2023-2024学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，则a1=( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
2.设正项等比数列{an}的公比为q，若a2，3a1，a3成等差数列，则q=( )
A. 12B. 2C. 13D. 3
3.已知圆C1：(x+1)2+y2=4和圆C2：(x−3)2+(y−3)2=9，则圆C1和圆C2的公切线的条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知平面α//β,n=(−1,2,3)为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的一个法向量的是( )
A. (1,−2,3)B. (3,−1,2)C. (1,2,−3)D. (−12,1,32)
5.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=2，则异面直线AC与DB1所成角的余弦值为( )
A. 53B. 54C. 55D. 2 55
6.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线x−y=0与E交于M，N两点，若四边形MF1NF2的面积等于ab，则E的离心率为( )
A. 22B. 33C. 55D. 105
7.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=2，PA=3，则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为( )
A. 513B. 613C. 3 1313D. 2 1313
8.已知直线l1：x−my=0与l2：mx+y−2m+4=0交于点P(x0,y0)，则x0+y0的最大值为( )
A. 1B. 2 5C. −1+ 5D. −1+ 10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆O：x2+y2=4，动直线l过点P(3,0)，下列结论正确的是( )
A. 当l与圆O相切于点E时，|PE|= 5
B. 点P到圆O上点的距离的最大值为5
C. 点P到圆O上点的距离的最小值为2
D. 若点Q(0,1)在l上，l与圆O相交于点M，N，则|MN|= 31010
10.已知数列{an}满足a1=12,2an+1−anan+1−an=0，则( )
A. {1an−1}是等比数列B. {an}是单调递减数列
C. a5=116D. 数列{1an}的前n项和Sn=2n+n−1
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，E分别为棱AD，DD1的中点，G为线段B1C上的一个动点，则( )
A. 三棱锥D−EFG的体积为定值
B. 存在点G，使得平面EFG/​/平面AB1D1
C. 当CG=13CB1时，直线EG与BC1所成角的余弦值为3 520
D. 当G为B1C的中点时，三棱锥A1−EFG的外接球的表面积为22π3
12.已知抛物线C：y2=2px，点P(1,−2)在C上，过点Q(0,1)的直线l与C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则( )
A. k1+k2=−2B. k1+k2=−4
C. k1k2的取值范围为(−∞,0)∪(0,4)D. k1k2的取值范围为(−∞,0)∪(0,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：(t2−1)x+y−1=0和l2：x+(t−1)y+2=0，若l1⊥l2，则实数t= ______．
14.已知抛物线y2=8x上一点M(x0,2)，则点M到该抛物线的焦点F的距离为______．
15.已知双曲线C：x23−y2=1，直线l：y=x+m被C所截得的弦长为4 6，则m= ______．
16.在数列{an}与{bn}中，已知a1=b1=2，an+1+bn+1=2(an+bn)，an+1bn+1=2anbn，则1a2023+1b2023= ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+2a2=20，S3=24．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=1Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tm≤511，求正整数m的最大值．
18.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且C的离心率为2，焦距为4．
(1)求C的方程；
(2)直线l过点F2且与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为3 2，求l的方程．
19.(本小题12分)
已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，AB=AA1=2，E，F分别是侧棱AA1，CC1的中点．
(1)证明：四边形EBFD1为菱形．
(2)求点C到平面BDF的距离．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8,Sn=2Sn−1−n2+3n+2(n≥2)．
(1)证明{an−2n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)n⋅an，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PO⊥平面ABCD，垂足为O，E为PC的中点，OE/​/平面PAD．
(1)证明：PC=PD．
(2)若AD=2AB=4，OC⊥OD，PC与平面ABCD所成的角为60°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(1, 32)和A(−2,0)．
(1)求E的方程；
(2)若点M，N(异于点A)是E上不同的两点，且AM⋅AN=0，证明直线MN过定点，并求该定点的坐标．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.C
6.D
7.B
8.D
9.AB
10.ABD
11.ABD
12.BC
13.1或−2
14.52
15.±3 2
16.1
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a1+2a2=20，S3=24，可得3a1+2d=20，3a1+3d=24，
解得a1=d=4，
所以an=4n．
(2)由(1)得Sn=(4+4n)n2=2n(n+1)，
所以bn=1Sn=12n(n+1)=12(1n−1n+1)，
所以Tn=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)．
令12(1−1m+1)≤511，解得m≤10，
即正整数m的最大值为10．
18.解：(1)因为双曲线C的离心率为2，焦距为4，
所以ca=22c=4，
解得a=1，c=2，
则b2=c2−a2=3，
故C的方程为x2−y23=1；
(2)由(1)知F2(2,0)，
易知直线l的斜率不为0，
不妨设直线l的方程为x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x2−y23=1x=my+2，消去x并整理得(3m2−1)y2+12my+9=0，
此时3m2−1≠0，Δ=144m2−4×9(3m2−1)=36(m2+1)>0，
由韦达定理得y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1，
所以S△OAB=12×2|y1−y2|= (−12m3m2−1)2−4×93m2−1=6 m2+1(3m2−1)2，
因为△OAB的面积为3 2，
所以6 m2+1(3m2−1)2=3 2，
整理得9m4−8m2−1=0，
解得m2=1，
即m=±1．
则直线l的方程为x+y−2=0或x−y−2=0．
19.(1)证明：取CD的中点G，连接AC，AG.因为底面ABCD是菱形且∠ABC=60°，所以AG⊥AB，
易知AB，AG，AA1两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AG，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB=AA1=2，可得B(2,0,0)，C(1, 3,0)，D(−1, 3,0)，E(0,0,1)，F(1, 3,1)，D1(−1, 3,2)．
则BF=(−1, 3,1)=ED1，BE=(−2,0,1)=FD1，
所以BF//ED1，BE/​/FD1，且BF|= 5=|BE|，
所以四边形EBFD1为菱形．
(2)解：设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
因为BF=(−1, 3,1)，BD=(−3, 3,0)，
所以BF⋅n=0BD⋅n=0，即−x+ 3y+z=0−3x+ 3y=0，x=1，得n=(1, 3,−2)，
又BC=(−1, 3,0)，
所以点C到平面BDF的距离d=|BC⋅nn|=22 2= 22．
20.解：(1)证明：由Sn=2Sn−1−n2+3n+2(n≥2,n∈N∗)，an=Sn−Sn−1，即Sn−1=Sn−an，
得Sn=2an+n2−3n−2(n≥2)，
令n=1，可得a1=S1=2a1+1−3−2，解得a1=4，
n=3时，a1+a2+a3=2a3+9−9−2，可得a3=14，
当n≥3时，Sn−1=2an−1+(n−1)2−3(n−1)−2，
两式相减得an=2an−1−2n+4(n≥3)，
则an−2n=2[an−1−2(n−1)](n≥3)．
又a2−2×2=2(a1−2×1)，a3−6=2(a2−4)，
所以{an−2n}是以a1−2=2为首项，2为公比的等比数列，
所以an−2n=2n，即an=2n+2n．
(2)由(1)知，bn=(−2)n+2n⋅(−1)n，
所以Tn=(−2)[(−2)n−1]−2−1+[2×(−1)1+4×(−1)2+⋯+2n×(−1)n]．
设Pn=2×(−1)1+4×(−1)2+⋯+2n×(−1)n，
则−Pn=2×(−1)2+4×(−1)3+⋯+2n×(−1)n+1，
所以2Pn=2×(−1)1+2×(−1)2+⋯+2×(−1)n−2n×(−1)n+1，
即Pn=(−1)1+(−1)2+⋯+(−1)n−n×(−1)n+1，
由{(−1)n}是首项为−1，公比为−1的等比数列，
可得Pn=(−1)[1−(−1)n]2−n×(−1)n+1=−12−2n+12×(−1)n+1，
所以Tn=−23−(−2)n+13−12−2n+12(−1)n+1=−76−2n+2+6n+36×(−1)n+1．
21.(1)证明：如图，

取CD的中点F，连接EF，PF，OF，因为E为PC的中点，
所以EF/​/PD，又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以EF/​/平面APD，因为OE/​/平面PAD，OE∩EF=E，
所以平面OEF/​/平面PAD，因为平面ABCD∩平面OEF=OF，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以OF//AD，因为AD⊥CD，
所以OF⊥CD，由PO⊥平面ABCD，
可得PO⊥CD，又PO∩OF=O，
所以CD⊥平面POF，从而PF⊥CD，又CD的中点为F，
所以PF是CD的中垂线，
所以PC=PD；
(2)解：因为PO⊥平面ABCD，所以PC与平面ABCD所成的角为∠PCO=60°，
又OC⊥OD，AB=CD=2，所以PO= 3CO= 6，
作OG⊥BC，垂足为G，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(−1,1,0),B(1,−3,0),C(1,1,0),P(0,0, 6)，
所以BC=(0,4,0),PC=(1,1,− 6),DC=(2,0,0)，
设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅BC=4y1=0,m⋅PC=x1+y1− 6z1=0,令z1=1，得m=( 6,0,1)，
设平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅DC=2x2=0,n⋅PC=x2+y2− 6z2=0,令y2= 6，得n=(0, 6,1)，
设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=1 7× 7=17，
即平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为17．
22.解：(1)因为椭圆E经过点P(1, 32)和A(−2,0)，
所以a=21a2+34b2=1，
解得a=2，b=1，
则椭圆E的方程为x24+y2=1；
(2)证明：当直线MN不垂直于x轴时，
不妨设直线MN的方程为y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=kx+mx24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
此时Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)=−16(m2−1−4k2)>0，
解得m2