新蔡县第一高级中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．对于集合A,B，我们把集合且叫作集合A与B的差集，记作.若,，则为( )
A.B.C.D.
2．“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象.当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”.根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知函数，，，，则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
4．已知函数在上存在最值,且在上单调,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．在平行四边形中，M,N分别在边,上，，,相交于点P，则( )
A.B.C.D.
6．数列满足，，则( )
A.-3B.C.D.2
7．已知，且，则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若随机变量，则
B.残差平方和越大，模型的拟合效果越好
C.若随机变量，则当减小时，保持不变
D.一组数据的极差不小于该组数据的标准差
10．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( )
A.z的共轭复数为B.z在复平面内对应的点在第二象限
C.若，则的最大值是D.z的虚部为
11．已知定义在R上的函数满足，是偶函数，且对任意的，，当时，都有，则以下判断正确的是( )
A.若，则B.函数的最小正周期是4
C.函数在上单调递增D.直线是图像的对称轴
三、填空题
12．过点作直线l交椭圆于A，B两点，其中A在线段上，则的取值范围为____.
13．现有质量分别为1，2，3，4，5，7，千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是____________.
14．若直线是曲线的切线，则的最小值是________.
四、解答题
15．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足.
（1）求B；
（2）若，求周长的最大值.
16．已知点P是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点O，已知,是等边三角形.
(1)求证：；
(2)求二面角；
(3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角的正弦值最大？求出最大角正弦值，并说明点E此时所在的位置.
17．育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响.
(1)已知，，，
(i)若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分Y的期望；
(ii)若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率.
(2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分Y的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由.
18．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若是的两个极值点，证明：.
19．已知双曲线，点在C上按如下方式构造点：过点作斜率为-1的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，记点的坐标为.
(1)求点，的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
(3)O为坐标原点，G，H分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值
参考答案
1．答案：B
解析：，
，故.
故选：B.
2．答案：B
解析：充分性：地月连线和日地连线正好成直角时，我们可能看到“上弦月”或“下弦月”，充分性不成立；
必要性：若为“下弦月”，则地月连线和日地连线正好成直角，必要性成立，
故“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：由函数，得当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为.
当时，，，所以在上单调递减.
又，，，
所以，所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：当时,因为,所以,
因为函数在上存在最值,所以,解得,
当时,,
因为函数在上单调,则,
所以其中,解得,
所以,解得,
又因为,所以.
当时,;当时,;当时,.
又因为,所以的取值范围是.
故选：C.
5．答案：A
解析：
由题意可得：，
，
设，
则,
又B,P,N三点共线，所以，
解得，
所以，
故选：A
6．答案：C
解析：，，，
，，……，
所以数列的周期为4，.
故选：C
7．答案：C
解析：因为，且，则，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为6.
故选：C
8．答案：A
解析：在堑堵中，平面，，
，，
以点C为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
因此，直线与平面所成角的余弦值为.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：由于，所以A正确；
残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B错误；
根据正态分布的概率分布特点知为定值，
C正确；
由于，
标准差，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：因为，
所以，
对于A，利用共轭复数的定义可知，故A正确；
对于B，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B错误；
对于C，由复数模的三角不等式可得，
故C正确；
对于D，z的虚部为-1，故D错误.
故选：AC
11．答案：ACD
解析：由，得，所以函数为奇函数，
由是偶函数，得函数关于对称，
则直线是图像的对称轴，故D正确；
且，则，
所以，则，
所以函数的周期为8，故B错误；
对于A，由，若，则，故A正确；
对任意的，，当时，都有，
即，所以在上递减，
结合奇函数知，函数在上递减，即函数上函数递减，
由于函数关于对称，
所以函数在上单调递增，故C正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：若直线l的斜率存在，设，,，
，所以，
由，消去y可得，
，即，
又,，
所以，
令，则，由，得，
解得，即，解之得且，
又A在线段上，所以，所以，
若直线的斜率不存在，易得，
综上的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：
解析：由于六件货物的质量之和不是3的倍数，
因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况
设事件A表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，
事件B表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量
由对称性，可得.
当A发生时，这两个箱子的货物组合只能是和，
和，和三种可能，
故.
当A不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，
于是由对称性，得.
故.
故答案为：.
14．答案：0
解析：由求导得：，
设切点为，则，①，
切线方程为，即，
由题意，，②，将①代入②，可得：，
于是，.
设，
则，
因，则，由，解得，
故当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
故当时，函数取得最小值，
即，从而的最小值是0.
故答案为：0.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理可得，
且，即，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）由余弦定理可得：，
即，可得，
又因为，可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为.
16．答案：(1)证明见解析;
(2);
(3)点E在线段上靠近D点的处，最大角正弦值为.
解析：(1)由点P在底面上的射影是与的交点O，
得平面，又平面，则，
由四边形为菱形，得，
而,,平面，
因此平面，又平面，所以.
(2)过P作于H，连接，
由平面，平面，得，
又，,平面，则平面，
又平面，
因此，为二面角的平面角，
由是正三角形，得,，
由是正三角形，得，
由，知，
在中，，即，
所以二面角的大小为.
（3）由，且平面,平面，
得平面，
则点E到平面的距离即为D到平面的距离h，
而，即，
则，
解得，
即E到平面的距离为，
设直线与平面所成的角为，则，
要使最大，则需使最小，此时，同理可得，
因此,，
则当点E在线段上靠近D点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角正弦值为.
17．答案：(1)(i)；
(ii);
(2)丙先参赛，理由见解析
解析：(1)(i)Y的可能取值为0,10,20,30，
，，
,.
所以Y的分布列为：
所以
(ii)第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，
且必须闯关成功，
所以概率为.
(2)若顺序为“乙甲丙”：
积分的可能取值为0,10,20,30，
，，
,.
所以.
.
若顺序为“丙甲乙”：
积分的可能取值为0,10,20,30，
，，
,.
所以
.
，
，
由于,，
所以,，
所以丙先参赛.
18．答案：(1)极小值为，无极大值.
(2)答案见解析
(3)证明见解析
解析：(1)当时，，定义域为，
∴，
由得，由得，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴当时，有极小值，极小值为，无极大值.
(2)由题意得，，
①当时，，
方程的判别式，
解方程得，
其中，
由得，或，由得，，
∵，∴在上为减函数，
在为增函数.
②当时，，由得，，
由得，，
∴在上为减函数，在为增函数.
③当时，，方程的判别式，
当，即时，恒成立，
，在上为减函数.
当，即时，
方程有两个不相等的实数根，
，
且，由得，，
由得，或
∵，∴在上为增函数，
在，上为增函数.
综上得，当时，在上为减函数，
在为增函数；
当时，在上为减函数，在为增函数；
当时，在上为增函数，
在，为增函数；
当时，在上为减函数.
(3)由题意得，是方程的两根，
∵是的两个极值点，
∴由(2)得，且，，
∵
∴要证，
只需证，
只需证.
令，则需证，
设，
则
∴函数在上单调递减，
∴，故，
由得，，故，
∴.
19．答案：(1)，
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由题知，
所以双曲线，
又过点斜率为-1的直线方程为，
由双曲线与直线的对称性可知，所以，
又过，
且斜率为-1的直线方程为，
即，
由，
解得或，
当时，，
所以，
所以；
(2)
设，
则过，
且斜率为-1的直线方程为，
联立，
消得到，
由题有，
得到，
由题知点在直线上，
即有，
所以，
因为，
则
，
由(1)知，
所以数列是以3为首项，为公比的等比数列；
(3)由(2)知，
由，
即，
即，
则，
，
故，，
，，
从而，
，
即，
则，
则，
，
从而.
Y
0
10
20
30
P