【高考数学】二轮复习举一反三专练：专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算【八大题型】

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\l "_Tc24472" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc24472 \h 2
\l "_Tc19161" 【题型2 求（复合）函数的导数的方法】 PAGEREF _Tc19161 \h 3
\l "_Tc3673" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc3673 \h 5
\l "_Tc27454" 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc27454 \h 6
\l "_Tc30930" 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 PAGEREF _Tc30930 \h 8
\l "_Tc21498" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc21498 \h 9
\l "_Tc9419" 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 PAGEREF _Tc9419 \h 11
\l "_Tc431" 【题型8 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc431 \h 13
1、导数的几何意义与运算
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−Δx)Δx=−2，则f′−2=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
【解答过程】limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2−Δx)Δx=limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2)+[f(−2)−f(−2−Δx)]Δx
=limΔx→0f(−2+Δx)−f(−2)Δx+limΔx→0f(−2)−f(−2−Δx)Δx=2f′(−2)=−2，
所以f′−2=−1.
故选：B.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0−2Δx)−f(x0)Δx=2，则f′(x0)=（ ）
A．12B．-1C．0D．-2
【解题思路】根据导数定义，即可求出．
【解答过程】因为limΔx→0f(x0−2Δx)−f(x0)Δx=−2limΔx→0f(x0−2Δx)−f(x0)−2Δx=−2f′x0=2，
所以f′x0=−1，
故选：B.
【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积Vcm3与时间t(s)的函数关系是Vt，则函数y=Vt的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.
【解答过程】通过几何体的特征可得，
容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；
容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；
即函数图象的切线斜率先增大后减小，
故选：A.
【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数fx在点x0处附近有定义，且fx0+Δx−fx0=aΔx+bΔx2,a,b为常数，则（ ）
A．f′x=aB．f′x=bC．f′x0=aD．f′x0=b
【解题思路】由导函数的定义可得选项.
【解答过程】解：因为fx0+Δx−fx0=aΔx+bΔx2,a,b为常数，所以f'x0=limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=limΔx→0a+bΔx=a，
故选：C.
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】
【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=lg21x的导函数为（ ）
A．f′(x)=ln2xB．f′(x)=1xln2C．f′(x)=−ln2xD．f′(x)=−1xln2
【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【解答过程】依题知，1x>0，即x>0，
由求导公式：lga′x=1xlna，
复合函数的求导法则：设u=gx，则f′gx=f′u⋅g′x
得：f′x=11xln2×1x′=xln2×−1x2=−1xln2，
故选：D.
【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（ ）
A．(3x)′=3xln3B．x2lnx′=2xlnx+x
C．csxx′=xsinx−csxx2D．2ln(x2+1)′=2xln2x2+1⋅2ln(x2+1)
【解题思路】根据求导运算法则得到答案.
【解答过程】A选项，(3x)′=3xln3，A正确；
B选项，x2lnx′=2xlnx+x2⋅1x=2xlnx+x，B正确；
C选项，csxx′=−xsinx−csxx2，C错误；
D选项，2ln(x2+1)′=2ln(x2+1)ln2⋅1x2+1⋅x2+1′=2xln2x2+1⋅2ln(x2+1)，D正确.
故选：C.
【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f′(π4)cs2x+sinx，则fx在x=π4处的导数为（ ）
A．26B．24C．22D．−22
【解题思路】对fx求导，将x=π4代入求f′π4即可.
【解答过程】由已知可得f′x=−2f′π4sin2x+csx，
所以f′π4=−2f′π4sin2×π4+csπ4，所以f′π4=26
故选：A.
【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数fx=x+12+sinxx2+1，其导函数记为f′x，则f389+f′389+f−389−f′−389=（ ）
A．2B．−2C．3D．−3
【解题思路】函数fx=1+2x+sinxx2+1，分析其性质可求f389+f−389的值 ，再求f′x并讨论其性质即可作答.
【解答过程】由已知得fx=1+2x+sinxx2+1，
则f′x=2+csxx2+1−2x+sinx⋅2xx2+12，显然f′x为偶函数.
令gx=fx−1=2x+sinxx2+1，显然gx为奇函数.
又f′x为偶函数，所以f′389−f′−389=0，f389+f−389=g389+1+g−389+1=2，
所以f389+f′389+f−389−f′−389=2.
故选：A.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线fx=2xcsx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2B．−ln2C．1D．−1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对fx=2xcsx求导得，f′x=ln2×2x⋅csx−2x⋅sinx，由题意曲线fx=2xcsx在x=0处的切线l的斜率为kl=f'0=ln2×20⋅cs0−20⋅sin0=ln2.
故选：A.
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则k的取值范围是（ ）
A．−∞,14B．4,+∞C．−4,+∞D．14,+∞
【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【解答过程】y′=1x−1x2=−1x−122+14≤14，
由导数的几何意义可知，k≤14.
故选：A.
【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数y=fx在P1,f1处的切线如图所示，则f1+f′1=（ ）
A．0B．12C．32D．-12
【解题思路】根据切线过(2,0)和(0,−1)，利用斜率公式求得f'(1)，写出切线方程，再令x=1，求得f(1)即可.
【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,−1)，所以f'(1)=0+12−0=12，
所以切线方程为y=12x−1，
令x=1，则y=−12，
所以f(1)=−12，
所以f(1)+f'(1)=−12+12=0.
故选：A.
【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数fx=x3−12f′1x+f′2图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．0,3π4B．0,π2∪3π4,πC．π2,3π4D．0,π2∪3π4,π
【解题思路】求出f′x，令x=1后可求f′x，再根据导数的取值范围可得tanα的范围，从而可得α的取值范围.
【解答过程】∵fx=x3−12f′1x+f′2，∴f′x=3x2−12f′1，
∴f′1=3−12f′1，∴f′1=2，∴f′x=3x2−1≥−1，
∴tanα≥−1，∴0≤α0，解得m>3或m0)是曲线fx=ex与曲线gx=lnx+2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2B．3C．e+1D．2
【解题思路】由fx求得切线方程，结合该切线也是gx的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y=ax+b，从而求得正确答案.
【解答过程】设t,et是fx图象上的一点，f′x=ex，
所以fx在点t,et处的切线方程为y−et=etx−t，y=etx+1−tet①，
令g′x=1x=et，解得x=e−t，
ge−t=lne−t+2=2−t，所以2−t−ete−t−t=et，
1−t=1−tet，所以t=0或t=1（此时①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去），
所以t=0，此时①可化为y−1=1×x−0,y=x+1，
所以a+b=1+1=2.
故选：D.
【变式7-1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）函数fx=x−alnx在区间1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．1,6B．1,3C．3,4D．4,6
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k=f′x0=1−ax0，
当a≤0时，k=1−ax0>0，故不存在k1k2=−1；
当a>0时，满足：1−a01−a1−a60，则x0,y0在l：4x−y+3=0上，即y0=4x0+3①，
因为fx=lnx−xn+lnm+3m>1，则f′x=1x−1n，
又因为直线l的斜率为4，则f′x0=1x0−1n=4，所以1n=1−4x0x0③，
因为x0,y0在fx=lnx−xn+lnm+3m>1上，
所以y0=lnx0−x0n+lnm+3②，
由①②可得4x0+3=lnx0−x0n+lnm+3④，
将③代入④中可得，4x0+3=lnx0−x0x01−4x0+lnm+3，
化简可得lnm+lnx0−1=0，即m=ex0⑤，
由③⑤可得，mn=ex0x01−4x0=e1x02−4x0，
令1x0=t,t>0，则y=t2−4t=t−22−4,t>0，
当t=2时，即x0=12时，ymin=22−4×2=−4，
所以当x0=12时，mnmin=e⋅−4=−4e，
故答案为:−4e.
【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数fx=12sin2x+π3的图像在x1,fx1处的切线与在x2fx2处的切线相互垂直，那么x1−x2的最小值是 π2 .
【解题思路】求出f′(x)，根据导数的几何意义得到cs(2x1+π3)⋅cs(2x2+π3)=−1，根据余弦函数的最值可得cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=−1，或cs(2x1+π3)=−1且cs(2x2+π3)=1，分两种情况求出x1−x2，然后求出其最小值即可.
【解答过程】因为f(x)=12sin2x+π3，
所以f′(x)=12cs(2x+π3)×2=cs(2x+π3)，
依题意可得f′(x1)⋅f′(x2)=−1，
所以cs(2x1+π3)⋅cs(2x2+π3)=−1,
所以cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=−1，
或cs(2x1+π3)=−1且cs(2x2+π3)=1，
当cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=−1时，
2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π+π，k2∈Z，
所以x1−x2=(k1−k2)π−π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1−x2|=|(k1−k2)π−π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1−k2=0或k1−k2=1时，|x1−x2|取得最小值π2.
当cs(2x1+π3)=−1且cs(2x2+π3)=1时，
2x1+π3=2k1π+π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π，k2∈Z，
所以x1−x2=(k1−k2)π+π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1−x2|=|(k1−k2)π+π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1−k2=0或k1−k2=−1时，|x1−x2|取得最小值π2.
综上所述：x1−x2的最小值是π2.
故答案为：π2.
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【解答过程】设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y−e2=kx−1，
因为y=exx+1，
所以y′=exx+1−exx+12=xexx+12，
所以k=y′|x=1=e4
所以y−e2=e4x−1
所以曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y=e4x+e4.
故选：C.
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb