2025届高考数学二轮专题复习与测试专题2数列的综合问题课件

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大题考法1　等差(比)数列的判定与证明　已知在数列{an}中，a2＝3，其前n项和Sn满足n　an＋n＝2Sn(n∈N*).(1)求证：数列{an}为等差数列；
【解】　证明：因为nan＋n＝2Sn(n∈N*)，所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1，两式相减可得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋1，即nan－1＝(n－1)an＋1，由nan－1＝(n－1)an＋1，可得(n＋1)an＋1－1＝nan＋2，两式相减可得(n＋1)an＋1－nan＝nan＋2－(n－1)an＋1，化简可得2nan＋1＝n(an＋2＋an)，所以2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*), 所以数列{an}为等差数列．
(2)若bn＝2ancs (n2π)，求数列{bn}的前20项和T20.【解】　由nan＋n＝2Sn(n∈N*)，可得a1＋1＝2S1＝2a1，解得a1＝1，由(1)知，数列{an}为等差数列，因为a2＝3，所以d＝a2－a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以bn＝22n－1cs (n2π)，
(2)设bn＝(－1)n lg4(an＋1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
大题考法2　数列求和 　(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；【解】　当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an－1＝(n－2)an，当n＝2时，可得a1＝0，
(1)运用错位相减法求和的关键
(2)裂项相消法求和需过的“三关”
(3)分组(并项)法求和的要求有些数列的项与项数的奇偶性、周期性、三角函数值有关，可以将原数列的通项公式分组(并项)转化为若干个简单数列公式的和差，整体转化后求和．
(2)若bn＝lg3(an－1)，求数列{anbn}的前n项和Tn.解：因为bn＝lg33n＝n，所以anbn＝n(3n＋1).令数列{n·3n}的前n项和为Pn，则Pn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Pn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，②①－②得
(2)记bn＝nan，若在数列{bn}中，bn≤b4(n∈N*)，求实数p的取值范围．
求解有关数列综合问题的策略(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，可转化为函数的最值问题求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
已知等比数列{an}满足a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.(1)求数列{an}的通项公式；