辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，点到直线，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：宋德霞
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章~第二章第2节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.0
2.若，则（ ）
A. B. C.22 D.29
3.如果且，那么直线不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在侧棱上，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知空间中三点，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C.3 D.
7.点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线与直线之间的距离为
B.直线在两坐标轴上的截距之和为6
C.将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为
D.若直线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率为
10.在正方体中，能构成空间的一个基底的一组向量为（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，若，则
C.当时，直线与直线所成角的大小为
D.当时，三棱锥的体积的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程为__________.
13.在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为__________.
14.在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图，正方体的棱长为2.
（1）用空间向量方法证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
已知点，点，直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体.
（1）若，求的长度；
（2）若，求与所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值的最小值.
高二上学期第一次月考试卷·数学
参考答案､提示及评分细则
1.C 由题意知直线的斜率为，所以，解得.故选C.
2.A 由，得，所以.故选A.
3.C 由且，可得同号，异号，所以也是异号.令，得；令，得，所以直线不经过第三象限.故选C.
4.A 因为，所以，根据空间向量的运算法则，可得，所以.故选A.
5.B 易知两直线的斜率存在，当时，则解得，由推不出，充分性不成立；当时，可以推出，必要性成立.故选B.
6.D 夹角的余弦值为.因此夹角的正弦值为，故以为邻边的平行四边形的面积为.故选D.
7.B 将直线方程变形为，所以解得由此可得直线恒过点，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于到直线的最短距离为0，此时直线经过点.又，所以到直线的距离的取值范围是.故选B.
8.D 在正三棱锥中，，所以，又，所以.故选D.
9.ACD 直线与直线之间的距离，故A正确；对0，令，得，令得，所以直线在两坐标轴上的截距之和为2，故B错误；的倾斜角为，绕原点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角为，斜率为，故C正确；设直线的方程为，向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得，即，与是同一条直线，所以，所以，故D正确.故选ACD.
10.AC 空间的一组向量可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线所在的平面是，而与平面相交，所以不共面，故这组向量可以成为基底，A正确；选项B，满足，所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，B错误；选项C中，直线所在的平面是，而与平面相交，所以不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为，所以共面，这组
向量不可以成为基底，D错误.故选AC.
11.ABD 由平行六面体知四边形是平行四边形，连接，当时，分别是的中点，所以也是的中点，所以，故A正确；当时，由A选项可知，又，所以0，故B正确；当时，，因为在棱长均为1的平行六面体中，平面，所以，，所以，设直线与直线所成角为，则，又，所以，即直线与直线所成角为，故C错误；过作交于，可证平面，所以三棱锥的体积，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选ABD.
12.或 设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，若，则过原点，故的方程为，即；若，则的方程为，所以，所以，所以的方程为，即.综上所述，直线的方程为，或.
13.2 由题意得，所以的面积为，点都在平面上，点到平面的距离3，所以三棱锥的体积为.
14. 以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以，设，其中，则.又，所以，所以，又，所以，所以，所以，此时，即线段的长度的最小值为.
15.如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，2）.
所以.
（1）证明：设平面的法向量为，由得
令，得.
因为，所以，
又平面，所以平面.
（2）解：由（1），得平面的法向量，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16.解：（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）由解得，故的交点坐标为，
因为在直线上，设关于对称的点为，
则
解得
所以直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
所以直线关于直线的对称直线的方程为.
17.解：（1），
因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以
，
10分
因为，所以，
因为
，所以，
设与所成的角为，则，
即与所成角的余弦值为.
18.（1）证明：如图，连接交于点，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即.
又因为平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则.
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以.
则，设平面的法向量，
由，令，得平面的一个法向量，
易知，为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是.
19.（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，
又平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：在平面中，过点作，所以，又平面平面，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示.
因为是等边三角形，，所以，
，因为，所以.
设，所以，所以
.
设平面的法向量为，
因为所以令，得，
，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为所以令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，所以
，
设，则，所以，
所以，
所以当，即时，取到最小值.