重庆市第一中学校2025届高三上学期12月月考数学

这是一份重庆市第一中学校2025届高三上学期12月月考数学，共6页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数，则
A．2B．C．1D．
2.已知集合，则
A．(1，3)B．C．D．
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4.函数在区间内的零点个数为
A．4B．3C．2D．1
5.已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则
A．2B．－2C．－1D．2或－2
6.已知函数，若（为自然对数的底数），使得，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7.计算的结果是
A．2B．C．1D．
8.已知分别为双曲线的左，右顶点，分别为的左、右焦点，为原点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，若线段的长为双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为
A．2B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列关于轨迹方程的说法，正确的是
A．已知点，若，则动点的轨迹方程为
B．已知面积为16的正方形的顶点分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程为
C．斜率为的动直线与椭圆交于两点，记线段的中点为，点，则线段的长度的最小值为
D．若，向量，则同时满足且的点有且仅有一个
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是
A．平面
B．直线与平面所成角为
C．异面直线和所成的角为
D．过点的平面截四棱锥所得的截面面积为
11.过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是
A．
B．数列的通项为
C．当时，
D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知平面向量满足，，则________.
13.与圆台的上下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若某圆台的上底面圆的半径为1，且该圆台的内切球半径为2，则该圆台的侧面积为________.
14.已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出该对称中心________；若函数也为中心对称函数，其中，则满足条件的点（a，b）的个数是________.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若有极小值，且极小值不大于，求实数的值.
16.（本小题满分15分）
记的内角的对边分别为，已知，且.
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长.
17.（本小题满分15分）
如图，是斜三棱柱的高，，，点，在线段上，其中是的中点，.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知圆的圆心在抛物线上，且圆与抛物线的准线相切.如图，过抛物线上的三个不同点（在之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点.
（1）求圆和抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点的横坐标为4时，以为直角顶点，作抛物线的两个内接及，求线段的交点坐标.
19.（本小题满分17分）
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.
已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球（6个球的大小形状完全相同）.记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为.
（1）求；
（2）求；
（3）证明：.