高中数学-艺考生专题讲义48 数学文化

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一．三角形中的几何计算（共2小题）
1．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【解答】解：，，故，即，
解得，，
故表高．
另解：如图所示，连接并延长交于点，
，
，
表高．
故选：．
2．（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 25 ．
【分析】利用勾股定理求出直角三角形斜边长，即大正方形的边长，由，求出，再求出．
【解答】解：直角三角形直角边的长分别为3，4，
直角三角形斜边的长为，
即大正方形的边长为5，，
则小正方形的面积，
．
故答案为：25．
二．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）
3．（2020•新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A．B．C．D．
【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
【解答】解：设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，
则依题意有：，
因此有（负值舍去）；
故选：．
三．直线与平面所成的角（共1小题）
4．（2020•山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为
A．B．C．D．
【分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点处的水平面所成角．
【解答】解：可设所在的纬线圈的圆心为，垂直于纬线所在的圆面，
由图可得为晷针与点处的水平面所成角，
又为且，
在中，，，
另解：画出截面图，如下图所示，其中是赤道所在平面的截线．
是点处的水平面的截线，由题意可得，是晷针所在直线．是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得，
根据线面垂直的定义可得，由于，，
所以，由于，
所以，也即晷针与处的水平面所成角为，
故选：．
四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）
5．（2019•新课标Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．
【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，
基本事件总数，
该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，
则该重卦恰有3个阳爻的概率．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
五．进行简单的合情推理（共1小题）
6．（2019•新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是
A．B．C．D．
【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为，
说明头顶到咽喉的长度小于，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度小于，
即有该人的身高小于，
又肚脐至足底的长度大于，而小于，
可得头顶至肚脐的长度大于，
即该人的身高大于，
故选：．