2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期12月期末联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省清远市清新区高二上学期12月期末联考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了非选择题的作答， 已知直线， 抛物线的焦点坐标为， 已知点P在圆C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ）
A. B. C. －2D. 2
答案：B
解析：
故
故选：
2. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得
到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题可知，，即，
由四边形的周长为12得，，即，所以，
所以椭圆，则，
设，，则，
所以四边形的面积为，
故选：A．

3. 已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：D
解析：由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，
又由直线，可得直线过抛物线的焦点，
设，根据抛物线的定义可得
所以，
又由，整理得，则，
所以．
故选D．
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为，所以，所以抛物线的焦点在轴上，且，
所以，
所以抛物线焦点坐标为，
故选：D.
5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，
则，
所以在上恒成立.
又因为在上单调递增，
所以当时，
故.
故选：D.
6. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ）
A. 的单调递减区间为，单调递增区间为
B. 的单调递减区间为，单调递增区间为
C. 的单调递减区间为，单调递增区间为
D. 的单调递减区间为，单调递增区间为
答案：B
解析：因为，则，由已知可得，解得，
所以，.
由，得；由，得．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
故选：B.
7. 已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
答案：D
解析：由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线，
设抛物线的方程为，，则，解得，
故抛物线方程为，当时，，则，
故选：D.
8. 点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
答案：C
解析：∵点在直线上，∴设，
利用点到直线的距离公式得：，解得：或，
∴点的坐标为或.
故选：C.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：AB
解析：由题意设，，所以，
在中，
如图所示，有两种情况：

故圆心C的坐标为或，
故所求圆标准方程为
故选：AB.
10. 已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（ ）
A. B.
C. 三角形PAB的面积小于D. 三角形PAB的面积大于
答案：ABC
解析：过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，当∠PBA最大时，点P与Q重合，
A．设l：，即
当l与圆M相切时，
由韦达定理，故A正确；
B．由选项A得，，故B正确；
C．，
，由题易知直线AB的方程为，
即，则圆心M到直线AB的距离
，所以直线AB与圆M相离，到直线的距离记为h，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，，
，C正确；
D．点P到直线AB的距离的最小值为，，
面积最小值，故D错误．
故选：ABC．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 过点且垂直于直线的直线方程为
B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为
C. 曲线过点的最短弦长为；
D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围
答案：AC
解析：A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，
即，对；
B：若截距不为0时，令直线为，则，
此时直线方程为，错；
C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；
D：由过定点，是圆上半部分，如下图，
当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，
当动直线过半圆左侧端点时，即，
结合图知，，D错.
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____．
答案：
解析：设直线的倾斜角为，
∵，则，
∴，
又∵，则，
∴.
故答案为.
13. 已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．
答案：
解析：由可得，故或，
若 故，若，则，
故答案为.
14. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________.
答案：
解析：∵，
∴该椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为：；
∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴设双曲线的方程为，即，
∵双曲线与有相同的焦点，
∴，∴，∴双曲线的方程为．
故答案为.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解析：

解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
16. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上.
答案：（1）；
（2）证明见解析.
（1）解析：
由题意，令，联立抛物线得，
若，则，，
所以，
而线段的中点坐标为，
所以中点的轨迹方程.
（2）解析：
令，，同（1）可得，，
由且，则，即，
可设，令，则，即，
所以，，
若，即，
所以
所以，
，
，显然与矛盾，
综上，不成立，故，即，，在同一条直线上.
17. 点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．
（1）求抛物线的方程；
（2）设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线．
答案：（1）；
（2）证明见解析.
（1）解析：
由题意，得，因为，轴，
不妨设，代入抛物线，得，
所以抛物线的方程为；
（2）解析：
由（1）知：，准线为，，
设
直线AC为①，
直线BD为②，
联立①②，解得，即，
直线AD为③，
直线BC为④，
联立③④，解得，即，
直线EK的斜率，
直线GK的斜率，
则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线.
18. 如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心.
（1）证明：平面；
（2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）
（1）解析：
连接，连接并延长交于点，则点为的中点，
从而点分别是棱的中点，
又平面平面，
平面平面.
又平面，
平面平面，
又平面平面.
（2）解析：
连接是的中点，，
平面平面，平面平面，
平面平面.
连接并延长交于点，则为的中点，
连接，则平面.
为正三角形
同理可得面，则如图建立空间直角坐标系
设.
，
则.
，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
又平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率．
答案：（1）
（2）面积的最大值是，此时的斜率为
（1）解析：
设椭圆上的点坐标为，，则点D到焦点距离为，当时，取得最大值，由题意知：
∴，∴椭圆C的方程为．
（2）解析：
显然，直线的斜率存在，
设直线方程为，，，
联立直线与椭圆方程得：，
原点到直线的距离为，所以
，
令，．∴，
当且仅当时等号成立，此时，且满足，
∴面积的最大值是，此时的斜率为．