2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学检测试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．计算（ ）
A．B．C．D．
3．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数是定义域上的单调增函数，则的取值范围是（ ）
A．，B．C．D．
8．已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．RD．
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
12．已知x，y均为正实数，则（ ）
A．的最大值为
B．若，则的最大值为8
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题）
13．计算：的值是 ．
14．若集合，，且，则实数的取值范围为 .
15．函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
(1)求集合；
(2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
19．已知是自然对数的底数，.
(1)判断函数在上的单调性并证明；
(2)解不等式.
20．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2)求不等式的解集.
21．茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是.
(1)求的值；
(2)经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到）
（附：参考值）
22．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．
(1)若，求函数的不动点；
(2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由集合，
又因为，可得.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】由诱导公式可得，
．
故选：A．
3．【正确答案】C
【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上递增，所以B错误，
对于C，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上单调递减，所以C正确，
对于D，的定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
4．【正确答案】B
【详解】由可得：或，
即能推出，
但推不出
“”是“”的必要不充分条件
故选：B
5．【正确答案】D
【详解】解：，，
∴．
故选：D
6．【正确答案】C
【详解】函数的定义域为：，
函数在定义域内是增函数，
函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．
故选：C．
7．【正确答案】A
【详解】解：函数是定义域上的单调增函数，
可得，
解得：，.
故选：A.
8．【正确答案】A
【详解】因为，所以，所以.
设函数，则函数在上单调递增，且.
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，当时，不等式无解.
因为是定义在上的奇函数，所以，
的定义域为，
又，
故为偶函数，且在单调递减，
当时，不等式等价于，即，
因为，故，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：A.
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】ACD
【详解】时，不等式化为，，解集为，
时，不等式化，解集为，
时，不等式化为，，即解集为，
时，不等式化为，
时，或，解集为或，
时，或，解集为或，
故选：ACD．
11．【正确答案】ACD
【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，即，所以，
所以，又，所以，所以，故A正确；
由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确；
故选：ACD
12．【正确答案】ACD
【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为，所以A正确；
B中，由，则，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；
C中，若，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
D中，由，可得，
则，
令，则，
又由，所以当，可得，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
13．【正确答案】5.
【详解】
.
故答案为5.
14．【正确答案】
【详解】由得：，即，解得：，；
，，，即实数的取值范围为.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】
令，则函数的零点为，，
所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数在上有且仅有个零点，
所以，解得．
故．
16．【正确答案】
【详解】在中，令，则有；
的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有，
又，则，得，
可得，，
所以，，，
所以
．
故；．
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）根据题意可知，
又，所以，则；
（2）根据题意可知，
又，所以，
根据诱导公式可知.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合.
（2）因为是成立的必要条件，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
19．【正确答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)或
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，所以，，，
故，即，
所以在上单调递增.
（2）函数的定义域为，且，
所以是偶函数，
又由（1）知在上单调递增，
所以，
两边平方可得，解得或，
故不等式的解集为或.
20．【正确答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期为，
令，得，
所以的单调减区间为.
（2）因为，即，
所以，则，
所以的解集为.
21．【正确答案】(1)；
(2)；
【详解】（1）根据题意，当
代入函数模型，整理得：，
解得.
（2）假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感，
则有：，代入，
得：，
所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感.
22．【正确答案】(1)0和1；
(2)；
(3).
【详解】（1）当时，方程可化为，解得或；
所以，函数的不动点为0和1．
（2）方程，即，可化为．
令，则当时，关于单调递增，且．
由题意，关于的方程在上有两个不等实根．
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且．
所以，．
综上，实数的取值范围为．
（3）不等式可化为．
易知，函数在上最大值为，最小值为；
由题意，，，即．
上述不等式可化为．
令，则当时，．
由题意，，不等式恒成立．
函数在上单调递增，最大值为；
函数在上单调递减，最小值为．
所以，，即．
综上，实数a的取值范围为．