图像，不等式的解集为________．
解：（1）把代入得：，
把代入，得：，把代入得：．
（2）不等式的解集为或．
19. 如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．

（1）求线段的长；
（2）求的值．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵为直角三角形，D是边中点，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
解：（1）由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：；
（2）由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；
（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．
解：（1）如图，连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴ADOC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAC＝∠BAD＝×80°＝40°；
（2）连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴，
∵AD＝6，AB＝8，∴，∴AC＝4．
22. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC边长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝6，CE＝4，
∴，
解得AB＝18，
∴AB=AC=BC=18．
23. 一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度，假设AB所在的直线为地面，已知，当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的的位置时，由变为．
（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：，）
（2）已知点O为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点O到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适．请你求出此时枕部E到地面的高度．
解：（1）如图，过点E作，交AB的延长线于点F．
当时，，
此时．
当时，，
此时．
所以调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约．
（2）因为点O为AE的一个三等分点，
所以．
如图，过点O作，垂足为P．
设当人体感觉最舒适时，，则，
所以．
所以当人体感觉最舒适时，枕部E到地面的高度为78cm．
24. 如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至点F，连接，使得．

（1）求证：是的切线；
（2）已知 ，，求的半径长．
（1）证明：如图，连接，，

，，
，
，是直径，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
（2）解：如图，过点作F交DF于点，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
解：（1）将B、C两点的坐标代入，得，解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，

∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y=−；
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，解得：．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+ (−x2+3x)×3=− (x−)2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
26. 如图1，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，ABC＝∠AED＝α°．
（1）当α＝30°时，
①当点D，E分别落在边AC，AB上，猜想BE和CD的数量关系是______；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．分别连接CD，BE，则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，，直接写出线段CD的长．
（1）①解：∠ACB=∠ADE=90，∠ABC=∠AED=30°，
AB=2AC， AE=2AD， .
BE=AB-AE=2 ( AC-AD )，
CD=AC-CD，
BE=2CD，
故答案为： BE=2CD ；
②解：BE=2CD仍然成立，理由如下：
∠ACB=∠ADE=90，∠ABC=∠AED=30°，
AB=2AC， AE=2AD，
，
∠BAC=∠DAE，
∠CAD=∠BAE，
，
，
BE=2CD ；
（2）解：当点E在AB右侧时，如图3，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于F，
∠ABC=∠AED=，
，是等腰直角三角形，
AC＝10，，
， AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∠DAC=∠BAE，
，
，
，
，
∠DEB=∠DEF=90°， AF⊥BF，∠ADE=90°，
四边形ADEF是矩形，
AF=DE=， EF=AD=，
BF=，
BE= ，
CD=；
当点E在AB的左侧时，如图4，过点A作AF⊥BE于点F，
同理可求： BF=，BE=，CD=；
综上所述： CD的长为或.