中考数学一轮复习真题探究+变式训练专题04 方程（组）及其应用（8大考点）（2份，原卷版+解析版）

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例1 （2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例2 （2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3 （2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）
基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.
性质3：如果，那么（对称性）
性质4：如果，，那么（传递性）
【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.
【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a、b、c满足，，则=_______．
【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知，且，求证： ．
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
例2 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．
例3 （2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：
其中车速为40、43（单位：）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．
(1)求出表格中的值；
(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．
知识点一、一元一次方程及其解法
一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可
以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。
温馨提示
形如(其中，为常数，且)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。
知识点二、一次方程（组）的实际应用
1、列一次方程(组)解应用题的步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；
设：设关键未知数；
列：根据题中的等量关系，列方程(组)；
解：解方程(组)；
验：检验所解答案是否符合题意；
答：规范作答，注意单位名称。
2、常见的关系式
【变式1】（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．B．C．5D．9
【变式2】（2022·浙江金华·二模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是－8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B=4，则C点表示的数是（ ）
A．1B．－1C．1或－2D．1或－3
【变式3】（2020·浙江·模拟预测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是______．
【变式4】（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．
【变式5】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）根据小王在两个超市看到的商品促销信息解决下列问题：
(1)当一次性购物标价总额是元时，甲、乙两超市实付款分别是多少？
(2)当一次性购物标价总额是多少时，甲、乙两超市实付款一样？
核心考点三 二元一次方程的解法及其应用
例1 （2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ）
A．9B．10C．11D．12
例2 （2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
例3 （2022·贵州黔西·中考真题）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
(2)若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
知识点一、二元一次方程（组）及其解法
1、二元一次方程（组）定义
二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）
（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）
一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简单。
当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关
系时，选择加减消元法较简单。
注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。
知识点二、三元一次方程组
1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的
次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
【变式1】（2022·广东·华南师大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【变式3】（2021·四川成都·三模）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为_________________．
【变式4】（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则2a－b＝______．
【变式5】（2022·河南洛阳·二模）已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数，的系数与所求代数式中，的系数之间的关系，本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：，由①②得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
问题解决：
(1)已知二元一次方程组，则值为 ，的值为 ．
(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，则的值为 ．
核心考点四 分式方程的解法及其应用
例1 （2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
例2 （2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
例3 （2020·新疆·中考真题）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
知识点一、分式方程的相关概念
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。
增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，这样的根叫方程的增根。
知识点二、解分式方程
例：
解：最简公分母：
检验：当时，
所以原分式方程的解为
知识点三、分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的一般步骤
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清等量关系。
设：设出未知数。
列：根据题中的等量关系，列出分式方程。
解：解分式方程
验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。
答：完整作答（包括单位）
常见模型及关系式
【变式1】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
A．B．C．D．
【变式3】（2022·山东省淄博第六中学模拟预测）关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ．
【变式4】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【变式5】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
核心考点五 一元二次方程及其解法
例1 （2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3B．0C．3D．9
例2 （2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
例3 （2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
知识点、一元二次方程及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）
，其中叫做二次项 ，是二次项的系数；叫做一次项，是一次项的系数；叫常数项。，，是任意实数，且。
一元二次方程的解法
对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。
【变式1】（2021·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）已知（为任意实数），则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【变式2】（2021·山东滨州·三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【变式3】（2022·广东深圳·模拟预测）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程x=-1时，突发奇想：x=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么当x2=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根．据此可知：方程x2-4x+5=0的两根为 __．(根用i表示)
【变式4】（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
【变式5】（2022·云南昆明·一模）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
核心考点六 一元二次方程根的判别式
例1 （2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
例2 （2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
例3 （2021·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
知识点、一元二次方程根的判别式
易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。
如：已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.
【变式1】（2022·河南安阳·二模）将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【变式2】（2022·宁夏·吴忠市第三中学一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围（ ）
A． B．C．D．且
【变式3】（2022·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．若之间关系满足，则的值为__________．
【变式4】（2022·安徽·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
【变式5】（2022·湖北黄石·一模）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
核心考点七 一元二次方程根与系数的关系
例1 （2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
例2 （2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
例3 （2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
知识点、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）
若，是一元二次方程的两个实数根，那么，
【变式1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k
【变式2】（2022·重庆巴蜀中学三模）已知：，（其中为a整数，且）；有下列结论，其中正确的结论个数有（ ）
①若M·N中不含项，则；②若为整式，则；③若a是的一个根，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式3】（2022·四川眉山·模拟预测）若实数，满足的值为______．
【变式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）已知实数a、b满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为______．
【变式5】（2022·湖北·黄石十四中模拟预测）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
核心考点八 一元二次方程的实际应用
例1 （2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．（20﹣x）2＝20xB．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
例2 （2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
例3 （2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
知识点、一元二次方程的应用
【变式1】（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【变式2】（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ）
A．10cmB．8cmC．14cmD．12cm
【变式3】（2022·吉林·长春市第四十八中学模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．
【变式4】（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）已知与中，，，，且点、、在同一直线上，连接，则的面积为______．
【变式5】（2022·江苏宿迁·一模）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有A、B两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中x轴表示一次性购票人数，y轴表示每张票的价格，如：一次性购买A场比赛门票10张，票价为400元/张，若一次性购买A场比赛门票80张，则每张票价为200元．
(1)若一次性购买B场比赛门票10张，则每张票价为___________元（直接写出结果）．
(2)若一次性购买A场比赛门票张，需支付门票费用多少元？（用a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人购买一张门票）分两组分别观看A、B两场比赛，共花费32160元，若观看A场比赛的人数不足50人，则有多少人观看了B场比赛？
【新题速递】
1．（河南省驻马店市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·全国·七年级专题练习）某冷饮店中的A种可乐比B种可乐每杯贵3元，小霖买了2杯A种可乐、3杯B种可乐，一共花了31元，问A种可乐、B种可乐每杯分别是多少元？若设A种可乐x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
4．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·湖北·武汉市第六初级中学七年级阶段练习）如图所示的是年月份的月历，月历中，用以下形状的四个阴影图形依次分别覆盖其中四个数字，若覆盖的四个数字之和为，则不可能是哪一个形状覆盖的结果（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·广东·东莞市伊顿海逸外国语学校七年级期中）小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2B．，2C．8，D．5，4
7．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
第三次操作；将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）
…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；
④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
8．（2022·重庆八中模拟预测）关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，则
④满足的正整数解共有25个
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022·江苏·南京市竹山中学七年级阶段练习）如果关于的方程的解是，则______．
10．（2022·全国·八年级专题练习）一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数大36，则这个两位数是______．
11．（2022·吉林省第二实验学校八年级阶段练习）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为______．
12．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校九年级期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 __．
13．（2022·上海嘉定·八年级期末）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为______．
14．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
15．（2022·江苏·苏州高新区第二中学七年级阶段练习）解方程：
(1) (2)
16．（2022·福建省福州第十四中学七年级期中）解下列方程组：
(1)； (2)．
17．（2022·福建福州·八年级期末）已知，．
(1)当时，求x的取值范围；
(2)设．
①当时，求x的值；
②若x为整数时，求y的正整数值．
18．（2022·四川省南充市第九中学九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程为有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设为此方程的两根，且满足，求的值．
19．（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学八年级阶段练习）某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用2400元购进A种科普书的数量是用950元购进B种科普书数量的2倍．
(1)求A，B两种科普书每本进价各是多少元；
(2)该书店计划A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为86元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还多4本，若A，B两种科普书全部售出，使总获利超过1560元，则至少购进B种科普书多少本？
20．（2022·江苏江苏·九年级期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
核心考点
核心考点一 等式的基本性质
核心考点二 一元一次方程的解法及其应用
核心考点三 二元一次方程组的解法及其应用
核心考点四 分式方程的解法及其应用
核心考点五 一元二次方程及其解法
核心考点六 一元二次方程根的判别式
核心考点七 一元二次方程根与系数的关系
核心考点八 一元二次方程的实际应用
新题速递
车速（）
40
41
42
43
44
45
频数
6
8
15
3
2
去分母
若未知数的系数有分母，则要去分母。注意要在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
去括号
若方程含有括号，则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。若去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项均要 。
移项
把含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。一般把含 的项移到等式左边。移项要改变符号。
合并同类项
把方程化成 （）的形式。
系数化为1
方程两边同 未知数的系数，得到方程的解。
行程问题
基本关系式:路程=速度×时间.
相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.
追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的路程.
储蓄问题
本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.
销售问题
总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.
分配问题
总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.
增长率问题
已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.
数字问题
十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c
甲超市促销信息栏
乙超市促销信息栏
全场折
不超过元不优惠；
超过元而不超过元，打折；
超过元，元部分优惠，超过元部分打折．
定义
方程的解
解的情况
二元一次方程
含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。
有无数组解
二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
一般地，二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解。
只有一组公共解
基本
思路
去分母，化分式方程为整式方程。
一般
步骤
①方程两边同时乘以各分式的 ，化为整式方程；
②解整式方程；
③检验，把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0，若结果不为0，说明此解是原分式方程的解；若为0，则为增根，原分式方程无解。
验根
方法
方法一：利用方程解的定义，直接代回原方程检验；
方法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0。
行程问题
基本关系式：
常用关系式：（注意统一单位）
；
工程问题
基本关系式：
常用关系式：

销售问题
基本关系式：
常用关系式：
解法
适用情况
方程的根
直接开平方
，
，
配方法
（，）→
公式法
（，）

因式分解法
→
，
一元二次方程（）的判别式
方程 实数根
方程 实数根
方程 实数根
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
变化率问题
设为原来的量,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量,则；当为平均下降率,为下降后的量时,
利率问题
本息和=本金+利息
利息=本金×利率×期数
销售利润问题
毛利润=销售总额-进货总额
纯利润=销售总额-进货总额-其他费用
利润率=利润÷成本×100%
销售总额=售价×销量
进货总额=进价×进货数量
单循环问题
若共有个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛场