2019年—2024年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

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（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE．
解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4-x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，
∴17-x2=9+8x-x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACDAD×CG6×4=12．
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，，
∴△NBF≌△EAF，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM，
∴CM=NE，
又∵NFNEMC，
∴AFMC+EC，
∴ADMC+2EC．
2．（广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB．
（2）存在，
如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB=BC=6，BD=4，
∴CD=2
∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2，
∴S△ABF的最小值6×（22）=66，
∴S最大值2×3（66）=-36．
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DGFG，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF1，
∴BG，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH，EHHCEC，
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴，
∴EC1，
∴AE=AC-EC=7．
3．（安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．
证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC．
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴，
∴，
∴PA=2PC．
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，
∴∠EAP+∠ACP=90°，
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3=2h2，
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴，
∴．
即：h12=h2·h3．
4．（深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG．
①当tan∠ACF时，求所有F点的坐标__________（直接写出）；
②求的最大值．
解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDA=90°，
∵OA=OB，
∴OD=OB=OA，
∴∠OBD=∠ODB，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，
即∠EBO=∠EDO，
∵CB⊥x轴，
∴∠EBO=90°，
∴∠EDO=90°，
∵点D在⊙E上，
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，
∵F1N⊥AC，
∴∠ANF1=∠ABC=90°，
∴△ANF∽△ABC，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴AC10，即AB∶BC∶AC=6∶8∶10=3∶4∶5，
∴设AN=3k，则NF1=4k，AF1=5k，
∴CN=CA-AN=10-3k，
∴tan∠ACF，解得：k，
∴，
，即F1（，0）．
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，
∵△AMF2∽△ABC，
∴设AM=3k，则MF2=4k，AF2=5k，
∴CM=CA+AM=10+3k，
∴tan∠ACF，
解得：，
∴AF2=5k=2，
OF2=3+2=5，
即F2（5，0），
故答案为：F1（，0），F2（5，0）．
②方法1：如图4，∵CB为直径，
∴∠CGB=∠CBF=90°，
∴△CBG∽△CFB，
∴，
∴BC2=CG·CF，
CF，
∵CG2+BG2=BC2，
∴BG2=BC2-CG2，
∴，
∴，
令y=CG2（64-CG2）=-CG4+64CG2=-[（CG2-32）2-322]=-（CG2-32）2+322，
∴当CG2=32时，，
此时CG=4，
．
方法2：设∠BCG=α，则sinα，csα，
∴sinαcsα，
∵（sinα-csα）2≥0，即：sin2α+cs2α≥2sinαcsα，
∵sin2α+cs2α=1，
∴sinαcsα，即，
∴的最大值．
5．（宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
解：（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB=90°，
∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，
∴△QBM∽△ABC．
（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ=MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形．
（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC5，
∵△QBM∽△ABC，
∴，即，
解得，QMx，BMx，
∵MN∥BC，
∴，即，
解得，MN=5x，
则四边形BMNQ的面积（5x+x）x（x）2，
∴当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
6．（江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，
连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，
∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，
作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，
∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，
由对称性得AP2=8．
（3）可以，如图所示，连接BD，
∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点E′，连接E′B，E′D，
则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，
∵E′A⊥BD，
∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，
∴S△BDE·BD·EF·BD·E′A=S△E′BD，
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°=5000（m2），
所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m2．
9．（天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA=6，
∵OD=2，
∴AD=OA-OD=6-2=4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED=∠ABO=30°，
在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED4，
∵OD=2，
∴点E的坐标为（2，4）．
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′=2，E′D′=4，ME′=OO′=t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM=∠ABO=30°，
∴在Rt△MFE′中，MF=2ME′=2t，FE′t，
∴S△MFE′ME′·FE′tt，
∵S矩形C′O′D′E′=O′D′·E′D′=2×48，
∴S=S矩形C′O′D′E′-S△MFE′=8，
∴St2+8，其中t的取值范围是：00，
∴0