2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期12月期末联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期12月期末联考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A．B．C．－2D．2
2．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ）
A．的单调递减区间为，单调递增区间为
B．的单调递减区间为，单调递增区间为
C．的单调递减区间为，单调递增区间为
D．的单调递减区间为，单调递增区间为
7．已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ）
A．6B．9C．12D．15
8．已知点P在直线 3x+y−5=0 上，且到直线 x−y−1=0 的距离等于 2 ，则点P的坐标为（ ）
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（ ）
A．B．
C．三角形PAB的面积小于D．三角形PAB的面积大于
11．下列说法正确的是（ ）
A．过点且垂直于直线的直线方程为
B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为
C．曲线过点的最短弦长为；
D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，试用表示经过两点直线的倾斜角 ．
13．已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比 ．
14．若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线CE与平面所成角的正弦值.
16．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于A，两点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，A，在同一条直线上.
17．点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．
(1)求抛物线的方程；
(2)设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线．
18．如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心.
(1)证明：平面；
(2)若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
(1)求椭圆的方程：
(2)过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率．
答案
1．【正确答案】B
【分析】利用向量运算得到得到答案.
【详解】
故
故选：
本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.
2．【正确答案】A
【详解】由题可知，，即，
由四边形的周长为12得，，即，所以，
所以椭圆，则，
设Ax1,y1，，则，
所以四边形的面积为，
故选：A．

3．【正确答案】D
【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，
又由直线，可得直线过抛物线的焦点，
设，根据抛物线的定义可得
所以，
又由，整理得，则，
所以．
故选D．
4．【正确答案】D
【详解】因为，所以，所以抛物线的焦点在轴上，且，
所以，
所以抛物线焦点坐标为，
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，
则，
所以在上恒成立.
又因为在上单调递增，
所以当时，
故.
故选：D.
6．【正确答案】B
【详解】因为，则，由已知可得，解得，
所以，.
由，得；由，得．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
故选：B.
7．【正确答案】D
【详解】由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线，
设抛物线的方程为，，则，解得，
故抛物线方程为，当时，，则，
故选：D.
8．【正确答案】C
【详解】由题意，可设点 Pa,5−3a ，则点P到直线 x−y−1=0 的距离 d=|a−5−3a−1|12+−12=2 ，则 |4a−6|=2 ，解得 a=2 或 a=1 ，所以点P的坐标为 2,−1 或 1,2 .
9．【正确答案】AB
【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可.
【详解】由题意设，，所以，
在中，
如图所示，有两种情况：

故圆心C的坐标为或，
故所求圆的标准方程为
故选：AB.
10．【正确答案】ABC
【详解】过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，当∠PBA最大时，点P与Q重合，
A．设l：，即
当l与圆M相切时，
由韦达定理，故A正确；
B．由选项A得，，故B正确；
C．，
，由题易知直线AB的方程为，
即，则圆心M到直线AB的距离
，所以直线AB与圆M相离，到直线的距离记为h，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，，
，C正确；
D．点P到直线AB的距离的最小值为，，
面积最小值，故D错误．
故选：ABC．
11．【正确答案】AC
【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，
即，对；
B：若截距不为0时，令直线为，则，
此时直线方程为，错；
C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；
D：由过定点，是圆上半部分，如下图，
当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，
当动直线过半圆左侧端点时，即，
结合图知，，D错.
故选：AC
12．【正确答案】
【详解】设直线的倾斜角为，
∵，则，
∴，
又∵，则，
∴.
故答案为.
13．【正确答案】
由可得，从而可求公比.
【详解】由可得，故或，
若 故，若，则，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】∵，
∴该椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为：；
∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴设双曲线的方程为，即，
∵双曲线与有相同的焦点，
∴，∴，∴双曲线的方程为．
故答案为.
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）

解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
16．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意，令，联立抛物线得，
若，则，，
所以，
而线段的中点坐标为，
所以中点的轨迹方程.
（2）令，，同（1）可得，，
由且，则，即，
可设，令，则，即，
所以，，
若，即，
所以,
所以，
即，
化简得，
所以，显然与矛盾，
综上，不成立，故，即，A，在同一条直线上.
17．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意，得，因为，轴，
不妨设，代入抛物线，得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知：，准线为，，
设
直线AC为①，
直线BD为②，
联立①②，解得，即，
直线AD为③，
直线BC为④，
联立③④，解得，即，
直线EK的斜率，
直线GK的斜率，
则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】
（1）由面面平行的性质定理证明
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解
(1)
连接，连接并延长交于点，则点为的中点，
从而点分别是棱的中点，
又平面平面，
平面平面.
又平面，
平面平面，
又平面平面.
(2)
连接是的中点，，
平面平面，平面平面，
平面平面.
连接并延长交于点，则为的中点，
连接，则平面.
为正三角形
同理可得面，则如图建立空间直角坐标系
设.
，
则.
，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
又平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【正确答案】(1)
(2)面积的最大值是，此时的斜率为
【详解】（1）设椭圆上的点坐标为，，则点D到焦点距离为，当时，取得最大值，由题意知：
∴，∴椭圆C的方程为．
（2）显然，直线的斜率存在，
设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得：，
原点到直线的距离为，所以
，
令，．∴，
当且仅当时等号成立，此时，且满足，
∴面积的最大值是，此时的斜率为．A． 1,2
B． 2,1
C． 1,2 或 2,−1
D． 2,1 或 −1,2