中考数学解答题重难点专项突破类比、拓展探究题 -中考数学第三轮专题复习课件

这是一份中考数学解答题重难点专项突破类比、拓展探究题 -中考数学第三轮专题复习课件，共46页。PPT课件主要包含了AE＝CF，AD＝BD＋DF，∴AE＝CD，BE＝CF，DE＝2OF，AD⊥BE，∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE，EF＝FG，∴BE＝AE等内容，欢迎下载使用。
类型1　与旋转有关的探究【例1】（2023·洛阳三模T23）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　AE＝CF　⁠.
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
解：（2）结论仍成立.证明：∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB.∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF.∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF.
（3）如图3，延长AO至点D，使得OD＝OA，连接DE.当CF＝4，OA＝5，BC＝6时，求DE的长.
·⁠ ⁠方法总结·
解与图形旋转有关的探究题的一般思路1.类比、拓展探究题一般会有三问，每一问都是对前一问的升华和知识的迁移应用，解题的一般思路为：（1）第一问通过操作发现，找到解决问题的思路和方法；（2）第二问通常是在第一问的基础上，改变其中的一个条件，只需观察改变的条件，即可利用同样的思路解决问题；（3）第三问通常将原题中的特殊情况推广到一般情况，利用前两问的做题思路进行分类求解.
类型2　与轴对称有关的探究【例2】（2023·白银改编）【模型建立】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上.
①求证：AE＝CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系： 　AD＝BD＋DF　⁠.
（1）①证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD，
【模型应用】（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上.用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由.
理由如下：如图，过点B作BE⊥AD于点E.
∵点C与点F关于AD对称，
∴∠ADC＝∠ADB.
又∵CD⊥BD，∴∠ADC＝∠ADB＝45°.
又∵BE⊥AD，∴△BDE是等腰直角三角形.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，
（1）操作判断如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F.根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系： 　BE＝CF　⁠.
类型3　与动点有关的探究【例3】（2023·河南省实验三模T23）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动.
（1）如图1，△OAB为等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE＝ 　90　⁠°，OF与DE的数量关系是 　DE＝2OF　⁠；
类型1　与旋转有关的探究1.（2023·河南省实验四模T23）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动.操作探究：
迁移探究：（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当△OAB绕点O逆时针旋转，点D正好落在∠AOB的平分线上，得到△ODE，求出此时∠BAE的度数及OF与DE的数量关系；
拓展应用：（3）如图3，在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝4，∠AOB＝90°.将△OAB绕点O旋转，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF.当∠EAB＝15°时，请直接写出OF的长.
2.（2023·黄冈改编）【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系.【问题探究】（1）如图1，当m＝1时，直接写出直线AD，BE的位置关系： 　AD⊥BE　⁠；
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
解：（2）（1）中的结论成立.证明如下：
如图，延长BE交AC于点H，交AD于点N.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE.
∵∠CAB＋∠ABE＋∠CBE＝90°，
∴∠CAB＋∠ABE＋∠DAC＝90°.
类型2　与轴对称有关的探究3.（2023·安阳二模）综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作判断操作一：将正方形纸片ABCD依次沿对角线AC，BD对折，把纸片展平，折痕的交点为O；操作二：在AB上取一点E，在BC上取一点F，沿EF折叠，使点B落在点O处，然后延长EO交DC于点G，连接FG.如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段EF和FG的数量关系是 　EF＝FG　⁠；
（2）迁移思考图2是把矩形纸片ABCD按照（1）中的操作一和操作二得到的图形，请判断AE，EF，FC三条线段之间有什么数量关系，并仅就图2证明你的判断；
证明：由操作一得点O是矩形对角线的交点，∴OA＝OC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠EAO＝∠GCO，∠AEO＝∠CGO，∴△OAE≌△OCG（AAS），∴AE＝CG，OE＝OG.由折叠的性质，得∠EOF＝∠ABC＝90°，即OF⊥EG，∴OF为EG的垂直平分线，∴EF＝FG.在Rt△FCG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴AE2＋CF2＝EF2.
解：（2）AE2＋CF2＝EF2.
4.（2023·广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究活动，探索数学奥秘.【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接AB'，BB'，BE'.请完成：
（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
解：（1）∠1＝∠2＝∠3.
（2）证明（1）中的猜想.
（2）证明：由折叠的性质，得AB'＝BB'，AB＝AB'，AE＝AE'，AE＝BE，∴AB'＝BB'＝AB，AE'＝B'E'，∴△ABB'是等边三角形.∵AE'＝B'E'，∠ABB'＝60°，∴∠1＝∠2＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°－60°＝30°.∴∠1＝∠2＝∠3.
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'.请完成：
（3）证明：BB'是∠NBC的一条三等分线.
（3）证明：如图，连接PB'.
由折叠的性质，得BB'＝PB'，PB＝P'B'，∠PBB'＝∠P'B'B.
∵折痕B'E⊥AB，BB'＝PB'，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠EBC＝90°，
∴CB⊥AB，∴B'E∥BC，
∴△PBB'≌△P'B'B（SAS），
∴BB'是∠NBC的一条三等分线.
类型3　与动点有关的探究5.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AB＝5.D为底边BC上一动点，连接AD，以AD为斜边向左上方作等腰直角三角形ADE，连接BE.
观察猜想：（1）当点E落在线段AB上时，直接写出EB，ED的数量关系：EB 　＝　⁠ED.
类比探究：（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
解：（2）（1）中的结论仍然成立.证明如下：
如图，取BC的中点F，连接EF，AF.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BF＝CF，
∴AF⊥BC，AF＝CF＝BF，
∵△ADE，△AFC都是等腰直角三角形，
∴△EAF∽△DAC，
∴∠EFA＝∠DCA＝45°.
∵∠BFA＝90°，∴∠EFB＝∠EFA＝45°.
∴△EFB≌△EFA（SAS），
∵AE＝DE，∴EB＝ED.
6.【探究发现】（1）如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，D'E.
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF.并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整：证明：延长BE交DF于点G.……②进一步探究发现，当点D'与点F重合时，∠CDF＝ 　22.5　⁠°.
【类比迁移】（2）如图2，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E.当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长.
由（1）①得，∠EBC＝∠FDC，
又∵∠ECB＝∠EGD＝90°，
∴△ECB∽△EGD，
∵EG是△DCD'的中位线，