湖南省湘潭市雨湖区2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份湖南省湘潭市雨湖区2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A. 6cm、2cm、1cm、4cmB. 4cm、5cm、6cm、7cm
C. 3cm、4cm、5cm、6cmD. 6cm、3cm、8cm、4cm
【答案】D
【解析】A.6×1≠2×4，故本选项错误；
B.4×7≠5×6，故本选项错误；
C.3×6≠4×5，故本选项错误；
D.6×4=3×8，故本选项正确；
故选D．
2. 下列方程为一元二次方程的是( )
A. ax2+bx+c=0B. x2－2x－3C. 2x2＝0D. xy＋1＝0
【答案】C
【解析】A. ax2+bx+c=0，当a≠0时是一元二次方程，条件中没有强调，因此不一定是一元二次方程，故不符合要求；
B. x2－2x－3，不是方程，故不符合要求；
C. 2x2＝0，满足定义，故符合要求；
D. xy＋1＝0，是二元二次方程，故不符合要求；
故选C．
3. 若是反比例函数，则a的取值为（ ）
A. 1B. ﹣lC. ±lD. 任意实数
【答案】A
【解析】解：∵是反比例函数，
∴．
故选A．
4. 方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 4、5、81B. 4、﹣5、81C. 4、﹣5、﹣81D. ﹣4、﹣5、﹣81
【答案】C
【解析】解：方程4x2＝5x+81，
整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，
则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．
故选：C．
5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约96cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到1cm)（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
【答案】A
【解析】解：设应穿x厘米高的高跟鞋，由题意得：
，
解得：；
故选A．
6. 关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A. 2或4B. 0或4C. ﹣2或0D. ﹣2或2
【答案】B
【解析】解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
7. 函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴直线与轴交于负半轴，
当时，一次函数过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；
当时，一次函数过二，三，四象限，双曲线过二，四象限；
综上，满足题意的，只有选项B；
故选B．
8. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
在每个象限内，y随x值的增大而增大，且点在第二象限，点，在第四象限，
， ，，
，
，
故选C．
9. 如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）
A. B. 25C. 35D. 63
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数上一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会( )
A. 先增后减B. 先减后增C. 逐渐减小D. 逐渐增大
【答案】D
【解析】过点P作PC⊥x轴于点C，
∵点P在y=-（x＜0），
∴矩形PBOC的面积为6，
设A的坐标为（a，0），P坐标（x，−）（x＜0），
△APC的面积为S，
当a＜x＜0时，
∴AC=x-a，
∴PC=-，
∴△APC的面积为S=（x-a）•=-3（1-），
∵a＜0，
∴-a＞0，
∴-在a＜x＜0上随着x的增大而减小，
∴1-在a＜x＜0上随着x的增大而减小，
∴-3（1-）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，
∴S=S△APC+6，
∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，
当x≤a时，
∴AC=a-x，
∴PC=-，
∴△APC的面积为S=（a-x）•=-3（-1），
∵a＜0，
∴在x＜a随着x的增大而增大，
∴-1在x＜a上随着x的增大而增大，
∴-3（-1）在x＜a上随着x的增大而减小，
∴S=6-S△APC，
∴S在x＜a上随着x的增大而增大，
∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，
故选D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 若，则________．
【答案】
【解析】，
，
故2y=x，
则，
故答案为．
12. 已知、是一元二次方程的两根，则______．
【答案】3
【解析】解：由题意，；
故答案为：3．
13. 如图，在中，，点是边上的一点，于，则边的长为_____．
【答案】4.
【解析】由射影定理得，，
解得：，
故答案为．
14. 一元二次方程配方为，则的值是_____．
【答案】13
【解析】解：
移：，
配：，
整理得：，
∴，
故答案：．
15. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图像交于A、B两点，利用函数图像直接写出不等式＜kx+b的解集是_______．
【答案】1＜x＜4
【解析】解： ∵由图像可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，
∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4．
16. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，且a−1≠0，
∴且.
故答案为：且
17. 如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=____．
【答案】=﹣.
【解析】如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC=a，∴A（a，a），
∵A在函数y1=（x＞0）的图象上，∴k1=a•a=a²，
Rt△BOC中，OB=2OC=2a，∴BC==3a，∴B（a，﹣3a），
∵B在函数y2=（x＞0）图象上，∴k2=﹣3a·a=﹣3a²，∴=﹣；
故答案为﹣．
18. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；
在RtABF中，AF==8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在RtGFH中，
∵，
∴，
解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以④正确；
∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴ABF∽DFE，
∴，
∴，
而 ，
∴，
∴DEF与ABG不相似；所以②错误．
∵=×6×3=9，=×3×4=6，
∴．所以③正确．
故答案为：①③④．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 解方程：
（1）； （2）．
解：（1），
，
，
∴x+1=0，或x-1=0，
∴，；
（2），
，
，即 ，
∴ ，
∴，.
20. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．

（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．
解：（1）∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，过作于，
则，而，，

∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
21. 如图，，分别交，，于点，，，已知，，，．求，的长．
解：∵，
，
，
，，，
，
，
∵，
∴，
，
，，，
，
．
．
22. 已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0，有两个不相等的实数根.
⑴求实数m的最大整数值；
⑵在⑴的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22－x1x2的值.
解：⑴由题意，得：△＞0，即：>0 解得 m＜2，
∴m的最大整数值为m=1；
(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x2－2x+m=0得x2－2x+1=0,
根据根与系数的关系：x1+x2 =2，x1x2=1，
∴x12+x22－x1x2= （x1+x2）2－3x1x2=(2)2-3×1=5.
23. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
解：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：.
∴.
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示,
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A．∴BQ=AB．
∴AB=BP，点B为线段AB中点．
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP长为或6.
24. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：，
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
25. 在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．

（1）填空：________，_______（用含代数式表示）；
（2）当为何值时，的长为？
（3）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为，
点从点开始沿向终点以的速度移动，故，
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得：，；
当的值为或时，的长度等于；
（3）存在，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：（不合题意舍去），．
即当时，使得五边形的面积等于．
26. 如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于．
（1）如图（1），若，求证：；
（2）如图（2），若，取的中点，连接交于，
求证：①；
②．
解：证明：（1），
，
在和中，
，
，
即；
（2）①如图，过作交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
设，，
，
，
∴，
∴，
，
；
②如图，过作，
∵，
，
，
由①知，
，
，
，
，
，
，
，
，
．