2024-2025学年山东省聊城市高二上学期第三次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省聊城市高二上学期第三次月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．与a的取值有关
3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．3D．
5．如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ）

A．B．C．D．
6．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A．B．9C．5D．6
7．直角坐标系中直线上的横坐标分别为−2，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为B．的面积为1
C．到双曲线的一条渐近线的距离为2D．双曲线的离心率为
11．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．点A到平面的距离为
D．平面与平面所成的角的大小为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 .
13．已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为 .
14．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
(1)求圆C的方程：
(2)若直线与圆的交点为两点，求.
16．如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
17．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
18．在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程；
(3)在（2）的条件下，求弦长.
19．已知为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为，且过点.
(1)求的标准方程；
(2)过的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足；
①证明：点在一条定直线上；
②求四边形面积的最小值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】设直线倾斜角为，
直线的斜率为，
又倾斜角的取值范围为，所以直线的倾斜角.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交.
故选：A.
3．【正确答案】D
【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距，
又虚半轴长且，
∴双曲线的渐近线方程是.
故选：D
4．【正确答案】C
【详解】解：设，
依题意可知抛物线准线x=−1，
，，
，．
直线PF的斜率为，
故选C．
5．【正确答案】B
【详解】是面积为的正三角形，
，解得.
，代入椭圆方程可得，
与联立，解得.
故选：B
6．【正确答案】D
【详解】由点，得直线，圆的圆心，半径，点C到直线的距离，
因此点P到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值为.
故选：D.
7．【正确答案】A
【详解】直线上的横坐标分别为−2，的两点、的坐标分别为，，
如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点，
则、的夹角为，又，，，
，，，
则
，
解得，而，则.
故选：A.
8．【正确答案】C
【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．
【详解】，不妨令，，，
，，
又由双曲线的定义得：，，
，
，．
在中，，
又，，
双曲线的离心率．
故选;C
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确；
对于B，因为，所以共面，故B正确；
对于C，假设存在，，使得，
则，显然无解，所以不共面，故C错误；
对于D，因为，所以共面，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，由得，所以双曲线C的渐近线方程为，所以A正确；
对于B，由双曲线，可得，则，设，则，所以，得，因为点P在双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；
对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；
对于D，由双曲线方程可知，所以离心率，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】AC
【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，，
设，
由E为的中点可得，
解得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示：
，，，，，
则，，，，
对于A，易知，
所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确；
对于B，设平面的法向量为，，即，
取，，
设与平面所成的角为，则，选项B不正确；
对于C，点A到平面的距离为，选项C正确.
对于D，设平面的法向量为，，
则，即，取，
，，
所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确.
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】由题意设双曲线的标准方程为，
代入点，得，得，
所以双曲线的标准方程为.
故
13．【正确答案】/
【详解】
由椭圆定义得，又因为，
所以，，
又，，结合勾股定理得，
解得，则，
所以椭圆的离心率为.
故答案为.
14．【正确答案】8
【分析】
由抛物线方程确定焦点坐标、准线方程，设A(x0,y0)(y0＞0)，利用抛物线的定义、勾股定理求出x0,y0，进而求△AFK的面积.
【详解】
由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故8
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为
圆的半径.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
17．【正确答案】(1)或
(2)
【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，化简，
又因为直线PA、PB的斜率存在，则.
故动点的轨迹的方程为.
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，
又为线段AB的中点，
则有，，代A即得直线的斜率为，
直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点，
整理可得直线的方程为.
（3），
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
故.
19．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程；
（2）①由已知直线斜率一定存在，可设直线与，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得点及直线方程，联立直线与可得点，进而得证；
②由已知，结合弦长公式可得AB，则面积
【详解】（1）由已知双曲线离心率，即，
则双曲线方程为，
又曲线过点，
即，解得，
即双曲线方程为；
（2）
由（1）得，
①由已知直线的斜率存在且，
设直线，Ax1,y1，Bx2,y2，且，
联立直线与双曲线，
得，
恒成立，
且，，
即，解得，
又为，中点，则，
则，
即，
则直线，
又直线过点，且过点，
则，
联立与，即，解得，
即，
即点在直线上；
②，
，
又点满足，
则四边形为平行四边形，且，
则，
设，，则，
则，
设，则
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取最小值为，
即当时，的最小值为.
方法点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．