2024-2025学年福建省晋江市高二上册期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省晋江市高二上册期中考试数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则（ ）
A．B．2C．D．
6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为B．
C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量，共面
10．已知直线：，圆：，以下正确的是（ ）
A．与圆不一定存在公共点
B．圆心到的最大距离为
C．当与圆相交时，
D．当时，圆上有三个点到的距离为
11．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（ ）
A．的方程为
B．的离心率为
C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ．
13．过双曲线的两个焦点分别作实轴的垂线，交于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则的离心率为 .
14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是 ；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.
16．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（1）求C的方程；
（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
18．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
①求直线与直线所成角的余弦值；
②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
19．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】点关于平面对称的点的坐标是.
故选：B
2．【正确答案】C
【详解】设是直线上任意一点，因为直线过点，且一个方向向量为，
所以，化简得.
故选：C．
3．【正确答案】A
【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
故选：A．
4．【正确答案】A
【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解之得，
于是直线，即，
所以与之间的距离为.
故选A.
5．【正确答案】D
【详解】依题意可知是的中点，
所以
，
所以
.
故选：D

6．【正确答案】C
【分析】点差法得到，从而得到，结合，求出，得到椭圆方程.
【详解】由题意，设，代入椭圆方程，
可得两式相减可，
变形可得，
又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，
所以，
代入上式可得，，又，
解得，所以椭圆的方程为.
故选：C
7．【正确答案】A
【详解】如图所示，由椭圆，得到左顶点，
又由过点且斜率为的直线，可得方程为，
因为为等腰直角三角形，且，可得，
代入直线，可得，整理得，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.

8．【正确答案】C
【详解】
由圆：，即可得圆心，半径，
由圆：关于直线对称，
可得圆心在直线上，
所以，即，所以在直线，
又过点作圆的两条切线，切点分别为，
则，
又在直线，
则可表示到直线上点的距离的平方，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：C.
9．【正确答案】BD
【详解】对于A，因，
则，因，则，故A错误；
对于B，因，则，
故，即B正确；
对于C，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为:
，故C错误；
对于D，由向量，，，可知，
故向量与向量，共面， 所以D正确．
故选：BD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，圆心到直线的距离为，
当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确；
对于B，因为直线，即，所以直线过定点，
当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确；
对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误；
对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为，
所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确.
故选：ABD.
11．【正确答案】ACD
【详解】A.由双曲线方程可知，双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
所以的方程为，
故A正确；
B.由双曲线的方程，
可知，，，
则，所以离心率，
故B错误；
C.，，
，
当点三点共线且依序排列时，等号成立，
所以的最小值为，
故C正确；
D.
D. 的方程为，当时，，，
，
计算可得，，，
所以的面积为，
的周长为，
设△的内切圆的半径为，则，得，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，
半径，
所以所求圆的标准方程为.
故
13．【正确答案】.
【详解】解法一：不妨设双曲线，
令，可得，所以AB=2b2a.
依题意可得，，所以，
又，所以，解得：，
又因为，所以.
解法二：如图，连结，在中，
所以离心率.
解法三：，依题意知在曲线上，故，
整理得（取正），
所以，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】分别以为轴建系，设，而,,，
,.
由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.
易得的三个边
即是边长为为的等边三角形，其面积为，
，设平面的一个法向量为，
则有，可取平面的一个法向量为，
根据点的轨迹，可设，
，
所以点到平面的距离，
所以
故；
15．【正确答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）易知过点且与直线垂直的直线斜率为，
故圆心M与切点连线方程为，
联立解得，
所以；
所以圆M的半径为，
所以圆M的方程为.
（2）如图，由（1）可知圆M的方程为，

因为直线被圆M截得的弦长为，
所以M到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则，即，解得或，
所以直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
(3).
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；
（3）利用空间向量计算面面夹角即可.
【详解】（1）证明：以点为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则.
又，可得，因为平面，所以平面.
（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.
易知，则点A到平面的距离为.
（3）易知，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则.
设平面与平面的夹角为，
则.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【正确答案】（1）；（2）见解析.
【详解】（1）依题意，圆M的圆心，圆N的圆心，故，由椭圆定理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为；
（2）对于曲线C上任意一点，由于（R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为；
若直线l垂直于x轴，易得；
若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，解得，故直线l：；有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，.
18．【正确答案】(1)2
(2)①；②
【详解】（1）根据离散曲率的定义得，
，，
，
所以
（2）①因为平面，平面，
所以，且，，平面,
所以平面，平面,
所以，
所以，
所以，所以，
如图，将三棱锥补成正方体，
因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角，
而是等边三角形，所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
过点作交AB于，连结，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
依题意可得，，，，
所以,，
设，，，
在中，，
又，所以，
所以，
所以，
解得：或（舍）
故.
19．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
因为点在椭圆上，所以.
即，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）

解法一：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
设，则，
，
由得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，
令且，
则，解得，且，
所以，所以的取值范围为0,2.
解法二：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
所以，
设，则，
，
令且，
则代入可得，
消去得：，
因为，所以，
所以，解得，且，
所以，所以的取值范围为0,2.