2024-2025学年海南省海口市高一上学期第二次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年海南省海口市高一上学期第二次月考数学检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4}，集合B＝{1，4，6}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{3，6}B．{1，4，6}C．{1，6}D．{4，6}
2．（5分）函数f(x)=2x−3+1x−2的定义域为（ ）
A．(23，2)∪(2，+∞)B．(−∞，23)∪(2，+∞)
C．[32，3]D．[32，2)∪(2，+∞)
3．（5分）若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A．（π6，π3）
B．（2π3，7π6）
C．[2π3，7π6]
D．[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z）
4．（5分）设a＝30.1，b=sinπ3，c＝lg0.13，则（ ）
A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．a＞c＞b
5．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（a，1﹣a），且csα=45，则实数a的值是（ ）
A．4或47B．47C．﹣4D．﹣4或47
6．（5分）已知“∃x∈R，使不等式x2﹣4x﹣a﹣1＜0成立”是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣5，+∞）D．[﹣5，+∞）
7．（5分）max{f（x），g（x）}表示f（x）与g（x）中的较大者，设h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，则函数h（x）的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
8．（5分）已知函数f(x)=x2+4x−1，x≤012x−2，x＞0，若函数y＝f（x）的图象与函数y＝k的图象有2个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞）B．（﹣5，﹣2]
C．（﹣5，﹣2]∪（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个正确答案选对一个得3分，三个正确答案选对一个得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
B．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2
C．当x＞3时，x+4x−1的最小值是5
D．函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）过定点（1，2）
（多选）10．（6分）下列说法正确的有（ ）
A．565°角是第三象限角
B．锐角都是第一象限角
C．若θ为第二象限角，则θ2为第二象限或第三象限角
D．若一扇形面积为π，弧长为π，则其圆心角为π2
（多选）11．（6分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣1.1]＝﹣2，[1.6]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）为奇函数
C．f（x）为R上的增函数
D．y＝f（x）与y=52x−1图象所有交点的横坐标之和为4
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）在0°﹣360°的范围内，与﹣571°终边相同的角是 ．
13．（5分）已知函数f(x)=x2+2，x＜1，1−f(x−2)，x≥1，则f（1）＝ ．
14．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是单调增函数．如果实数t满足f（lnt）+f（ln1t）＜2f（1）时，那么t的取值范围是 ．
四、解答题：（本小题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（13分）求值：
（1）(23)−2+(5−π)0−(3116)0.5；
（2）lg327−lg32⋅lg23−6lg63−lg2−lg5；
（3）sin（﹣1395°）cs1110°+cs（﹣1020°）sin750°．
16．（15分）已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2+2m−4为定义域上的奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集；
（3）当a≥0时，解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2xf（x）＞0．
17．（15分）已知函数f(x)=−2x+a2x+1是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断并用定义证明f（x）在定义域上的单调性；
（3）若对于任意的实数t，不等式f（t2﹣25）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
18．（17分）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆．
（1）设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，用y＝a•bx（a＞0，b＞0且b≠1）的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）
19．（17分）列奥纳多•达•芬奇（Lenard da Vinci，1452﹣1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式φ(x)=acsℎxa，其中a为悬链线系数，cshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为csℎx=ex+e−x2，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为sinℎx=ex−e−x2．
（1）证明：cs2x﹣sin2x＝1；（提示：csh2x＝（cshx）2）
（2）求不等式：sinh（2x﹣1）+sinh（x﹣2）＞0的解集；
（3）函数f（x）＝2csh（2x）﹣2msinh（x）的图象在区间（0，+∞）有零点，求实数m的最小值．
答案与试题解析
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4}，集合B＝{1，4，6}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{3，6}B．{1，4，6}C．{1，6}D．{4，6}
【分析】由集合交集、补集运算即可求解．
解：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，
所以∁UA＝{1，3，5，6}，
又因为B＝{1，4，6}，
所以（∁UA）∩B＝{1，6}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2．（5分）函数f(x)=2x−3+1x−2的定义域为（ ）
A．(23，2)∪(2，+∞)B．(−∞，23)∪(2，+∞)
C．[32，3]D．[32，2)∪(2，+∞)
【分析】根据解析式及根式、分式的性质求定义域．
解：由题设2x−3≥0x−2≠0⇒x≥32x≠2，
所以x≥32且x≠2，
故函数定义域为[32，2)∪(2，+∞)．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
3．（5分）若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A．（π6，π3）
B．（2π3，7π6）
C．[2π3，7π6]
D．[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z）
【分析】先求出角α在一个周期内的范围，由此能求出角α的取值范围．
解：角α的终边落在如图所示的阴影部分内，
则角α在一个周期内的范围是[2π3，7π6]，
则角α的取值范围是[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z），
故选：D．
【点评】本题考查角的取值范围的求法，考查终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）设a＝30.1，b=sinπ3，c＝lg0.13，则（ ）
A．c＞b＞aB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
解：a＝30.1＞30＝1，0＜b=sinπ3=32＜1，c＝lg0.13＜lg0.11＝0，
故a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（a，1﹣a），且csα=45，则实数a的值是（ ）
A．4或47B．47C．﹣4D．﹣4或47
【分析】由任意角的三角函数的定义建立方程，求解即可．
解：由题及任意角的三角函数的定义可得：aa2+(1−a)2=45，且a＞0，
所以7a2﹣32a+16＝0，解得a=47或a＝4．
故选：A．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6．（5分）已知“∃x∈R，使不等式x2﹣4x﹣a﹣1＜0成立”是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣5，+∞）D．[﹣5，+∞）
【分析】先写出命题的否定，再利用二次函数的图象与性质即可求解．
解：“∃x∈R，使不等式x2﹣4x﹣a﹣1＜0成立”是假命题，
则命题的否定为：∀x∈R，不等式x2﹣4x﹣a﹣1≥0恒成立是真命题，
∴Δ＝16+4（a+1）≤0，∴a≤﹣5，
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的范围问题，属于基础题．
7．（5分）max{f（x），g（x）}表示f（x）与g（x）中的较大者，设h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，则函数h（x）的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】由已知作出函数h（x）的图象，结合函数图象即可求解．
解：因为h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，
作出h（x）的图象，结合函数的图象可知，当x＝﹣1时，h（x）取得最小值0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的最值，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数f(x)=x2+4x−1，x≤012x−2，x＞0，若函数y＝f（x）的图象与函数y＝k的图象有2个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞）B．（﹣5，﹣2]
C．（﹣5，﹣2]∪（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
【分析】画出函数f（x）的图象，数形结合求解即可．
解：画出函数f（x）的图象，如图所示：
由图象可知，若函数y＝f（x）的图象与函数y＝k的图象有2个交点，则﹣5＜k≤﹣2或k＞﹣1，
即实数k的取值范围是（﹣5，﹣2]∪（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个正确答案选对一个得3分，三个正确答案选对一个得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件
B．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2
C．当x＞3时，x+4x−1的最小值是5
D．函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）过定点（1，2）
【分析】利用不等式性质判断A；利用一元二次不等式的解法判断B；利用基本不等式判断C；利用指数函数的性质判断D．
解：对于A，“a＞b”是“a2＞b2”的不充分不必要条件，故A错误；
对于B，∵不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
∴﹣1和2是方程ax2+2x+c＝0的两个根，且a＜0，
∴a﹣2+c＝0，解得a+c＝2，故B正确；
对于C，当x≥3时，x+4x−1的最小值是5，故C错误；
对于D，函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）中，当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝1+1＝2，
∴函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）过定点（1，2），故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查不等式性质、一元二次不等式的解法、基本不等式、指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）下列说法正确的有（ ）
A．565°角是第三象限角
B．锐角都是第一象限角
C．若θ为第二象限角，则θ2为第二象限或第三象限角
D．若一扇形面积为π，弧长为π，则其圆心角为π2
【分析】根据终边相同的角的概念判断选项A；根据锐角的定义判断选项B；根据象限角的定义判断选项C；根据扇形的面积与弧长公式计算圆心角，判断选项D．
解：对于A，565°＝360°+205°，205°是第三象限角，所以565°是第三象限角，选项A正确；
对于B，锐角是大于0°且小于90°的角，所以锐角都是第一象限角，选项B正确；
对于C，θ为第二象限角时，2kπ+π2＜θ＜2kπ+π，
所以kπ+π4＜θ2＜kπ+π2，k∈Z，所以θ2是第一象限或第三象限角，选项C错误；
对于D，设扇形的圆心角为α，半径为r，则扇形的面积为12αr2＝π，弧长为αr＝π，
解得r＝2，α=π2，即圆心角为π2，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了象限角与扇形的弧长和面积计算问题，是基础题．
（多选）11．（6分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣1.1]＝﹣2，[1.6]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）为奇函数
C．f（x）为R上的增函数
D．y＝f（x）与y=52x−1图象所有交点的横坐标之和为4
【分析】对A、B：由函数新定义及奇偶性定义判断；对C：借助单调性的定义计算即可得；对D：令x+[x]=52x−1可得[x]=32x−1，结合新定义可得0＜x≤2，再分类讨论求方程[x]=32x−1的解即可得．
解：[x]表示不超过x的最大整数，f（x）＝x+[x]，
则f(12)=12+[12]=12+0=12，A正确；
由f(12)=12，f(−12)=−12+[−12]=−12−1=−32⇒f（x）不为奇函数，B错误；
令x1＞x2，则x1＞x2，[x1]≥[x2]，
故f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝x1﹣x2+（[x1]﹣[x2]）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x）为R上的增函数，C正确；
令x+[x]=52x−1，即[x]=32x−1，
x﹣1＜[x]≤x⇒x−1＜32x−1≤x⇒0＜x≤2，
当x＝2时，有[2]＝2，32×2−1=2，即2为图象交点的横坐标；
当1＜x＜2时，[x]＝1，则1=32x−1，解得x=43，即43为图象交点的横坐标；
当x＝1时，[x]＝1，32×1−1=12则，故1不为图象交点的横坐标；
当0＜x＜1时，[x]＝0，则0=32x−1，解得x=23，即23为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为2+43+23=4，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算能力，属于中档题．
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）在0°﹣360°的范围内，与﹣571°终边相同的角是 149° ．
【分析】根据解终边相同角的概念，求解即可．
解：因为﹣571°＝2×（﹣360°）+149°，
所以0°﹣360°的范围内，与﹣571°终边相同的角是149°．
故149°．
【点评】本题考查了终边相同的角应用问题，是基础题．
13．（5分）已知函数f(x)=x2+2，x＜1，1−f(x−2)，x≥1，则f（1）＝ ﹣2 ．
【分析】由题意得f（1）＝1﹣f（1﹣2）＝1﹣f（﹣1），由此能求出结果．
解：函数f(x)=x2+2，x＜1，1−f(x−2)，x≥1，
则f（1）＝1﹣f（1﹣2）＝1﹣f（﹣1）＝1﹣（1+2）＝﹣2．
故﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是单调增函数．如果实数t满足f（lnt）+f（ln1t）＜2f（1）时，那么t的取值范围是 （1e，e） ．
【分析】根据题意，由函数奇偶性与对数的运算性质可得f（ln t）+f（ln1t）＜2f（1）等价为f（|lnt|）≤f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．
解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，
则f（ln t）+f（ln1t）＝f（ln t）+f（﹣lnt）＝2f（|lnt|），
若f（ln t）+f（ln1t）＜2f（1），则有2f（|lnt|）＜2f（1），
又由函数在区间[0，+∞）上是单调增函数，则有|lnt|＜1，
解可得1e＜t＜e，即t的取值范围为（1e，e）；
故（1e，e）．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）＝f（|a|）是解决偶函数问题的关键．
四、解答题：（本小题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（13分）求值：
（1）(23)−2+(5−π)0−(3116)0.5；
（2）lg327−lg32⋅lg23−6lg63−lg2−lg5；
（3）sin（﹣1395°）cs1110°+cs（﹣1020°）sin750°．
【分析】（1）由指数的运算法则计算即可；
（2）由对数的运算性质计算即可；
（3）由诱导公式化简计算即可．
解：（1）(23)−2+(5−π)0−(3116)0.5
=34+1−(4916)12=34+1−74=0；
（2）lg327−lg32⋅lg23−6lg63−lg2−lg5
=lg3332−lg2lg3⋅lg3lg2−3−12(lg2+lg5)
=32−1−3−12=−3；
（3）sin（﹣1395°）cs1110°+cs（﹣1020°）sin750°
＝﹣sin1395°cs1110°+cs1020°sin750°
＝﹣sin（1440°﹣45°）cs（1080°+30°）+cs（1080°﹣60°）sin（720°+30°）
＝﹣sin（﹣45°）cs30°+cs（﹣60°）sin30°
=22×32+12×12
=6+14．
【点评】本题考查指数对数的运算，诱导公式的应用，属于基础题．
16．（15分）已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)xm2+2m−4为定义域上的奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集；
（3）当a≥0时，解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2xf（x）＞0．
【分析】（1）根据f（x）是幂函数且在定义域上是奇函数即可求出m＝1；
（2）根据f(x)=1x即可得出分式不等式的解集；
（3）代入f(x)=1x得出不等式为：（ax﹣2）（x﹣1）＞0，然后讨论a＝0和a＞0，根据一元二次不等式的解法即可得出原不等式的解集．
解：（1）∵f（x）是幂函数，
∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或2，且f（x）是定义域上的奇函数，
m＝1时，m2+2m﹣4＝﹣1，f(x)=1x是定义域上的奇函数；
m＝2时，m2+2m﹣4＝4，f（x）＝x4是定义域上的偶函数，不满足题意，
∴m＝1；
（2）由（x﹣2）f（x）＞0得：x−2x＞0，解得x＜0或x＞2，
∴不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）；
（3）由f(x)=1x及ax2﹣（a+2）x+2xf（x）＞0得：ax2﹣（a+2）x+2＞0，即（ax﹣2）（x﹣1）＞0，且a≥0，
a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，1）；
a＞0时，不等式变成(x−2a)(x−1)＞0，2a＞1，即0＜a＜2时，不等式的解集为（﹣∞，0）∪(0，1)∪(2a，+∞)；2a＜1，即a＞2时，不等式的解集为（﹣∞，0）∪(0，2a)∪(1，+∞)．
【点评】本题考查了幂函数的定义，奇函数的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，是基础题．
17．（15分）已知函数f(x)=−2x+a2x+1是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断并用定义证明f（x）在定义域上的单调性；
（3）若对于任意的实数t，不等式f（t2﹣25）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）由奇函数性质得f（0）＝0，由此可求出a值，注意检验；
（2）利用函数单调性的定义即可判断证明；
（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立，从而可求k的范围．
解：（1）函数f(x)=−2x+a2x+1是R上的奇函数，则f(0)=−1+a2=0，
解得a＝1，
所以f(x)=1−2x1+2x，
经验证f（x）为奇函数，所以a＝1；
（2）f（x）在定义域R上是减函数，证明：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）=1−2x21+2x2−1−2x11+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，
因为x1＜x2，
所以0＜2x1＜2x2，即2x1−2x2＜0，
又因为(1+2x1)(1+2x2)＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
所以该函数在定义域R上是减函数；
（3）因为f（x）是奇函数，且在定义域R上是减函数；
故对于任意的实数t，不等式f（t2﹣25）+f（2t2﹣k）＜0恒成立
⇔∀t∈R，f（t2﹣25）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2）恒成立
⇔∀t∈R，t2﹣25＞k﹣2t2恒成立
即k＜（3t2﹣25）min＝﹣25，
所以实数k的取值范围是{k|k＜﹣25}．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题及运算能力，属于中档题．
18．（17分）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆．
（1）设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，用y＝a•bx（a＞0，b＞0且b≠1）的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）
【分析】（1）由题意得a⋅b0=1500a⋅b1=2250，然后求解即可；
（2）设从2021年底起经过x年后传统能源汽车保有量为m辆，则1500×(32)x＞50000×(1−2%)x，然后结合对数的运算求解即可．
解：（1）由题意得a⋅b0=1500a⋅b1=2250，
解得a=1500b=32，
所以y=1500×(32)x；
（2）设从2021年底起经过x年后传统能源汽车保有量为m辆，
则有m＝50000×（1﹣2%）x，
令1500×(32)x＞50000×(1−2%)x，
即3×(32)x＞100×(1−2%)x=100×(98100)x=100×(72×2100)x，
化简得lg3+x（lg3﹣lg2）＞2+x（2lg7+lg2﹣2），
解得x＞2−lg32+lg3−2lg2−2lg7≈8.44，
即从2021年底，经过9年后，即2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了对数的运算，属中档题．
19．（17分）列奥纳多•达•芬奇（Lenard da Vinci，1452﹣1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式φ(x)=acsℎxa，其中a为悬链线系数，cshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为csℎx=ex+e−x2，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为sinℎx=ex−e−x2．
（1）证明：cs2x﹣sin2x＝1；（提示：csh2x＝（cshx）2）
（2）求不等式：sinh（2x﹣1）+sinh（x﹣2）＞0的解集；
（3）函数f（x）＝2csh（2x）﹣2msinh（x）的图象在区间（0，+∞）有零点，求实数m的最小值．
【分析】（1）由已知定义，结合指数运算性质即可证明；
（2）先判断函数sinh（x）的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式；
（3）由已知利用换元法，结合对勾函数单调性即可求解．
解：（1）证明：因为csℎx=ex+e−x2，sinℎx=ex−e−x2．
所以cs2x−sinℎ2x=(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=e2x+e−2x+24−e2x+e−2x−24=1；
（2）因为sinℎ(−x)=e−x−ex2=−sinℎx，x∈R恒成立，
故y＝sinhx 是奇函数，
又因为y＝ex在R上严格递增，y＝e﹣x在R上严格递减，
故y=sinℎx=ex−e−x2是R上的严格增函数，
所以sinh（2x﹣1）+sinh（x﹣2）＞0可化为sinh（2x﹣1）＞﹣sinh（x﹣2）＝sinh（2﹣x），
所以2x﹣1＞2﹣x，解得x＞1，所求不等式的解集为（1，+∞）；
（3）因为f（x）＝2csh（2x）﹣2msinh（x）的图象在（0，+∞）有零点，
又x＞0时，sinh（x）=ex−e−x2＞0，
令t＝ex﹣e﹣x，t＞0，
所以m=csℎ(2x)sinℎ(x)=e2x+e−2xex−e−x=(ex−e−x)2+2ex−e−x=t+2t，
根据对勾函数的单调性可知，若y＝m与y＝t+2t有交点，则m≥22，
故m的范围为{m|m≥22}．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
B
A
A
C
C