2023-2024学年黑龙江省哈工大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈工大附中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−40，x2+x−1≥0
3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则z1z2的虚部是( )
A. 32B. −32C. −32iD. 32i
4.已知向量a=(2,−1)，b=(1−m,2m)，若a⊥b，则|b|=( )
A. 52B. 32C. 2 3D. 5
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是( )
A. EF//平面BB1D1D
B. EF与平面BB1D1D相交
C. EF在平面BB 1 D1D内
D. EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断
6.将函数f(x)=cs(2x+π6)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. sin2xB. −sin2xC. cs(2x−π6)D. cs(2x−π3)
7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：x=32与抛物线C相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作AD垂直于C的准线于点D.若∠DFO=π3，则p的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
8.如图，把椭圆x24+y23=1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则|P1F|+|P2F|+⋯+|P9F|( )
A. 16B. 18C. 20D. 22
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l： 3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的倾斜角是π6
B. 若直线m：x− 3y+1=0，则l⊥m
C. 点( 3,0)到直线l的距离是2
D. 过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 3x−y−4=0
10.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是( )
A. x23−y2=1B. y23−x2=1C. x2−y23=1D. x22−y26=1
11.若直线l：y=kx+1与圆C：(x−2)2+y2=9相交于A，B两点，则|AB|长度可能等于( )
A. 2B. 2 2C. 3 2D. 5
12.已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：(x+1)2+y2=1，圆C3：(x−1)2+y2=16，圆C4：(x−2)2+y2=4，直线l：x=2，则( )
A. 与圆C1，C4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆C2外切、C3内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点C1且与直线l相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆C1，C2都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=lg2x,x>02x,x≤0，则f[f(18)]的值是______．
14.已知抛物线y=−12x2，则其准线方程为______．
15.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生0～9之间的整数随机数，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3181 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为______．
16.双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点.如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)，F1，F2为双曲线C的左、右焦点.某光线从F2出发照射到双曲线右支的P点，经过双曲线的反射后，反射光线PM的反向延长线经过F1.双曲线在点P处的切线与x轴交于点Q，若|F1Q|=2|QF2|，且反射光线所在直线的斜率为 157，则双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB=2ccsC−bcsA．
(1)求C的值；
(2)若c=4，a+b=2 7，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE//AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°．
(1)求证：EC//平面PAD；
(2)求证：BC⊥平面PAC．
19.(本小题12分)
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且经过点P(1,2)．
(Ⅰ)求抛物线的标准方程、焦点坐标；
(Ⅱ)经过焦点F且斜率是1的直线l，与抛物线交于A、B两点，求|AB|以及△OAB的面积．
20.(本小题12分)
已知双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，抛物线y2=4x的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线l：x−2 2y+2=0相切．
(1)求双曲线M的标准方程；
(2)已知直线y=2x+m与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足OP=OA+OB，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由．
21.(本小题12分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，且过点M(1,32)．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)若过点(23,0)且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.A
6.A
7.B
8.B
9.CD
10.BCD
11.CD
12.ABC
13.18
14.y=12
15.25
16.2或32
17.解：(1)因为acsB+bcsA=2ccsC，
由正弦定理得sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsC，
又sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcsC，
又C∈(0,π)，所以sinC≠0，故csC=12，所以C=π3．
(2)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab=28−3ab=16，所以ab=4，
故S△ABC=12absinC= 3．
18.证明：(1)取PA的中点N，连DN，EN，

因为BE/​/AP，AP=2，BE=1，即BE/​/AN，且BE=AN，
则ANEB为平行四边形，则EN/​/AB，且EN=AB，
又因为ABCD是平行四边形，则CD/​/AB，且CD=AB，
可得CD//EN，且CD=EN，
可知CEND为平行四边形，则EC//DN，
且DN⊂平面PAD，EC⊄平面PAD，
所以EC/​/平面PAD；
(2)在△ABC中，AB=2，BC=1，∠CBA=60°，
由余弦定理可得AC2=4+1−2×2×1×cs60°=3，即AC= 3，
则AB2=BC2+AC2，可得BC⊥AC，
因为AP⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则AP⊥BC，
且AC⋂AP=A，AC，AP⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
19.解：(Ⅰ)因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且经过点P(1,2)，
设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
因为抛物线经过点P(1,2)，
解得p=2，
所以抛物线的标准方程为y2=4x，焦点坐标为(1,0)；
(Ⅱ)因为直线l经过焦点F且斜率是1，
所以直线l的方程为y=x−1，
联立y=x−1y2=4x，
消去y并整理得x2−6x+1=0，
不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=6，x1x2=1，
此时|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2=8，
又ℎ=d=1 2= 22，
故S=12×8× 22=2 2．
20.解：(1)∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0)是双曲线M的一个顶点，即a=1，
∴b=|1−0+2| 1+(2 2)2=1，
∴双曲线M的方程是x2−y2=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程得y=2x+mx2−y2=1，消去y得3x2+4mx+m2+1=0，
∵Δ=4m2−12>0，解得m 3(∗)，
由韦达定理得，x1+x2=−43m，y1+y2=2(x1+x2)+2m=−2m3，
∵OP=OA+OB，P(x1+x2,y1+y2)，
即P(−43m,−2m3)，
∴(−43m)2−(−23m)2=1，
解得m=± 32，
不满足(∗)式，所以不存在m符合题意．
21.解：(1)法一：由题意c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=3c2=1，
则椭圆C的标准方程为C：x24+y23=1，离心率为e=ca=12；
法二：设椭圆的左焦点为F′(−1,0)，
则由椭圆的定义知2a=|MF′|+|MF|= (1+1)2+(32)2+ (1−1)2+(32)2=52+32=4，
所以a=2，又c=1，得b2=a2−c2=3，则椭圆C的标准方程为C：x24+y23=1，
离心率为e=ca=12；
(2)因为直线MN过点(23,0)且斜率不为0，
所以设直线MN方程为x=my+23，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则P(6,y2)，
联立x=my+23x24+y23=1，消去x得，(3m2+4)y2+4my−323=0，
所以Δ>0y1+y2=−4m3m2+4y1y2=−3233m2+4，所以my1y2=83(y1+y2)，
直线MP方程为y−y2=y1−y2x1−6(x−6)，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，
所以令y=0，得x−6=y2(x1−6)y2−y1，且x1=my1+23，
所以x−6=y2(my1+23−6)y2−y1=my1y2−163y2y2−y1=83(y1+y2)−163y2y2−y1=−83，
可得x=103，直线MP恒过的定点(103,0)．