2024-2025学年河北省保定市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高二上册12月联考数学检测试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为直线的倾斜角，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
解析：∵为直线的倾斜角，
∴直线斜率，
∴.
故选：A.
2. 在正三棱锥中，为外接圆圆心，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
解析：如图，在正三棱锥中，取中点，连接，
则点为底面中心，且在上，
则
.

故选：D.
3. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A. 2B. 3C. -2D. -3
【正确答案】A
解析：因为，，且q为整数，
所以，，即q=2.
所以.
故选：A
4. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
解析：设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
5. 已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：由题意可设直线：，将点的坐标代入，
得，则，则.
不妨假设在轴上，则，
记为坐标原点，因为线段与的长度分别为，，
所以的面积，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
6. 已知为的导函数，则的大致图象是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】A
解析：由题意知，，定义域为，
又，所以为奇函数，排除BD；
又，排除C；
结合选项，A符合题意.
故选：A
7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
解析：根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，
因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为，
易知，一个周期内的三个数字之和为；
所以数列的前项的和为.
故选：C
8. 曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为
坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A. 曲线关于对称B. 的最大值为
C. 该椭圆的离心率为D. 的最大值为
【正确答案】C
解析：由方程可以看出其关于，对称，A正确；
由题意知，，，，，B正确：
联立方程，解得顶点坐标为和，所以椭圆长轴长为；同理可得另外两个顶点坐标为和，所以椭圆的短轴长为，所以，所以该椭圆的离心率为：，C错误；
看作关于的一元二次方程，，解得，D正确，
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（ ）
A. 的坐标为B. 若，则
C. 若，则的最小值为3D. 面积的最小值为2
【正确答案】ACD
解析：由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，
则由可得，，
所以，所以
而，
当且仅当时等号成立，故，故，
故，故A正确；
若，则，故，故的斜率为，
其倾斜角为或，故B错误；
若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立，
故的最小值为3，故C正确；
，
当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.
故选：ACD.
10. 已知数列满足，关于数列有下述四个结论：其中正确的是（ ）
A. 数列为等比数列
B.
C.
D. 若为数列的前项和，则
【正确答案】ACD
解析：因为，
所以，
所以，
所以，
所以数列为公比为3的等比数列,所以A正确;
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以,故C正确；
由累加法得,所以B错误；
由分组求和得,
所以D正确.
故选：ACD
11. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ）
A. 存点P，使得
B. 的最小值为有
C. 面积的最小值为
D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
【正确答案】ACD
解析：由题意得，，即，
又在直三棱柱中，底面，平面，平面，
，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，，所以，，，，，，，则，，
设（），则，解得，，，
所以，
对于A选项，，，
要使，即，解得，
当，即在中点时，，故A选项正确；
对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示，
连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值，
由题意得，，，，，，
所以，，，，
则，
在中，由余弦定理得，
，则，
所以的最小值为，故B选项错误；
对于C选项，，，设（），
则，即，
所以，
则，
因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；
对于D选项，
，故D选项正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______．
【正确答案】
解析：根据题意，数列满足，
当时，有；
当时，有，不符合，
故
故
13. 已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____.
【正确答案】##
解析：设为坐标原点，则，
从而.

设的左焦点为，连接，
由双曲线的定义，得.
在中，由余弦定理，得，
解得.
由，得，解得，
所以.
故答案为.
14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
【正确答案】##
解析：由得，即，
设，则，，
当时，，所以在上单调递增．
因为x，y均为正实数，所以，
由，可得，即．
由知，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以．
则．令，
则，所以上单调递减，
所以，所以，即的最小值为．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【小问1解析】
因为线段是底面圆的直径，所以，所以，
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
所以，设点到直线的距离为，
则，故点到直线的距离为；
【小问2解析】
由（1）可知，，
设为平面的一个法向量，
则由，可取，
设为平面的一个法向量，
则由，可取，
设平面与平面所成角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
16. 已知圆上一点
（1）求圆在点处的切线方程；
（2）过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【小问1解析】
由题意，点在圆上，可得，
因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即；
【小问2解析】
如图， 由（1）知圆，又点，，
当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，，
点到的距离为3，则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
代入中，整理得：，
设，由韦达定理，，即，
代入，可得，即，
于是，
则得，
点到直线的距离为：，
则，解得或，
故直线的方程为或.
17. 若数列的前项和为，且，等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【正确答案】（1），
（2）
【小问1解析】
因为①，
所以②，，
①②得，又
所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列，
，
，
等差数列的公差为.
【小问2解析】
由（1）可得，
，
两式相减得，
18. 已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
（1）求的方程；
（2）证明：为定值；
（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【小问1解析】
由已知，得，解得，则椭圆的方程为；
【小问2解析】
依题意，可设点，且，

点关于原点的对称点为，
点在上，，作差得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
，即为定值；
【小问3解析】
设弦的中点，点重心,，

由，得，
，且，
的重心在轴上，，
，
则，
在上的投影向量相等，则，且，
则直线的方程为，
，得，又点在上，
，即
又，则直线的方程为
19. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【小问1解析】
由题意可得，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为；
【小问2解析】
有两个不同的解可化为有两个不同的解，
令，
则，
（ⅰ）若，则，由得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
①当时，，即，故没有零点，不满足题意．
②当时，，只有一个零点，不满足题意．
③当时，，即，
当时，，，
又，故，所以，又，
故在上有一个零点．
又，因此在上有一个零点，
所以当时，有两个不同的零点，满足题意．
（ⅱ）若，由得，．
①当时，，
当时，；当时，；当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
又，所以至多有一个零点，不满足题意．
②当时，，则，
所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意．
③当时，，
当时，；当时，；当时，．
所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意．
综上，实数a的取值范围为．