2024-2025学年四川省成都市高二上册11月诊断性评价数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高二上册11月诊断性评价数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．经过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率可能是0.2
B．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C．数据，，，，，，19，的第百分位数是
D．若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的标准差是
4．已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（ ）
A．1B．C．1或D．
5．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥，与相互对立
B．
C．但不满足两两独立
D．且两两相互独立
8．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率
10．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球的体积为
B．平面被球截得的截面圆的面积为
C．存在点，使得平面
D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点为，，过左焦点斜率存在且不为的直线交椭圆于两点，过的切线为，的中点为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为B．的周长为
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
13．如图所示，平行六面体中，，．用向量表示向量= ．
14．已知过动点向圆作两条相互垂直的切线，记动点的轨迹为曲线，过定点作两条相互垂直的射线交分别为，线段的中点为，则动点的轨迹曲线为 ；过点分别作曲线的两条切线，切点为，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的夹角的余弦值．
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差
17．设点，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若.
（i）当时，求的面积；
（ii）求的取值范围.
18．为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
(1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
19．已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于．
(1)当时，求直线的方程；
(2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由；
(3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明．
答案
1．【正确答案】D
【详解】解：因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，即，
又倾斜角，所以.
故选：D
2．【正确答案】B
【详解】直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，即；
若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为：，
把点代入可得：，解得．
∴直线方程为：，即．
综上可得满足条件的直线的条数为2．
故选：B
3．【正确答案】D
【详解】对于A， 由题个体被抽到的概率可能是，故A错误；
对于B，因，，，，的平均数为，
则，
则数据方差为：，故B错误；
对于C，对数据从小到大排序得： ，， ，，19，，，.
因，则第百分位数为第个数据，故C错误；
对于D，因，，…，的方差为，则，，…，的方差为，
标准差为，故D正确.
故选：D
4．【正确答案】C
【详解】圆的标准方程为：，
所以其圆心为，半径为
设圆心为关于直线的对称点为，
则，解得，则，
所以对称圆的方程为：，
因为对称圆过点，
所以，
解得或，
故选：C
5．【正确答案】A
【详解】由题意得，，
∴，即，
由共面向量定理得，四点共面，即点在平面上，的最小值为点到平面的距离.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∴，
设平面的法向量为，则，取，
到平面的距离，即的最小值为.
故选：A.
6．【正确答案】C
【详解】由题意可得，即表示点到的距离和为4，
且，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，
则，
可得点的轨迹的方程为，
故选：C.
7．【正确答案】C
【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为.
因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误；
因为所含的样本点为：，所以，故B错误；
因为所含的样本点为：，所以，又，所以.
又事件所含的样本点为：，所以，又，
所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误.
故选：C
8．【正确答案】A
【详解】直线，即，
令，解得，即直线过定点；
直线，即，
令，解得，即直线过定点；
又，即直线与直线垂直，
所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点）
故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）；
设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，则，
所以恒成立，
所以以点为圆心，为半径的圆恒过点，
所以，
所以，
当且仅当在线段与圆的交点时取等号，
即的最小值为.
故选：A
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，
则，解得或，
所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；
对于B选项，若直线与直线互相平行，
则，解得，
所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；
对于C选项，直线的斜率为，
当时，；当时，.
因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；
对于D选项，如下图所示：
设线段交轴于点，直线交线段于点，
，，
当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；
当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.
故选：BCD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，
内切球的球面体积为 ，A正确；
对于C，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
设点，其中，
，，，
设平面法向量为n=x,y,z，
则，
令，则y=−1，，
所以为平面的一个法向量，
若存在点，使平面，
只需，因为不成立，所以C错误；
对于B，设平面法向量为，，
则，
令，则，，
所以为平面的法向量，
又因为，
设到平面的距离为，则，
设平面被球截得的截面圆的半径为，
，
所以平面被球截得的截面圆的面积为，B选项正确；
对于D，当为中点时，
过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D正确；
故选：ABD.
11．【正确答案】ABD
【详解】A，，故A正确；
B，的周长为，
由可得周长为，故B正确；

C，因为，所以，
当与点重合时，，
当点的横坐标为时，，
所以当点的横坐标在到之间变化时，的长度一定有小于的情况，故C错误；
D，设，
因为在椭圆上，所以，
两式相减可得，即，
设过点的切线方程为，则，
，所以，
又，所以，
又，即，代入斜率表达式并结合化简可得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】由.
故
13．【正确答案】
【详解】由题意得，.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】可做出如下示意图：

设，在直角中，，在直角中，可得.
代入点坐标得：，
平方去根号，化简得到：；圆心为，半径为，
过圆外一点做切线，可知切线和半径构成一个直角三角形的直角边，两个切点之间的弦的长度为这个直角三角形的高的两倍.
由数量积的定义：，结合下图可以得到结论，

两条切线长度大于圆的半径，即两切线夹角为锐角时，点距离圆心越近，则切线长度越短，且夹角越大，两个向量的数量积越小.
又由题意点和原点以及与圆两个切点构成一个以为半径的正方形，可得到原点距离为，
所以可得曲线：，
所以点到的圆心的距离为，
当且仅当且时等号成立；
此时切线或和圆的半径，点到圆心的连线构成直角三角形，半径为.
所以；
所以切点弦的长度.
由余弦定理，可求出两条切线的夹角的余弦值为，
所以的最小值为，点取在位置时，最小.
故；4.
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在四棱锥中，底面，四边形为正方形，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则A2,0,0、、、，
则，，则，可得，
又因为，，、平面，
所以，平面.
（2）由（1）知，平面.
则平面的一个法向量为，，
设为直线与平面所成的角，因此，
而，则，
所以平面直线与平面的夹角的余弦值为.
16．【正确答案】(1)0.030
(2)84
(3)总平均数是62，总方差是23.
【详解】（1）每组小矩形的面积之和为1，
，
；
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，
得，故第75百分位数为84；
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
17．【正确答案】(1)
(2)(i)；(ii)
【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，
所以直线的斜率是，
同理，直线的斜率是，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程是，
点的轨迹是除去，两点的椭圆；
（2）（i）设，，
，，
在 中，由余弦定理得：
，
，
（ii）设，则，即，
，，，，
，
，，
.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2，3次，
所以；
若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3，4次，
所以；
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则，
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为；
（2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3，4次，则；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4，5次乙投中，
则；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5，6次乙投中，
则；
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.
【关键点拨】本题第2小问解决的关键是分析得到甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解.
19．【正确答案】(1)
(2)存在，
(3)与重合，证明见解析
【详解】（1）易知直线的斜率不为0，设，即，
则圆心到直线的距离，
又 即，
解得，所以直线的方程为，
（2）易知直线的斜率不为0，设，即，
由（1），，，又，
化简得，
令，则，
，又 ，
故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ，
建立空间直角坐标系，如图，则，，，
，，
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，则，即，
取，则，
设，其中，则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，易得，
，解得，，
（3）设，
联立，化简得，
，
，
，
设，，
联立，得，
又，代入得，
即点在定直线上，
易得，
联立，化简得，
设，则，
所以，同理，在定直线上，
所以与重合.