广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷

这是一份广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数，，则（ ）.
A．B．C．2D．5
2．已知函数定义域为，则命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（ ）.
A．B．C．D．2
4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
5．已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A．B．
C．D．
6．设函数，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
8．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）.

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，函数，则（ ）.
A．关于直线对称
B．的最大值为
C．在上不单调
D．在，方程（为常数）最多有3个解
10．已知为坐标原点，点是抛物线的焦点，过点的直线交于两点，为上的动点（与均不重合），且点位于第一象限，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．△OMN面积的最小值为2
11．已知函数，则（ ）
A．至少有一个零点
B．存在，使得有且仅有一个极值点
C．点是曲线的对称中心
D．当时，在上单调递减
三、填空题
12．在单调递增的等差数列中，若，，则 .
13．已知，则的值为 .
14．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求函数的最小值.
16．在中，角所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的最小值.
17．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面，.
(1)证明：．
(2)为的中点，求直线BM与平面所成角的正弦值.
18．随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
19．记直线为椭圆的上准线.已知椭圆的上、下焦点分别为，，若椭圆上有一点，记到上准线的距离为，且是与的等差中项.
(1)当取最大值时，求椭圆的离心率；
(2)令，的面积为，判断数列的单调性并加以证明.
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学
9天
6天
12天
3天
张老师
6天
6天
6天
12天
《广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷》参考答案
1．A
【分析】由复数运算法则化简后运用模长公式计算即可.
【详解】.
故选：A.
2．A
【分析】根据偶函数的定义易判断充分性，通过举反例，说明必要性不满足即得.
【详解】若为偶函数，则有，充分性满足；
若，则有.，即，
而为奇函数，因此必要性不满足.
故命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的充分不必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】利用向量数量积为0解方程即可得出结果.
【详解】由，则，
即，即.
解得.
故选：D.
4．C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
5．B
【分析】设出点坐标，根据中点坐标公式得到、两点的坐标，结合已知条件利用垂直关系，分直线斜率不存在，和直线斜率存在两种情况求解即可.
【详解】设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
由圆的性质可知，
当时，直线斜率不存在，
此时直线斜率为，所以，，，
当时，有，即，
整理得：，
经检验在直线上，
所以的轨迹方程为：.
故选：B.
6．B
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
且，即为偶函数，
当时与，与均在上单调递增，
所以与均在上单调递增，
所以在上单调递增，则不等式等价于，
即，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
7．A
【分析】由题意可得，，进而说明平面，再求得球的半径，根据即可求得答案.
【详解】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径
O为中点，
∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
设，由球O的体积为，可得，
则，
∴三棱锥的体积为9，
故选∶A．
8．C
【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解.
【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故.
所以.
可设，，.
由于
，故.
从而，，故，.
在中，由余弦定理得，
，解得，
所以.
故选：C.

9．BC
【分析】先求不等式，的解集，利用函数新定义化简，从而作的大致图象，数形结合逐项判断即可得解.
【详解】若，则，
即，即，
若，则，
即，即，
故，
故的大致图象如图，
对于A：由图象可得不关于直线对称，故A错误；
对于B：由图象可得的最大值为，故B正确；
对于C：当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，故C正确：
对于D：由图象，当时，方程在有4个解，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
【分析】利用焦点坐标可判定A，利用平行线性质化两角和为一个角可判定B，利用抛物线的定义化折线段和为直线段可判定C，设的方程利用点到直线的距离公式及弦长公式计算面积，并根据二次函数的性质求最值即可.
【详解】对于A选项，由题意知，故，所以，故A正确；
对于B选项，由题意知轴，所以，
所以，
又，即，故B正确；
对于C选项，由抛物线的性质知，，
因此当三点共线时，取得最小值，
此时，
即，故C错误；
对于D选项，设直线的方程为，
与抛物线的方程联立得，
故，，
因此
，
又因为点到直线的距离为，
所以△OMN的面积为，
当时，△OMN的面积取最小值2，故D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【分析】借助零点的存在性定理可得A；结合导数、极值点定义与二次函数的性质可得B；借助对称性定义计算可得C；利用导数与单调性的关系计算可得D.
【详解】对A：由，当时，，
故在上必有零点，即至少有一个零点，故A正确；
对B：若存在，使得有且仅有一个极值点，
则有唯一变号零点，
由二次函数性质可知，二次函数在上不可能有唯一变号零点，
故不存在，使得有且仅有一个极值点，故B错误；
对C：
，
有，
故点是曲线的对称中心，故C正确；
对D：，
当，，由，则，
故在上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
12．0
【分析】根据等差中项可得，进而可得，，即可求公差和.
【详解】因为数列为等差数列，则，
又因为，且数列单调递增，可得，，
则公差，所以.
故答案为：0.
13．
【分析】利用两角和与差的余弦公式进行化简；
【详解】由，得，
则，
即得，即，
则.
故答案为：.
14． 80
【分析】利用平均数的定义求出90名学生的平均成绩，根据局部方差和整体方差的公式进行求解.
【详解】甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分，
方差为
故答案为：80，
15．（1）；（2）.
【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程.
(2)利用导数判断函数的单调性，进而得到最小值.
【详解】（1），
所以函数的图象在处的切线斜率.
又，切点坐标为，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
令，得.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以函数的最小值为.
【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数求最值.函数的图象在处的切线方程为.求连续可导函数 的最值时，先求导数，解方程，再讨论函数的单调性得出最值.
16．(1)
(2).
【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求；
（2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，
由余弦定理可得，
因为B∈0,π，
所以.
（2）由已知，所以.
因为，所以，
可得，
所以
，
又，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用题中条件证明，然后利用面面垂直和线面垂直的性质定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，由直线与平面所成的角为，利用，即可求解.
【详解】（1）设的中点为，连接，，，
因为，，，
所以四边形为正方形，所以，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
可得，令，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线BM与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）运用古典概型求概率即可．
（2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望．
（3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果．
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为，
所以．
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，
记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望
（3）证明：由题知，
所以，
所以，
所以，
即：，
所以，
即.
19．(1)
(2)单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义及其范围解不等式可得，再由椭圆定义即可得；
（2）由得出面积的表达式，构造函数利用导数得出其单调性，即可判断数列的单调性.
【详解】（1）由题意可知，，
准线的方程为，
根据椭圆的定义可得，
则，
设点，则有，
椭圆下顶点的坐标为，上顶点的坐标为，
因为在上，则，即，
解得，
可知的最大值为，此时，
所以椭圆的离心率.
（2）因为，则，
且，可得，
则，，
，
所以，则，
构造函数，
则，
当时，，所以；
当时，，所以在时单调递减；
且，，即，
综上所述，当时，单调递减，
注意到，
所以且当时，单调递减.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用表达式求出，再利用的表达式构造函数利用导数求出其单调性，即可得出结论.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
B
B
A
C
BC
ABD
题号
11









答案
ACD









X
1
2
P
0.1
0.9