2023-2024学年吉林省辽源市龙山区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市龙山区八年级上学期期末数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
3．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣x）8÷（﹣x）3＝x5
B．（a+b）5÷（a+b）＝a4+b4
C．（x﹣1）6÷（x﹣1）2＝（x﹣1）3
D．﹣a5÷（﹣a）3＝a2
4．（2分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CBB．∠A＝∠CC．BD＝DBD．AB＝CD
5．（2分）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
二、填空题。（每小题3分，共24分]
7．（3分）分解因式：a2+5a＝ ．
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AC＝ ．
9．（3分）已知点P（2a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ．
10．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 ．
11．（3分）已知a2+b2＝13，ab＝6，则a+b的值是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 ．
13．（3分）当x＝ 时，分式的值为0．
14．（3分）阅读理解）我们把由4个数a，b，c，d组成的形如的式子称为二阶行列式．规定它的运算法则为＝ad﹣bc，若＝13，则x＝ ．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：5×（﹣2）+π0+（﹣1）2023﹣23．
16．（5分）解分式方程：+＝1．
17．（5分）已知，如图，在△AOB中，点C在OA上，点E、D在OB上，且AB＝AD，CD∥AB，CE∥AD，问：△CDE是否为等腰三角形？为什么？
18．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．则∠B＝∠D吗？请说明理由．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．（7分）先化简 （﹣）÷，然后请取一组你喜欢的a，b的值代入求值．
20．（7分）2023年第31届成都大运会的吉祥物“蓉宝”以其呆萌可爱，英姿飒爽的形象，深受大家喜欢．某商场第一次用3600元购进一批“蓉宝”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“蓉宝”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是多少钱？
21．（7分）已知|a+|+（b﹣3）2＝0，求式子[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6b]÷2b的值．
22．（7分）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．
五、解答题。（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点）．直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）求△ABC的面积．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
六、解答题。（每小题10分，共20分）
25．（10分）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．
26．（10分）如图1，△ABC的边BC在直线I上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
（1）示例：在图1中，直接写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，直接写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系；
（3）将△EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出推理说明；若不成立，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题2分，共12分）
1．（2分）中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，故A正确，符合题意；
B．该图不是轴对称图形，故B错误，不符合题意；
C．该图不是轴对称图形，故C错误，不符合题意；
D．该图不是轴对称图形，故D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（2分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠ADE＝∠DAE＝∠BDC＝∠DBC＝36°，从而求出∠ADB＝108°﹣72°＝36°．
【解答】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠EDC＝∠C＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠ADE＝∠DAE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠DAB＝∠BE﹣∠DAE＝72°，
∠BDC＝∠DBC＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝36°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠ADE＝∠DAE＝∠BDC＝∠DBC＝36°，和正五边形的每个内角是108度．
3．（2分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣x）8÷（﹣x）3＝x5
B．（a+b）5÷（a+b）＝a4+b4
C．（x﹣1）6÷（x﹣1）2＝（x﹣1）3
D．﹣a5÷（﹣a）3＝a2
【分析】根据整式的除法法则计算：单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
【解答】解：A、（﹣x）8÷（﹣x）3＝（﹣x）5＝﹣x5，故本选项错误；
B、（a+b）5÷（a+b）＝（a+b）4，故本选项错误；
C、（x﹣1）6÷（x﹣1）2＝（x﹣1）4，故本选项错误；
D、﹣a5÷（﹣a）3＝a2，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，但计算时一定要细心．
4．（2分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD＝CBB．∠A＝∠CC．BD＝DBD．AB＝CD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．（2分）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解决即可．
【解答】解：A．≠，故本选项不符合题意；
B．当c≠0时＝才成立，故本选项不符合题意；
C．＝，故本选项符合题意；
D．＝不成立，例如≠，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6．（2分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．25°B．60°C．85°D．95°
【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质．
二、填空题。（每小题3分，共24分]
7．（3分）分解因式：a2+5a＝ a（a+5） ．
【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．
【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AC＝ 6 ．
【分析】先作辅助线，然后利用垂直平分线的性质求出AD＝BD，最后解直角三角形计算．
【解答】解：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD＝BD
∴∠DBA＝∠A＝30°
∴∠CBD＝30°
∴BD＝2CD＝4
∴AC＝CD+AD＝CD+BD＝2+4＝6．
答案6．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质．
9．（3分）已知点P（2a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ﹣＜a＜ ．
【分析】首先根据题意可得P（2a+1，2a﹣3）在第四象限，再根据第四象限内点的坐标符号可得点P的横坐标为正，纵坐标为负，再列出不等式组，求解集即可．
【解答】解：∵点P（2a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P（2a+1，2a﹣3）在第四象限，
∴，
解得：﹣＜a＜．
故答案为：﹣＜a＜．
【点评】此题主要考查了坐标轴对称的点的性质，点所在象限的符号特征，不等式组的解法，关键是确定出P点所在象限．
10．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∵AB+CE＝CD，CE+DE＝CD，
∴AB＝DE，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△EDF，
∵AC＝6，AD＝8，
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF
＝S△ACD
＝•AC•AD
＝×6×8
＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
11．（3分）已知a2+b2＝13，ab＝6，则a+b的值是 ±5 ．
【分析】先求出（a+b）的平方，然后把a2+b2＝13，ab＝6代入求解，最后再开平方即可．
【解答】解：∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
＝13+12，
＝25，
∴a+b＝±5．
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
12．（3分）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 6 ．
【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案．
【解答】解：∵BG平分∠EBC，
∴∠EBG＝∠GBC，
∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EB＝EG，
同理可得DF＝DC，
∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
13．（3分）当x＝ 1 时，分式的值为0．
【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣1＝0，且x+1≠0，
解得x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．（3分）阅读理解）我们把由4个数a，b，c，d组成的形如的式子称为二阶行列式．规定它的运算法则为＝ad﹣bc，若＝13，则x＝ ﹣1.5 ．
【分析】根据＝ad﹣bc，＝13，可以列出方程（x﹣2）（x﹣2）﹣（x+1）（x+3）＝13，然后求解即可．
【解答】解：∵＝ad﹣bc，＝13，
∴（x﹣2）（x﹣2）﹣（x+1）（x+3）＝13，
化简，得：﹣8x＝12，
解得x＝﹣1.5，
故答案为：﹣1.5．
【点评】本题考查新定义，解方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：5×（﹣2）+π0+（﹣1）2023﹣23．
【分析】根据零次幂，有理数的乘方，负整指数幂计算即可．
【解答】解：5×（﹣2）+π0+（﹣1）2023﹣23
＝﹣10+1+（﹣1）﹣8
＝﹣18．
【点评】本题考查了零次幂，有理数的乘方，掌握零次幂，有理数的乘方运算法则是解题的关键．
16．（5分）解分式方程：+＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
移项合并得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．（5分）已知，如图，在△AOB中，点C在OA上，点E、D在OB上，且AB＝AD，CD∥AB，CE∥AD，问：△CDE是否为等腰三角形？为什么？
【分析】欲证△CDE是否是等腰三角形，利用已知CD∥AB，CE∥AD，证明三角形中两内角是否相等来证是否等腰．
【解答】解：是等腰三角形．
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠B，
又∵CE∥AD，
∴∠CED＝∠ADB，
又∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠CDE＝∠CED，
∴△CDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质；角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．
18．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．则∠B＝∠D吗？请说明理由．
【分析】由∠CAE＝∠BAD可得：∠BAC＝∠DAE，再结合已知条件，利用SAS可判断△ABC≌△ADE，从而得结果．
【解答】解：∠B＝∠D，理由如下：
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据∠CAE＝∠BAD得到∠BAC＝∠DAE．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．（7分）先化简 （﹣）÷，然后请取一组你喜欢的a，b的值代入求值．
【分析】先化简题目中的式子，然后取a、b的值，只要使得原分式有意义即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝a+b，
当a＝1，b＝2时，
原式＝1+2＝3．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值方法．
20．（7分）2023年第31届成都大运会的吉祥物“蓉宝”以其呆萌可爱，英姿飒爽的形象，深受大家喜欢．某商场第一次用3600元购进一批“蓉宝”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“蓉宝”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是多少钱？
【分析】设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为（1+20%）x元，根据“同样用了3600元，购进的数量比第一次少了10件”列出方程，即可求解
【解答】解：设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为（1+20%）x元．
依题意得﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为60元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．（7分）已知|a+|+（b﹣3）2＝0，求式子[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6b]÷2b的值．
【分析】利用非负数的性质求出a、b，根据整式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：由题意得，a+＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝﹣，b＝3，
[（2a+b）2+（2a+b）（b﹣2a）﹣6b]÷2b
＝（4a2+4ab+b2+b2﹣4a2﹣6b）÷2b
＝（4ab+2b2﹣6b）÷2b
＝2a+b﹣3
＝﹣1+3﹣3
＝﹣1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22．（7分）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝1，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝1，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝1，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×1×4＝2．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
五、解答题。（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点）．直接写出点A1，B1，C1的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1（1，﹣2），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）△ABC的面积为＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；
（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG＝EF．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC．
②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题。（每小题10分，共20分）
25．（10分）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【分析】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a2+2ab+b2）﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，当a+b＝15，ab＝5时，S1+S2＝152﹣3×5＝210；
（3）S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），当S1+S2＝64时，可求出图3中阴影部分的面积S3＝×64＝32．
【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝2b2﹣ab；
（2）∵S1+S2
＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab，
∴当a+b＝15，ab＝5时，
S1+S2＝225﹣3×5＝210；
（3）由图可得，
S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2
＝（a2+b2﹣ab）
＝（S1+S2），
∴当S1+S2＝64时，
S3＝（S1+S2）＝×64＝32．
【点评】此题考查了整式运算的几何意义，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
26．（10分）如图1，△ABC的边BC在直线I上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
（1）示例：在图1中，直接写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，直接写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系；
（3）将△EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出推理说明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由题意可得△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，可得∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，可得AP＝AB，AP⊥AB；
（2）求出CQ＝CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP＝BQ，∠CBQ＝∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC＝90°，推出∠PAC+∠AQG＝90°，求出∠AGQ＝90°即可；
（3）证明相等时思路同（1），证明垂直时，延长QB交AP于点N，则∠PBN＝∠CBQ，借助全等得到的角相等，得出∠APC+∠PBN＝90°，进一步可得出结论．
【解答】解：（1）AP＝AB，AP⊥AB，理由如下：
∵AC⊥BC，且AC＝BC，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，
∴∠BAP＝90°，
∴AP＝AB，AP⊥AB；
（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP＝BQ，位置关系是AP⊥BQ，理由如下：
如图2，延长BQ交AP于G，
由（1）知，∠EPF＝45°，∠ACP＝90°，
∴∠PQC＝45°＝∠QPC，
∴CQ＝CP，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠PAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBQ+∠BQC＝90°，
∵∠CQB＝∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC＝90°，
∴∠AGQ＝180°﹣90°＝90°，
∴AP⊥BQ；
（3）成立，理由如下：
∵∠EPF＝45°，
∴∠CPQ＝45°，
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，
∴CQ＝CP，
在△BCQ和△ACP中，
，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ＝AP，
如图3，延长QB交AP于点N，
则∠PBN＝∠CBQ，
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC＝∠APC，
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，
∴∠APC+∠PBN＝90°，
∴∠PNB＝90°，
∴QB⊥AP．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．