河南省TOP二十名校2025届高三上学期调研考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省TOP二十名校2025届高三上学期调研考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．“”是“的终边落在第一象限或落在第四象限”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3．不等式的解集为( )
A.RB.C.D.
4．已知命题,;命题,是素数（素数是指只有1和它本身两个因数的数）,则( )
A.p和q都是真命题B.和q都是真命题
C.p和都是真命题D.和都是真命题
5．已知函数在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
7．在中,若,,,则BC边上的高为( )
A.1B.C.D.2
8．若函数,则( )
A.存在最大值,且最大值为B.不存在最小值
C.存在最小值,且最小值为5D.存在最小值,且最小值为
二、多项选择题
9．设M,N,P为非空实数集,定义,则( )
A.B.
C.D.
10．已知中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为CA延长线上一点,的平分线交直线CB于E,若,,,则( )
A.
B.
C.的面积为
D.
11．下列不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知为第一象限角,,则________.
13．若扇形AOB的面积为S,则当扇形AOB的周长取得最小值时,该扇形的圆心角的弧度数为________.
14．已知函数的定义域为R,且,若,则的取值范围为________.
四、解答题
15．已知集合,.
（1）若,求m,n的值;
（2）若,求的最大值.
16．已知.
（1）求的单调区间;
（2）若,求在的值域.
17．已知函数,,令.
（1）根据五点作图法完善以下表格,并在如图所示的直角坐标系中作出函数在上的图象;
（2）判断在上零点的个数,并给出判断的依据.
18．在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足.
（1）求B;
（2）若,,E为AC的中点,求;
（3）若,,D为外接圆上一点（D与B位于AC的异侧）,当四边形ABCD的面积取得最大值时,求BD的长.
19．已知函数（）,,.
（1）当时,求的值域;
（2）证明:当时,曲线是中心对称图形;
（3）若P为曲线,的公共点,且,在P处存在共同的切线,则称该切线为,的共切线,若曲线与曲线存在两条互相垂直的共切线,求值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为或,
,
则,
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：当时满足,但是的终边落在x轴的正半轴,则充分性不成立;
当时,的终边落在第一象限,则必要性不成立.
综上,“”是“的终边落在第一象限或落在第四象限”的既不充分又不必要条件.
故选:D.
3．答案：C
解析：由,得.
故选:C
4．答案：A
解析：由已知,因为函数,,所以,,
得命题p为真命题,所以命题为假命题;
当时,是素数,所以命题q为真命题,命题为假命题.
综上p和q都是真命题.
故选:A.
5．答案：B
解析：显然,又因为函数图象的对称轴方程为,
又函数在R上单调递增,所以,即,
解得,即实数a的取值范围是.
故选:B.
6．答案：A
解析：由图象,得函数的定义域为,
且图象关于y轴对称,即为偶函数,当,.
选项B,C中,当,,故排除B,C;
选项A,D中,当时,,,结合图象,排除D.
故选:A.
7．答案：C
解析：由余弦定理,得,
设BC边上的高为h,则,解得.
故选:C.
8．答案：C
解析：由函数,
当时,,所以函数没有最大值,所以A错误;
由函数的几何意义表示为到的图象上任一点距离的平方,
即,作出函数的图象,
设使得存在最小值,则满足,可得,
即在上有解,即方程在上有解,
当时,由函数,都是增函数,
则单调递增,所以在上至多存在一个零点,
因为,所以在上存在一个零点2,
所以取得最小值为,所以B错误,C正确,D错误.
故选:C.
9．答案：ACD
解析：对于A,由MN的定义得,显然成立,故A正确;
对于B,由MN的定义得,,故B错误;
对于C,设,,则,
,所以成立,故C正确;
对于D,设,则,
所以,
又,
所以,
所以成立,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：AC
解析：因为,,,所以由正弦定理,得,故A正确;
由余弦定理得,,因为,所以,故B错误;
的面积为,故C正确;
由余弦定理,得,因为,所以,
因为,AE是的角平分线,所以,
所以.
在中,由正弦定理,得·解得,故D错误.
故选:AC.
11．答案：BCD
解析：对于A,,,
所以,故A错误;
对于B,因为,所以,又,所以,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,令,当时,,
所以在上单调递减,
所以,即,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：
解析：因为为第一象限角,,所以,
所以.
故答案为:.
13．答案：2
解析：设扇形AOB的半径、弧长分别为r,l,
则,即,
所以周长,
当且仅当时取等号,
所以当扇形AOB的周长最小时,圆心角的弧度数为.
故答案为:2.
14．答案：
解析：因为,所以,
所以,即,
所以4上函数的一个周期,所以,
因为,所以.
故答案为:.
15．答案：（1）,.
（2）
解析：（1）.
（1）因为,所以关于x的不等式的解集为,
所以1,2是的两个根,
所以所以,,经验证满足题意.
（2）因为,所以,成立,
令,则
即
所以,当且仅当时,即,时取等号,
所以的最大值为
16．答案：（1）单调递减区间为,递增区间为
（2）
解析：（1）,令得,,
当时,,当时,,
所以的单调递减区间为,递增区间为.
（2）因为,,所以,
所以,
,
因为,
因为,所以,所以,
所以在的值域为.
17．答案：（1）答案见解析
（2）零点的个数为4,依据见解析
解析：（1）表格如下:
运用描点法得在上的图象如图所示:
（2）法一:令,可得,
故函数的零点个数即为与的图象的交点个数,
如图,在同一坐标系中作出函数在的图像,
得函数,在上的图象共有4个不同的公共点,
所以在上零点的个数为4.
法二:令,则,
所以或,
即或.
因为,所以或或或,
所以在上零点的个数为4.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为,
由正弦定理,得,
整理,得,
由余弦定理,得.
因为,所以.
（2）因为,
所以.
（3）由正弦定理,知,
因为,,,所以,所以,
因为,所以,所以,.
因为A,B,C,D四点共圆,所以,,
当四边形ABCD的面积取得最大值时,D为的中点,
即,,
,
在中,由正弦定理得,,
所以,所以.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）,
解析：（1）令,则,所以,
即,,
当时,,
所以,且,
当时,,
因为当时,,,所以,在上单调递增
因为对任意成立,所以当时,,在上单调递减,
所以的最小值为,
又因为,,所以,,
由的图象是连续曲线得,的值域为.
（2）当时,令,
即,定义域为,
所以
,
即,
所以曲线关于点对称.
（3）设曲线与曲线的两条互相垂直共切线的切点横坐标分别为,,
其公共切线的斜率分别为,,则,
因为,所以,
不妨设,则,,
因为,
由共切线的定义得,,所以,
同理,所以.
因为曲线上的点也在曲线上,
所以,所以,
当,时,
因为,所以可以取,,
则,,
,,
所以曲线与曲线在公共点
和公共点处分别存在一条共切线,且这两条共切线互相垂直,
所以,.
x
y
0
x
y
0
1
0
0