中考数学二轮培优训练第14讲 相似三角形中的“一线三等角”模型（2份，原卷版+解析版）

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(1)“三垂直”模型
如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型
如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
[来源
【多题一解】
一、解答题
1．（2022秋·四川内江·九年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
2．（2022·四川成都·模拟预测）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
(2)连接EF，求∠FEC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
3．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022·山东济南·模拟预测）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．
5．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当时，连接DG，请直接写出___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．
6．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
7．（2021·山东滨州·统考中考真题）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
8．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
9．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长
10．（2021·黑龙江哈尔滨·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点直线与轴交于点，与轴交于点，，的面积为2．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，线段上有一点，直线为，轴，将绕点顺时针旋转，交于点，求点的坐标．（用含的式子表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点，若，求点的坐标．
11．（2022秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期中）（1）正方形中，对角线与相交于点O，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系： ；
（2）如图2，将（1）中的绕点B逆时针旋转得到，连接，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形和有公共顶点，且，则 ．
【一题多解】
1．（2021秋·吉林长春·九年级统考期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
2．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
3．（2022秋·浙江·九年级期末）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
4．（2022·四川乐山·统考一模）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
（1）求证：△AOC∽△BEA；
（2）若m=3，则点B的坐标为 ；若m=﹣3，则点B的坐标为 ；
（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．
(1)___________；当时，_________；
(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当是等腰三角形时，请求出的值．
6．（2021·浙江衢州·统考中考真题）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
7．（2021·吉林松原·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AD﹣DE﹣EA向终点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段QC上，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜12）．
（1）当点P在线段EA上运动时，求线段PE的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AC边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）当点N与点E不重合时，作直线NE，直接写出直线NE将△ABC分成的两部分图形的面积比为1：2时t的值．
8．（2021·福建龙岩·统考二模）抛物线经过点，，直线过点，，点是抛物线上点，间的动点（不含端点，），过作轴于点，连接，．
（1）求抛物线与直线的解析式：
（2）求证：为定值；
（3）若的面积为1，求满足条件的点的坐标．
9．（2021·浙江丽水·统考中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．
（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．