湖北省武汉市部分学校2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份湖北省武汉市部分学校2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用并集的定义直接计算即可.
【详解】集合，，则.
故选：A.
2. 设命题，，则为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
命题“，”的否定“，”.
故选：A.
3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
则函数满足，解得或，
即函数的定义域为.
故选：C.
4. 不存在函数，满足（）
A. 定义域相同，值域相同，但对应关系不同
B. 值域相同，对应关系相同，但定义域不同
C. 定义域相同，对应关系相同，但值域不同
D. 定义域不同，对应关系不同，但值域相同
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD，举例判断，对于C，由两函数相等的条件分析判断.
【详解】对于A，如，满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同，所以A错误，
对于B，如，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同，所以B错误，
对于C，当两函数的定义域相同，对应关系相同时，这两函数为相同的函数，所以值域必相同，
所以不存在函数，满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同，所以C正确，
对于D，如，满足定义域不同，对应关系不同，但值域相同，所以D错误，
故选：C
5. 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作差即可判断.
【详解】时，，
，
故.
故选：B
6. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由已知可得在上递减，，然后画出的简图，结合图象求解不等式即可.
【点睛】因为函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，
所以在上递减，
因为，所以，
所以的简图如图所示，
由，得
或，
所以，或，
解得，或，
综上，
所以不等式的解集为，
故选：A
7. 已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．
【详解】不等式，可化为，
当时，不等式的解集为空集，不合题意；
当时，不等式的解集为，
要使不等式恰有四个整数解，则，
当时，不等式的解集为，
要使不等式恰有四个整数解，则，
综上可得，实数的取值范围是．
故选：C．
8. 定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（）
A. 的最小值为0，最大值为1
B. 在为增函数
C. 是奇函数
D. 满足
【答案】D
【解析】
【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可.
【详解】对于D，因为，使得，此时，
，这表明了，故D正确；
对于B，首先，由D选项分析可知，，故B错误；
对于C，由D选项分析可知，是周期为1的周期函数，所以，故C错误；
对于A，由D选项分析得知，是周期为1的周期函数，所以只需研究它在上的最值情况即可，
而当时，，即的最小值为0，没有最大值，故A错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意到，使得，结合函数新定义得出是周期函数.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列命题中正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】用不等式的性质可判断A，取特值可判断BC，用函数增减性可判断D.
【详解】用不等式的性质可判断A正确；
B错误：若，则；
C错误：若，则；
D正确：时递增，故时，.
故选：AD.
10. 已知函数，则（）
A. 是偶函数
B. 在区间单调递增
C. 的值域为
D
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性定义可判断；根据函数奇偶性性质结合单调性可判断；根据偶函数和幂函数性质可判断.
【详解】对于，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数，故正确；
对于，因为是定义在上的偶函数，所以在上单调性与在上单调性相反，
当时，，而在单调递增，所以在单调递减，故错误；
对于，，当时，的值域为，
因为函数为偶函数，所以的值域为，故正确；
对于，因为函数是偶函数，所以，
因为，所以，所以,
因为在单调递增，所以，故正确.
故选：.
11. 已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（）
A.
B. 函数在区间为增函数
C. 函数在区间为增函数
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D.
【详解】令，则有，即，故A错误；
不妨设，由，可得，
∴，∴函数在区间为增函数，故B正确；
由选项B可知，函数在区间为增函数，
可取，此时在区间为增函数，
而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误；
∵函数在区间为增函数，，
∴，
∴，
∴，故D正确.
故选：BD.
12. 已知x，y均为正实数，则（）
A. 的最大值为
B. 若，则的最大值为8
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为，所以A正确；
B中，由，则，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；
C中，若，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
D中，由，可得，
则，
令，则，
又由，所以当，可得，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果.
【详解】设，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，
所以，
故答案为：.
14. 写出一个定义域为，值域为的函数________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】结合反比例函数模型得到定义域为，值域为的函数解析式.
【详解】因为定义域为，值域为，关于对称，
所以函数定义域为，值域为，
结合反比例函数模型可得，
故答案为：（答案不唯一）
15. 某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如下：
若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．
【答案】12
【解析】
【分析】设集合表示语文写作优秀的学生，集合表示英语书面表达优秀的学生，全班学生用集合表示.利用可得出答案.
【详解】设集合表示语文写作优秀的学生，集合表示英语书面表达优秀的学生，全班学生用集合表示.
则表示语文写作合格的学生，表示英语书面表达合格的学生，作出图.
如图，设两项写作都优秀的人数为，两项写作都合格的人数为.
由图可得,即
因为，所以，即两个项目中都优秀的同学最多为12.
故答案为：12.
16. 已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则______；______.
附注：.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和.
【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且；
又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，
即为偶函数，所以，所以以4为周期，
所以，，，
，所以，
因为，所以，同理，，，，，
所以.
所以.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）由补集的定义即可得出答案；
（2）由，得，讨论和，列出不等式求得结果.
【小问1详解】
集合，当时，，
所以．
小问2详解】
由，得．
①当时，则有，解得：，符合题意；
②当时，则有，解得：．
综合①②可得：实数的取值范围为或．
18. 已知函数．
（1）证明：函数在区间单调递减；
（2）若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2），最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据结合函数是奇函数，结合题意，求得函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解.
【小问1详解】
证明：任取，且，
则，
因为，可得，，
所以，即．所以在上单调递减．
【小问2详解】
解：当时，，因为是奇函数，
额的，所以，
由（1）知，当时，单调递减，所以，，
又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以．
综上可知，的最大值为2，最小值为．
19. 已知x，y都是正数，且．
（1）求的最小值；
（2）已知不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）9（2）．
【解析】
【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件.
（2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围.
【小问1详解】
，
当且仅当即时取等号，此时的最小值为9．
【小问2详解】
解法一：由题意知的最小值．
因为，，所以
，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以．
解法二：由，得，又恒成立，
所以的最小值，因为
，
当且仅当，且，即，时等号成立．所以．
20. 如图1，腰长为的等腰直角与矩形DEFG夹在两条平行直线之间，其中B点与D点重合．若矩形DEFG位置固定不动，而以的速度向右平行移动，移动过程中两图形重叠部分的面积记为，函数的部分图象如图2所示，其中的函数图像被遮住，由虚线代替．
（1）求函数的解析式；
（2）求重叠部分的面积不小于的持续时间．
【答案】（1）
（2）3秒
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合图象，分段求解，即求得函数的解析式；
（2）由（1）中，函数的解析式，结合，分段求解，即可得到答案.
【小问1详解】
解：依题意得，DE的长应为B与D重合至B与E重合时运动路程，
故．
当，；
当，；
当，；
当，，
所以.
【小问2详解】
解：若，结合函数的解析式，只需考虑，
当时，由，解得；
当时，由成立；
当时，由，解得，
所以重叠部分的面积不小于的时间区间为，持续时间为3秒.
21. 已知函数．
（1）若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（2）若函数在区间单调递减，且对任意，，都有，求实数m的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由判别式大于0可得；
（2）由二次函数性质首先求得，然后求得在上的最大值和最小值，由得结论．
【小问1详解】
由题意可知方程有两个不相等的实数根，，
所以，解得或，
所以m的取值范围是或；
【小问2详解】
因为函数在是减函数，其对称轴为，
所以，即．
因为对任意的，，总有，
所以要使成立，则必有．
因为在单调递减，在单调递增，
且，所以，
，
所以，即，解得．
所以，实数m的取值范围是．
22. 已知函数，．
（1）对任意，，求实数x的取值范围；
（2）设，记的最小值为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解法1：由已知可得恒成立．分，，三种情况，分离常数，结合的范围，列出不等式求解，即可得出答案；解法2：由，可将函数看为关于的一次函数，列出不等式组，求解即可得出答案；
（2）代入可得．分，，三种情况，去绝对值，结合二次函数的性质，得出的单调性，进而得出最小值，求出的表达式.分段求解得出范围，即可得出答案.
【小问1详解】
解法1：因为，对任意，，
所以恒成立．
当时，恒成立，即，
解得，所以；
当时，，显然成立；
当时，恒成立，即，
解得，所以．
综上所述，x的取值范围为．
解法2：因为对任意，，
所以，解得；
且，解得．
所以x的取值范围为．
小问2详解】
由题意可知，．
①当时，根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，
在上单调递增.
函数的最小值为；
②当时，
根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增.
所以，函数的最小值为；
③当时，
根据二次函数的性质，可知函数在单调递减，在上单调递增.
故函数的最小值为.
综上所述，.
所以，当时，函数的最小值为，此时；
当时，函数的最小值为，此时；
当时，函数的最小值为，此时．
综上所述，的最小值为．
优秀
合格
合计
语文
20
28
48
英语
30
18
48