河南省开封市五校2023-2024学年高一（上）1月期末联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省开封市五校2023-2024学年高一（上）1月期末联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 1或2D. 1或
【答案】C
【解析】因为，，，
所以或，即或，
当时，；当时，，都符合题意.
故选：C.
2. 下列表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，的定义域为，的定义域为，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D，，，
这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确.
故选：D.
3. 函数（）的最小正周期为，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】因为（）的最小正周期为，
所以的最小正周期，解得.
故选：A.
4. 已知，，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令，，满足，但，
故不能推出，所以充分性不满足；
当，时，
当时，；
当时，；
故能推出，故是的必要不充分条件．
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，故角的终边经过点，
所以.
故选：D.
6. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，设幂函数为，则，故，则，
所以的定义域为，故满足，解得.
故选：B.
7. 已知，当取最大值时，则值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由已知可得，
则，即，
所以，当且仅当时取等号，即，，此时.
故选：B．
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
设，则，且，
又，所以，
即，
即，所以，
所以，即异号，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各式中值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对选项A，，错误；
对选项B，，错误；
对选项C，，正确；
对选项D，，正确．
故选：CD.
10. 已知函数，则（ ）
A. ，B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】对于A，函数的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，当时，，
因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误；
对于D，因为，
所以的图象关于点对称，故D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 对任意的，
【答案】CD
【解析】A：由，所以该函数的定义域为，
因此本选项结论不正确；
B：因为，
所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确；
C：由上可以确定本选项正确；
D：，
当时，，而，
于是有，
当时，，而，
于是有，
综上所述：对任意的，，因此本选项正确.
故选：CD.
12. 已知函数，若方程有4个不同实根，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】当时，即，当且仅当时取等号，
在上递增，在上递减，
当时，且在上递减，在上递增，
综上，可得图象如下，
当且仅当时方程有4个不同实根，A错误；
结合图象及题设知：，B正确；
由题得且，
所以，C正确；
是方程的两个根，即方程的两个根，
所以则，
由，得，所以，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度为______.
【答案】
【解析】在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度为.
14. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为命题：“，”为假命题，
所以“，” 为真命题，即恒成立，
所以，解得，故实数的取值范围为.
15. 若是定义域为的奇函数，的零点分别为，则________.
【答案】0
【解析】因为函数为奇函数，所以图象关于中心对称，
设函数的个零点分别为，所以，
又由的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，
所以关于中心对称，
则
，
因为是定义域为奇函数，所以零点个数为奇数，
则.
16. 已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则______.
【答案】
【解析】由于的图象恒过定点，所以，
且，故且，
由于，所以，
又，即，故，
因此，故.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，所以，
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
18. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）解不等式可得，则，
若，则，
所以．
（2）若是的必要条件，则．
当，即时，，符合题意；
当，即时，，要满足，
可得，解得，
综上实数的取值范围为或.
19. 函数是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数m的值．
解：（1）令，则，
由，此时.
（2）由，，所以，
解得或或（舍）.
20. 某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表：
（1）根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由；
（2）利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大.
解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润与相应月份数的变化关系不是单调函数，
所以应选取二次函数进行描述.
（2）将点，代入，
可得，解得，
所以，即，
所以当时，取最大值，故可估计6月份的利润最大.
21. 已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）函数的图象关于原点对称，函数为奇函数，
，
即，即，
整理得：，
又上式对定义域内任意的均成立，，
解得：或(舍).
（2）由（1）知，，
，即，
，，即在上恒成立，
令，，则，
易得，且在上单调减，，
，故实数的取值范围为.
22. 如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
解：（1）设的最小正周期为，则，
所以，所以，
又因为函数的图象的一个最高点为，
所以，所以，所以，
因为，所以，所以．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，得，
考虑与图象的所有交点的横坐标之和，
函数与的图象都关于点对称，
令，解得，
函数与的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为，
所以，，，，
所以，故函数的所有零点之和为9.2
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244
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