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考点巩固卷07 导数的概念、运算及其几何意义（八大考点）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）
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这是一份考点巩固卷07 导数的概念、运算及其几何意义（八大考点）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含考点巩固卷07导数的概念运算及其几何意义八大考点原卷版docx、考点巩固卷07导数的概念运算及其几何意义八大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
考点01:导数的定义
1．设函数可导且在处的导数值为1，则______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：.
2．已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.
【详解】由题中的图象可以看出，在内，，
且在内，单调递增，
在内，单调递减，
所以函数在内单调递增，
且其图象在内越来越陡峭，
在内越来越平缓．
故选：D．
3．若，则函数在处可导是函数在可导的（ ）．
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；
必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.
故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.
故选：C
4．某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】D
【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.
【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为.
对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力，
乙企业的污水治理能力.由图可知，，
所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中，
在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D.
考点02:导数的四则运算和复合函数求导
5．求下列函数的导函数：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数求导的除法法则运算即可；
（2）利用函数求导的乘法法则运算即可；
【详解】（1），
（2）
6．求下列函数的导数
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用和的导数运算法则求导得解；
（2）利用商的导数运算法则求导得解.
【详解】（1）因为，则.
（2）由题得=＝＝－.
7．求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得；
（2）根据导数的运算法则计算可得.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
8．（多选）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，可得：
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BD.
9．求下列函数的导函数
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求解；
（2）设，利用复合函数求导法则求解；
（3）化简函数解析式，设，利用复合函数求导公式求解.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）函数可看做函数和的复合函数，
由复合函数求导法则可得，
（3）可化为，
函数可看做函数和的复合函数，
由复合函数求导法则可得，
10．已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④.
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可
【详解】因为,所以①错,
因为,所以②错,
因为,所以③错.
因为,所以④错,
故选：A.
考点03:“在”点处的切线问题
11．已知函数的图像在点处的切线为l，若l与函数的图像也相切，切点为，则___________.
【答案】9
【分析】先求出，求出切线方程，进而求得，即可求解.
【详解】由题意得，则，
所以切线l的方程为，即.
所以，则，.
故答案为：9.
12．已知是实数，函数，若，则曲线在点处的切线方程是_________．
【答案】
【分析】求导后根据求得，再求得切点坐标和斜率，从而可求解.
【详解】函数的导数为，
，即为，
解得，即，
可得曲线在点处的切线斜率为3 ，切点为，
所以切线的方程为，即为.
故答案为：.
13．已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数求导，将代入求出的值即可.
【详解】由题设，则，故，
故在点处的切线斜率为.
故选：A
14．直线是曲线在处的切线方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，利用切点处的导数值为切线斜率，进而把切点代入切线方程可求解.
【详解】由得，所以，
当时，，故切点为，由于切点在上，所以，故，
故选：B
15．曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.
【详解】因为，
所以 ，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：.
16．已知函数，其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为_________．
【答案】
【分析】根据在处的切线方程为可得，且，根据的解析式和导数可求和，从而可求得结果．
【详解】∵在点处的切线方程为，
∴，且，
又，
∴，且，
∴点为，在处切线斜率为，
∴所求切线方程为，即．
故答案为：．
考点04:“过”点的切线问题
17．过点作曲线的切线，则切点的横坐标为_______________，这条切线在x轴上的截距为_______________．
【答案】
【分析】设出切点坐标为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，再由两点间斜率公式可得，解得，即可求得切线方程，进而得出结果.
【详解】设切点坐标为，
因为，所以，
即，解得，
所以切线方程为，
可知该切线在x轴上的截距为．
故答案为：，
18．求过且与曲线相切的直线方程．
【答案】或.
【分析】设切点是，由求导可得，再利用导数的几何意义结合斜率公式可得，解得 或，进而可求切线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】点不在曲线上，
点不是切点，设切点是，
由，可得，
，即 ，
解得 或，
切线的斜率或 ，
切线的方程是或 ，即或.
19．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是__________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.
【详解】由，可得，
设切点为，则，
故切线方程为，即，
又因为切线为，所以，
解得，所以，
故答案为：.
20．（多选）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程.
【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为，
又因为切线过点，所以，整理得，解得或，
当时，切线方程为，即，
当，切线方程为，即.
故选：BC.
21．已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【分析】设切点为，对函数进行求导，且代入可得，故可由点斜式得到切线方程，将代入即可求得或，即可求得切线方程
【详解】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；
将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．
故答案为：或
22．若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案.
【详解】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，
得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.
故答案为：
考点05:已知切线（斜率）求参数
23．若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（ ）
A．–1B．C．0D．1
【答案】C
【分析】求导解方程即得解.
【详解】由题得，所以.
故选：C
24．已知函数曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为________．
【答案】1，1
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应方程组，即可求得答案.
【详解】由题意可得,.
由于直线的斜率为，且过点，
故，即，解得，
故答案为：1，1
25．已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为的定义域为，且，
由题意可得：，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
26．若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知处的切线的斜率为，
又因为，
所以，解得.
故选：A.
27．已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 ______ ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得，再根据基本不等式，求最值.
【详解】函数，
所以
因为函数的图象在处的切线斜率为，
所以，
因为，为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
28．若直线与曲线相切，则_________.
【答案】2
【分析】设切点为，由导数的几何意义可得，令，求导判断单调性，从而可解得.
【详解】设切点为，，则，解得.
令，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，
所以方程的根为.
故答案为：2
考点06:两切线的平行、垂直问题
29．函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于的方程，可求出的值.
【详解】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选：B
30．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.
【详解】由得，故，
由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，
故选：C
31．（ 2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是________．
【答案】
【分析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率，分析题意可得，即可解得a的范围.
【详解】解：由题意，则
不妨设，点和点，两切线的斜率分别为，
∴，∴，
∴等价于，
等价于或
解得，或．故a的范围是．
故答案为：.
32．已知函数.若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】将化为分段函数并求导，根据导数的几何意义得，即，再由推出，代入可求出结果.
【详解】，，
因为，且，
所以,，
所以，，所以，
所以，又，得，
所以，即.
故答案为：
考点07:公切线问题
33．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，即可求得，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.
【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，
则，
由题意知，
即，解得，
故切点为，切线斜率为，
所以切线方程为，即，
故答案为：
34．已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．
【答案】/0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】，
假设两曲线在同一点处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以的最大值为.
故答案为：.
35．已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则______．
【答案】
【分析】求出曲线的切线方程，设曲线的切点坐标为，求出切线斜率，切线方程后，利用两切线重合可得参数值．
【详解】由已知，，又，所以切线方程为，
又，设上切点坐标为，
则，，由得，，
所以，
故答案为：．
36．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】根据常用函数的导数可知：，，
则两函数在点和处的切线分别为：，化简得
由题意可得：，化简得.
故选：B
37．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
38．若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为，，
所以，，
设公切线与切于点，与曲线切于点，，
所以，
所以，所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以实数的最小值为.
故选：A
考点08:与切线有关的最值（范围）问题
39．已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为，即曲线在点处的切线的斜率，
所以倾斜角，即倾斜角的最小值为.
故选：A.
40．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，求两个曲线公切线的斜率即可.
【详解】设，，依题意只需求公切线斜率即可.
，，设切点分别为，，
则切线方程为，即.
，即.
则，由①得，
代入②得：，则，
故公切线斜率为或，如图，.
故选：C.
41．已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设点的横坐标为，则由可得，，
又可得，，
所以，解得或（舍去），
由点为曲线：与曲线：的交点，
所以与为同一点，
所以，即，
令，
则，
令可得，
由知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故实数的最大值为.
故选：B
42．若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．
【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为
因为，所以切线方程为：．
又切线过，则，即
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．
则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：.
43．若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用导数的几何意义求出两个曲线的公切线，建立方程消参得，构造函数，求导研究函数的单调性求值域，解关于a的一元二次不等式即可.
【详解】设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
所以，
所以，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在和上单调递减；在和上单调递增.
又-1，所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
考点01:导数的定义
1．设函数可导且在处的导数值为1，则______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：.
2．已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.
【详解】由题中的图象可以看出，在内，，
且在内，单调递增，
在内，单调递减，
所以函数在内单调递增，
且其图象在内越来越陡峭，
在内越来越平缓．
故选：D．
3．若，则函数在处可导是函数在可导的（ ）．
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；
必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.
故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.
故选：C
4．某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】D
【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.
【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为.
对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力，
乙企业的污水治理能力.由图可知，，
所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中，
在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D.
考点02:导数的四则运算和复合函数求导
5．求下列函数的导函数：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数求导的除法法则运算即可；
（2）利用函数求导的乘法法则运算即可；
【详解】（1），
（2）
6．求下列函数的导数
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用和的导数运算法则求导得解；
（2）利用商的导数运算法则求导得解.
【详解】（1）因为，则.
（2）由题得=＝＝－.
7．求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得；
（2）根据导数的运算法则计算可得.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
8．（多选）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，可得：
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BD.
9．求下列函数的导函数
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求解；
（2）设，利用复合函数求导法则求解；
（3）化简函数解析式，设，利用复合函数求导公式求解.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）函数可看做函数和的复合函数，
由复合函数求导法则可得，
（3）可化为，
函数可看做函数和的复合函数，
由复合函数求导法则可得，
10．已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④.
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可
【详解】因为,所以①错,
因为,所以②错,
因为,所以③错.
因为,所以④错,
故选：A.
考点03:“在”点处的切线问题
11．已知函数的图像在点处的切线为l，若l与函数的图像也相切，切点为，则___________.
【答案】9
【分析】先求出，求出切线方程，进而求得，即可求解.
【详解】由题意得，则，
所以切线l的方程为，即.
所以，则，.
故答案为：9.
12．已知是实数，函数，若，则曲线在点处的切线方程是_________．
【答案】
【分析】求导后根据求得，再求得切点坐标和斜率，从而可求解.
【详解】函数的导数为，
，即为，
解得，即，
可得曲线在点处的切线斜率为3 ，切点为，
所以切线的方程为，即为.
故答案为：.
13．已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数求导，将代入求出的值即可.
【详解】由题设，则，故，
故在点处的切线斜率为.
故选：A
14．直线是曲线在处的切线方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，利用切点处的导数值为切线斜率，进而把切点代入切线方程可求解.
【详解】由得，所以，
当时，，故切点为，由于切点在上，所以，故，
故选：B
15．曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.
【详解】因为，
所以 ，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：.
16．已知函数，其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为_________．
【答案】
【分析】根据在处的切线方程为可得，且，根据的解析式和导数可求和，从而可求得结果．
【详解】∵在点处的切线方程为，
∴，且，
又，
∴，且，
∴点为，在处切线斜率为，
∴所求切线方程为，即．
故答案为：．
考点04:“过”点的切线问题
17．过点作曲线的切线，则切点的横坐标为_______________，这条切线在x轴上的截距为_______________．
【答案】
【分析】设出切点坐标为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，再由两点间斜率公式可得，解得，即可求得切线方程，进而得出结果.
【详解】设切点坐标为，
因为，所以，
即，解得，
所以切线方程为，
可知该切线在x轴上的截距为．
故答案为：，
18．求过且与曲线相切的直线方程．
【答案】或.
【分析】设切点是，由求导可得，再利用导数的几何意义结合斜率公式可得，解得 或，进而可求切线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】点不在曲线上，
点不是切点，设切点是，
由，可得，
，即 ，
解得 或，
切线的斜率或 ，
切线的方程是或 ，即或.
19．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是__________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.
【详解】由，可得，
设切点为，则，
故切线方程为，即，
又因为切线为，所以，
解得，所以，
故答案为：.
20．（多选）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程.
【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为，
又因为切线过点，所以，整理得，解得或，
当时，切线方程为，即，
当，切线方程为，即.
故选：BC.
21．已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【分析】设切点为，对函数进行求导，且代入可得，故可由点斜式得到切线方程，将代入即可求得或，即可求得切线方程
【详解】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；
将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．
故答案为：或
22．若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案.
【详解】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，
得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.
故答案为：
考点05:已知切线（斜率）求参数
23．若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（ ）
A．–1B．C．0D．1
【答案】C
【分析】求导解方程即得解.
【详解】由题得，所以.
故选：C
24．已知函数曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为________．
【答案】1，1
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应方程组，即可求得答案.
【详解】由题意可得,.
由于直线的斜率为，且过点，
故，即，解得，
故答案为：1，1
25．已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为的定义域为，且，
由题意可得：，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
26．若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知处的切线的斜率为，
又因为，
所以，解得.
故选：A.
27．已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 ______ ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得，再根据基本不等式，求最值.
【详解】函数，
所以
因为函数的图象在处的切线斜率为，
所以，
因为，为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
28．若直线与曲线相切，则_________.
【答案】2
【分析】设切点为，由导数的几何意义可得，令，求导判断单调性，从而可解得.
【详解】设切点为，，则，解得.
令，则，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，
所以方程的根为.
故答案为：2
考点06:两切线的平行、垂直问题
29．函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于的方程，可求出的值.
【详解】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选：B
30．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.
【详解】由得，故，
由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，
故选：C
31．（ 2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是________．
【答案】
【分析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率，分析题意可得，即可解得a的范围.
【详解】解：由题意，则
不妨设，点和点，两切线的斜率分别为，
∴，∴，
∴等价于，
等价于或
解得，或．故a的范围是．
故答案为：.
32．已知函数.若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】将化为分段函数并求导，根据导数的几何意义得，即，再由推出，代入可求出结果.
【详解】，，
因为，且，
所以,，
所以，，所以，
所以，又，得，
所以，即.
故答案为：
考点07:公切线问题
33．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
【答案】
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，即可求得，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.
【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，
则，
由题意知，
即，解得，
故切点为，切线斜率为，
所以切线方程为，即，
故答案为：
34．已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．
【答案】/0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】，
假设两曲线在同一点处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以的最大值为.
故答案为：.
35．已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则______．
【答案】
【分析】求出曲线的切线方程，设曲线的切点坐标为，求出切线斜率，切线方程后，利用两切线重合可得参数值．
【详解】由已知，，又，所以切线方程为，
又，设上切点坐标为，
则，，由得，，
所以，
故答案为：．
36．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．－1B．－2C．1D．2
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】根据常用函数的导数可知：，，
则两函数在点和处的切线分别为：，化简得
由题意可得：，化简得.
故选：B
37．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.
【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故选：D.
38．若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为，，
所以，，
设公切线与切于点，与曲线切于点，，
所以，
所以，所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以实数的最小值为.
故选：A
考点08:与切线有关的最值（范围）问题
39．已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为，即曲线在点处的切线的斜率，
所以倾斜角，即倾斜角的最小值为.
故选：A.
40．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，求两个曲线公切线的斜率即可.
【详解】设，，依题意只需求公切线斜率即可.
，，设切点分别为，，
则切线方程为，即.
，即.
则，由①得，
代入②得：，则，
故公切线斜率为或，如图，.
故选：C.
41．已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设点的横坐标为，则由可得，，
又可得，，
所以，解得或（舍去），
由点为曲线：与曲线：的交点，
所以与为同一点，
所以，即，
令，
则，
令可得，
由知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故实数的最大值为.
故选：B
42．若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．
【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为
因为，所以切线方程为：．
又切线过，则，即
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．
则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：.
43．若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用导数的几何意义求出两个曲线的公切线，建立方程消参得，构造函数，求导研究函数的单调性求值域，解关于a的一元二次不等式即可.
【详解】设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
设该直线与相切于点，
因为，所以，所以，
所以该切线方程为，即.
所以，
所以，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在和上单调递减；在和上单调递增.
又-1，所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
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