黑龙江省大庆市2023_2024学年高二数学上学期期中试题

这是一份黑龙江省大庆市2023_2024学年高二数学上学期期中试题，共4页。试卷主要包含了5，M,N分别在上等内容，欢迎下载使用。
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
单选题（每小题只有一个选项正确，共8小题，每小题5分，共40分。）
1.经过点且与直线垂直的直线方程是
A． B． C． D．
2．曲线与曲线的
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
3.向量且与互相垂直，则的值是
A． B． C． D．
4.已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的标准方程为
A． B．
C． D．
5.设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为
A． B． C． D．
6.如图，圆台的高为4，上下底面半径分别为3、5，M,N分别在上、下底面圆周上，且,则等于
A． B． C． D．
7.已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且则的离心率为
A． B． C． D．
8.在直角坐标系中，已知若直线上存在点，使得,则正实数的最小值是
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知双曲线，则
A．的焦点坐标是 B．的渐近线方程为
C．的虚轴长为 D．的离心率为
10.已知是空间的一组基底，则下列说法中正确的是
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在实数，使得
D． 一定能构成空间向量的一组基底
11.点到直线的距离可能是
A． B． C． D．
12. 卵形线是由法国天文家引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点的距离的乘积等于常数是正常数，设的距离为，当时称得到的卵形线为双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点距离之积为常数的点的轨迹是双纽线，是曲线上一点，则
A. 曲线C关于原点中心对称
B. 的取值范围是
C. 最大值为
D. 曲线上有且仅有一个点满足
第Ⅱ卷 非选择题部分
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分。）
13.直线与直线平行，则
14.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_________
15.圆与圆相交于两点，则=______
16.已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为_______
四、解答题（共6小题，共70分。）
17.（10分）直线过点，且倾斜角比直线的倾斜角大
（1）求直线的方程
（2）若直线与直线平行，且距离为，求直线的方程
18. （12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF所成角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
19．（12分）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点。
（1）求直线的方程
（2）求弦的长度
20. （12分）已知双曲线，的左、右焦点分别为，双曲线的
右顶点，且
（1）求双曲线的方程；
（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点,求证：的面积为定值
21. （12分）如图，平面，，，，，.
（1）求直线与平面所成角正弦值；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.
22. （12分）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下了轨迹.已知细绳长度为．经测量，当笔尖运动到点处时，.设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，以为单位长度，建立平面直角坐标系．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于两点，的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
2022级高二上学期期中考试---数学试题答案
选择题
填空题13. 14. 15. 16.
解答题： 【17题】
（1）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为由题意得：
所以
所以直线的方程为
（2）设直线的方程为
因为直线与直线的距离为
所以，解得
所以直线的方程为和
【18题】
（1）以为建立空间直角坐标系
则
所以直线DE的方向向量
所以直线PF的方向向量
所以直线DE和PF所成角的余弦值为
（2）设平面的法向量为，又
因为所以
可解得一组解为
则，又因为
所以点E到平面PBF的距离为
【19题】
（1）已知M是椭圆弦AB的中点，设则
又因为
所以即：
又因为，所以同时除以得：
即
所以直线AB的方程为
即
（2）联立消去得：
；；
【20题】
（1）由
所以
所以双曲线的标准方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为
联立消去y得
由直线l与双曲线C只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交，则直线l与双曲线C的渐进线不平行，所以，即
于是得，则
双曲线C的渐近线为，即
联立消去y得，
，设则
当直线的斜率不存在时，
，
【21题】
（1）以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系
则
设
设为平面的法向量
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
（2）设为平面的法向量
由题意得
解得
经检验，符合题意，所以线段的长为
【22题】
（1）有题意得笔尖留下的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为
由可知，又
把代入抛物线方程得，解得
所以抛物线的方程为
（2）假设存在，使得，设，直线l的方程为
联立消去y得
；
因为，所以
令，
所以，解得
故存在，使得
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
B
D
A
C
A
C
B
CD
ABD
ABC
ACD