2024-2025学年重庆市万州区高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年重庆市万州区高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5B．6C．8D．12
4．两平行直线：，：之间的距离为（ ）
A．B．3C．D．
5．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若直线与直线平行，则的值可以是（ ）
A．0B．2C．D．4
10．已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（ ）
A．B．平面平面
C．D．点到平面的距离为
11．已知点，直线及圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上，则与相切
B．若点在圆上，则被圆截得的弦长为
C．若点在圆外，过点作圆的切线，则为过两切点的直线
D．若点在圆内，过点的直线与圆交于点，则圆在处的切线的交点在l上
三、填空题（本大题共3小题）
12．设向量，若，则 .
13．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率 .
14．我国南北朝时期的著名数学家祖原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，运用祖原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即，现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线.
(1)若直线与直线：平行，求的值；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
16．已知：．
（Ⅰ）设点为上的一个动点，求的范围；
（Ⅱ）直线过点，且与交于、两点，若，求直线的方程．
17．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝3，CD＝2，BC，E在AB上，且AD＝AE．将△ADE沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PB＝PC，如图2．
（1）证明：平面PDE⊥平面BCDE；
（2）求二面角C﹣PB﹣E的正弦值．
18．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为2直线与椭圆相交于，两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的面积的最大值．
19．在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】由题意直线，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，
可得，所以，即直线的倾斜角为.
故选：A.
2．【正确答案】A
【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是.
故选：A.
3．【正确答案】C
【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案.
【详解】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，
，
所以
.
故选：C.
4．【正确答案】A
【详解】由题意得：
直线，，
，，两直线为平行直线，
直线，
两平行直线之间的距离为．故选A.
5．【正确答案】D
【详解】圆的圆心为，
圆的圆心为，所以线段的中点坐标为，
又，则，
所以直线的方程为，即.
故选：D.
6．【正确答案】D
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为.
故选D.
7．【正确答案】A
【详解】由题意知圆的方程为，设，，
则,所以,又在圆上，所以，
即，即的轨迹方程为.如图所示，
当与圆相切时，取得最大值，
此时，，所以的最大值为.
故选:A
8．【正确答案】B
【分析】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围.
【详解】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为，
半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，
因为不在圆上，故，
所以的取值范围是.
故选B.
【关键点拨】本题解决的关键是根据直线垂直以及过定点得到点的轨迹是圆，从而得解.
9．【正确答案】AB
【详解】因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.
故选.
10．【正确答案】BCD
【详解】因为∥，且，则为平行四边形，
可得∥，且平面，平面，
所以∥平面，因为∥，且，则为平行四边形，
可得∥，且平面，平面，
所以∥平面，又，平面，
所以平面∥平面，故B正确；
如图，

分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，
，，
，，
故不成立，成立，故A错误，C正确；
设平面的法向量，，
则，令，则，即，
又，
所以，故点到平面的距离为，故D正确.
故选：BCD
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，点在上，则，圆的圆心到的距离，
故与相切，A正确；
对于B，点在圆上，则，圆的圆心到的距离：
，所以被圆截得的弦长为，B错误；
对于C，设两切点分别为，由A选项分析可知：
圆在点处的切线方程分别为，
因为点在两切线上，所以，
所以点都在直线上，C正确；
对于D，由选项C知，设圆在处的切线的交点为，
则的方程为，由点在该直线上，所以，
所以点在直线上，D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】2
【详解】因为，所以，即，故.
故2.
13．【正确答案】##
【分析】求出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，即可求得椭圆的离心率的值.
【详解】在中，，，则，
，则，
由椭圆的定义可得，则.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】构造一个底面半径为，高为的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，则，所以，，
故截面面积为，
把代入，即，解得，
所以，橄榄球形几何体的截面面积为，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可.
（2）首先分别求出直线在轴和轴的截距，从而得到，再解方程即可.
(1)
因为，所以，解得.
(2)
令，得，即直线在轴上的截距为.
令，得，即直线在x轴上的截距为.
因为直线在两坐标轴上的截距相等，
所以，解得或.
则直线的方程是或.
16．【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
（Ⅰ）设，由题意得直线与有公共点，所以圆心到直线的距离，代入圆心到直线距离公式，即可求得答案；
（Ⅱ）当直线垂直于轴时，经检验，符合题意，当直线不垂直于轴时，设出直线，根据弦长公式，即可求得圆心到直线距离d的值，根据圆心到直线距离公式，即可求得k值，综上即可得答案.
【详解】（Ⅰ）设，则直线与有公共点，
所以圆心到直线的距离，即，解得．
（Ⅱ）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为，，这两点的距离为，满足题意；
当直线不垂直于轴时，设其方程为，即，
设圆心到此直线的距离为，则，解得，
即，解得，此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或．
本题考查直线与圆位置关系的应用，解题的关键在于，根据题意，得到圆心到直线的距离d的范围或取值，再利用点到直线距离公式进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
17．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：如图，
取DE的中点O，连接PO，则PD＝PE，故PO⊥DE，
取BC的中点M，连接MO，则MO∥BE，故MO⊥BC，
连接PM，因为PB＝PC，M为BC的中点，所以PM⊥BC，
又PM∩OM＝M，PM，OM⊂平面PMO，
所以BC⊥平面PMO，又PO⊂平面PMO，
则BC⊥PO，
在平面BCDE内，BC与DE相交，因此PO⊥平面BCDE，
又PO⊂平面PDE，
故平面PDE⊥平面BCDE；
（2）解：由（1）可知，PO⊥平面BCDE，连接CE，
则BC，BE＝1，故，
连接CO，则CO⊥DE，则CO，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，
所以，，
设平面PBC的法向量为，
则，即，
令x＝1，则，
故，
设平面PBE的法向量为，
则，即，
令，则b＝﹣1，c＝1，
故，
所以，
故二面角C﹣PB﹣E的正弦值为．
18．【正确答案】（1）；（2）；（3）.
（1）由题意，可列出方程组得，即可求出椭圆方程；
（2）直线，联立，整理得，写出韦达定理，最后利用椭圆弦长公式能求出的长；
（3）当直线的斜率不存在时，直线轴，分别求出，的坐标，根据求出的面积；当直线的斜率存在，且不为0时，可得直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得，写出韦达定理和，再根据求出的面积，最后根据双勾函数的性质求出面积的取值范围，综合即可得出的面积的最大值.
【详解】解：（1）由题可知，椭圆的离心率为，且椭圆过点，
则，解得：，，
故椭圆的方程为；
（2）过点作斜率为2直线，直线，
联立，整理得：，
设，，，，则，，
；
（3）由于直线过点直线，设，，，，
当直线的斜率不存在时，直线轴，
此时将代入，解得：，
即，的坐标分别为，
则的面积为：；
当直线的斜率存在，且不为0时，可设直线的方程为：，
联立，整理得：，
则，
而的面积为：，
即
，
令，则，得 ，
所以，
由于，由双勾函数的性质得，
则
所以综上得：，
所以的面积最大值为.
19．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，
即，即，
所以“椭圆”的方程为；
（2）由方程，得，
因为，所以，即，
所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“椭圆”的范围为，，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，
将点代入得，，
即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于轴，轴，原点对称；
（3）
由题意可设椭圆的方程为，
将点代入得，解得，
所以椭圆的方程为，，
由题意可设直线的方程为，
联立，得，
恒成立，
则，
因为的中点为，
所以直线的中垂线的方程为，
同理直线的中垂线的方程为，
设，则是方程的两根，
即是方程的两根，
所以，
又因为，
所以，
两式相比得，所以，
所以，
所以直线与的斜率之积为定值．