2024-2025学年四川省资阳市天立学校高一（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年四川省资阳市天立学校高一（上）期末数学试卷，共39页。
A．B．1C．2D．
3．（5分）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）若f（x）＝x（x+2）（x﹣a）为奇函数，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．（5分）“a＜2”是“函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知α∈（0，π），且3cs2α+14csα+7＝0，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y＝[x]为高斯函数．例如，[2.1]＝2，[﹣1.2]＝﹣2，已知函数．则函数f（x）的值域为（ ）
A．[0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}
8．（5分）已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．（5，8）B．（5，8]C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣πrad＝﹣180°
B．第一象限角都是锐角
C．在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为
D．终边在直线y＝﹣x上的角的集合是
（多选）10．（5分）若x＞y，则（ ）
A．ln（x﹣y+1）＞0B．
C．3x＞3yD．|x|＞|y|
（多选）11．（5分）已知f（α）＝﹣，则下列说法正确的是（ ）
A．f（α）＝﹣sin2α
B．f（α）＝sin2α
C．若tanα＝3，则
D．若，则
（多选）12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．x2+y2≥2B．xy＞1C．D．x3+y3≤2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数的定义域为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则不等式f（x﹣3）＞f（1﹣x）的解集为 ．
15．（5分）已知函数的最大值为2，则a＝ ．
16．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0．
（1）写出命题p的否定；
（2）判断命题p的真假，并说明理由．
18．已知．
（1）若α为锐角，求的值；
（2）求sin2α﹣2cs2α+1的值．
19．已知x＞0，y＞0，xy＝x+y+a．
（1）当a＝3时，求xy的最小值；
（2）当a＝0时，求的最小值．
20．某大学科研小组自2023年元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为n（单位：m2），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4m2，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积y（单位：m2与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一个是y＝，记2023年元旦最初测量时间x的值为0．
（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
（2）该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍？
21．已知函数满足[f（1）]2＝f（2）+2．
（1）求实数a的值；
（2）求函数g（x）＝f（2x）﹣2f（x）的值域．
22．函数的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，△MBC的面积为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的，都有|f（x）+3lg3k|≤3，求实数k的取值范围．
2024-2025学年四川省资阳市天立学校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]
【考点】指、对数不等式的解法；交集及其运算．
【答案】A
【分析】根据集合运算的定义计算即可．
【解答】解：2x≤4，2x≤22，x≤2，B＝（﹣∞，2]，
A＝[﹣2，3]，则A∩B＝[﹣2，2]．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）当x≠0时，的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【考点】基本不等式及其应用．
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：当x≠0时，＝2，当且仅当，即x2＝1时取等号．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
3．（5分）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【考点】正切函数的奇偶性与对称性；正切函数的图象．
【答案】B
【分析】根据题意，求出函数f（x）的对称中心，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，，
令3x﹣＝，解可得x＝+，k∈Z，
即函数的图象的对称中心为（+，0），k∈Z，
分析选项：B符合．
故选：B．
【点评】本题考查正切函数的对称性，注意正切函数的性质，属于基础题．
4．（5分）若f（x）＝x（x+2）（x﹣a）为奇函数，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】函数的奇偶性．
【答案】D
【分析】根据题意，由奇函数的定义可得（﹣x）（﹣x+2）（﹣x﹣a）＝﹣x（x+2）（x﹣a），变形可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）＝x（x+2）（x﹣a）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即（﹣x）（﹣x+2）（﹣x﹣a）＝﹣x（x+2）（x﹣a），变形可得（x﹣2）（x+a）＝（x+2）（x﹣a），
进而可得：（a﹣2）x＝0，必有a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
5．（5分）“a＜2”是“函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的定义域为R
则Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，
故“a＜2”是“函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的定义域为R”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
6．（5分）已知α∈（0，π），且3cs2α+14csα+7＝0，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式解方程3cs2α+14csα+7＝0，求出csα，再利用同角的三角函数关系求出sinα和tanα，即可求得tan2α．
【解答】解：因为α∈（0，π），且3cs2α+14csα+7＝0，
所以3（2cs2α﹣1）+14csα+7＝0，
即3cs2α+7csα+2＝0，
解得csα＝﹣或csα＝﹣2（舍去），
所以sinα＝＝＝，
所以tanα＝＝﹣2，
所以tan2α＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题．
7．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称y＝[x]为高斯函数．例如，[2.1]＝2，[﹣1.2]＝﹣2，已知函数．则函数f（x）的值域为（ ）
A．[0，1）B．（0，2）C．{0，1}D．{0，1，2}
【考点】复合函数的值域．
【答案】A
【分析】先阅读题意，然后分：时，当时，当x＞1时三种情况讨论即可．
【解答】解：当时，，
当时，，
则，
则＝∈[0，1），
当x＞1时，，
则，
则＝∈（0，1），
综上可得：函数f（x）的值域为[0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数值域的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
8．（5分）已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．（5，8）B．（5，8]C．D．
【考点】三角函数的最值．
【答案】C
【分析】依题意，可得＜ωx﹣≤，解之可得答案．
【解答】解：∵在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，ω＞0，
∴＜ωπ﹣≤，
解得＜ω≤．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的性质的应用，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣πrad＝﹣180°
B．第一象限角都是锐角
C．在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为
D．终边在直线y＝﹣x上的角的集合是
【考点】象限角、轴线角；弧度制；运用诱导公式化简求值；任意角的概念；终边相同的角．
【答案】AC
【分析】由弧度制与角度的互化可得A正确；根据象限角的定义可得B错误；由弧长公式可求得C正确；利用终边相同的角的集合即可得D错误．
【解答】解：对于A：﹣πrad＝﹣180°，A正确；
对于B：角也是第一象限角，不是锐角，B错误；
对于C：在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为正确；
对于D：终边在y＝﹣x上的角的集合是，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查弧长公式，象限角的概念，属于基础题．
（多选）10．（5分）若x＞y，则（ ）
A．ln（x﹣y+1）＞0B．
C．3x＞3yD．|x|＞|y|
【考点】等式与不等式的性质．
【答案】AC
【分析】利用指对数函数的单调性判断AC；举例说明判断BD作答．
【解答】解：由x＞y知，x﹣y+1＞1，则ln（x﹣y+1）＞0，A正确；
取x＝1，y＝﹣2满足x＞y，此时，|x|＜|y|，BD错误；
由x＞y，得3x＞3y，C正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知f（α）＝﹣，则下列说法正确的是（ ）
A．f（α）＝﹣sin2α
B．f（α）＝sin2α
C．若tanα＝3，则
D．若，则
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【答案】BCD
【分析】利用诱导公式化简f（α）的表达式，可判断A，B；利用齐次式法求值，可判断C；化f（α）为f（α）＝1﹣（sinα﹣csα）2，求值，即可判断D．
【解答】解：因为f（α）＝﹣
＝
＝2sinαcsα
＝sin2α，
故A错误，B正确；
当tanα＝3时，＝＝＝，故C正确；
若sinα﹣csα＝，则f（α）＝2sinαcsα＝1﹣（sinα﹣csα）2＝＝，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．x2+y2≥2B．xy＞1C．D．x3+y3≤2
【考点】基本不等式及其应用．
【答案】AC
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
【解答】解：因为正实数x，y满足x+y＝2，
所以x2+y2≥2×＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，A正确；
因为2＝x+y，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以xy≤1，B错误；
（）2＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以≤2，C正确；
x3+y3＝（x+y）（x2+y2﹣xy）＝2[（x+y）2﹣3xy]＝8﹣6xy≥8﹣6＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数的定义域为 {x|x≥2或﹣1＜x＜0} ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【答案】{x|x≥2或﹣1＜x＜0}．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：，
则，解得x≥2或﹣1＜x＜0，
故函数f（x）的定义域为{x|x≥2或﹣1＜x＜0}．
故答案为：{x|x≥2或﹣1＜x＜0}．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
14．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则不等式f（x﹣3）＞f（1﹣x）的解集为 （2，+∞） ．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【答案】（2，+∞）．
【分析】根据题意，分析f（x）的单调性，由此可得原不等式等价于x﹣3＞1﹣x，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex﹣e﹣x，
y＝ex在R上为增函数，y＝e﹣x在R上为减函数，
故f（x）在R上为增函数，
若f（x﹣3）＞f（1﹣x），必有x﹣3＞1﹣x，解可得x＞2，
即不等式的解集为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
15．（5分）已知函数的最大值为2，则a＝ 6 ．
【考点】函数的最值；复合函数的单调性．
【答案】6．
【分析】根据题意，设t＝﹣x2+4x+a﹣1，由对数的运算性质可得t＝﹣x2+4x+a﹣1有最大值9，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设t＝﹣x2+4x+a﹣1，则y＝lg3t，
函数的最大值为2，则t＝﹣x2+4x+a﹣1有最大值9，
而t＝﹣x2+4x+a﹣1＝﹣（x﹣2）2+a+3，则有a+3＝9，解可得a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数的最值，属于基础题．
16．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ＝ ． ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【答案】．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数g（x）＝cs（2x+2φ﹣）的图象．
若g（x）是偶函数，则2φ﹣＝kπ，k∈Z，故φ＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0．
（1）写出命题p的否定；
（2）判断命题p的真假，并说明理由．
【考点】求全称量词命题的否定．
【答案】（1）∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0；
（2）命题p为假命题，理由详见解析．
【分析】（1）结合命题否定的定义，即可求解；
（2）结合特殊值法，即可求解．
【解答】解：（1）命题p：∀x∈R，x2﹣x﹣2＞0，
则命题p的否定为∃x∈R，x2﹣x﹣2≤0；
（2）命题p为假命题，理由如下：
当x＝0时，x2﹣x﹣2＜0，故命题p为假命题．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
18．已知．
（1）若α为锐角，求的值；
（2）求sin2α﹣2cs2α+1的值．
【考点】求二倍角的三角函数值；同角正弦、余弦的平方和为1．
【答案】（1）；
（2）3．
【分析】（1）化简得sinα＝2csα，结合平方关系求出sinα，csα，再利用两角差的余弦公式，即可求得答案；
（2）由（1）可得tanα＝2，化简sin2α﹣2cs2α+1为，利用齐次式法求值，即可得答案．
【解答】解：（1）由，得sinα＝2csα，
因为α锐角，sin2α+cs2α＝1，所以，
可得；
（2）由sinα＝2csα得tanα＝2，
则sin2α﹣2cs2α+1＝2sinαcsα﹣2（1﹣2sin2α）+1＝2sinαcsα+4sin2α﹣1
＝
＝．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
19．已知x＞0，y＞0，xy＝x+y+a．
（1）当a＝3时，求xy的最小值；
（2）当a＝0时，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【答案】（1）9；（2）5．
【分析】（1）由已知结合基本不等式可直接求解；
（2）先对所求式子进行变形，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，xy＝x+y+a．
（1）当a＝3时，xy＝x+y+3+3，当且仅当x＝y＝3时取等号，
解得xy≥9，即xy的最小值为9；
（2）当a＝0时，xy＝x+y，
所以＝1，
＝x+y+＝x+y+1＝（x+y）（）+1＝3+＝5，当且仅当x＝y＝2时取等号，
故的最小值为5．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
20．某大学科研小组自2023年元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为n（单位：m2），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了4m2，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积y（单位：m2与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是y＝nax（n＞0，a＞1）；另一个是y＝，记2023年元旦最初测量时间x的值为0．
（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
（2）该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【答案】（1）函数模型y＝p+n（n＞0，p＞0）满足要求，解析式为y＝4+2，x≥0，且x∈N；
（2）该水域中绿球藻生长面积在9月底达到其最初的生长面积n的7倍．
【分析】（1）根据两个函数模型的单调性和函数值随x的增加变化情况，判断并求出函数解析式；
（2）根据函数解析式，列方程求解即可．
【解答】解：（1）因为两个函数模型y＝nax（n＞0，a＞1），y＝p+n（p＞0，n＞0）在（0，+∞）上都是单调增函数，
随着x的增大，y＝nax（n＞0，a＞1）的函数值增加得越来越快，不满足题意；
函数y＝p+n（p＞0，n＞0）的函数值随x的增加越来越慢，满足题意；
所以函数模型y＝p+n（n＞0，p＞0）满足要求，
由题意知，，
解得p＝4，n＝2，
所以y＝4+2，x≥0，且x∈N；
（2）由题意知，令4+2＝7×2，
化简得＝3，解得x＝9，
所以该水域中绿球藻生长面积在9月底达到其最初的生长面积n的7倍．
【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21．已知函数满足[f（1）]2＝f（2）+2．
（1）求实数a的值；
（2）求函数g（x）＝f（2x）﹣2f（x）的值域．
【考点】复合函数的值域．
【答案】（1）1；
（2）[﹣2，+∞）．
【分析】（1）由题意可得关于a的方程，解得a的值；
（2）由（1）可得g（x）的解析式，换元整理，由二次函数的单调性可得函数的值域．
【解答】解：（1）∵[f（1）]2＝f（2）+2，
所以，且a＞0，
解得a＝1；
（2）由（1）可得f（x）＝，
所以g（x）＝f（2x）﹣2f（x）＝﹣2•＝（2x）2+（）2﹣2•（2x+）＝（2x+）2﹣2（2x+）﹣2，
令t＝2x+≥2＝2，当且仅当2x＝1，即x＝0时取等号，
设h（t）＝t2﹣2t﹣2，t≥2，
开口向上，对称轴t＝1，所以函数在[2，+∞）单调递增，
所以h（t）≥h（2）＝22﹣2×2﹣2＝﹣2．
所以函数的值域为[﹣2，+∞）．
【点评】本题考查函数的解析式的求法及二次函数的性质的应用，属于基础题．
22．函数的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，△MBC的面积为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的，都有|f（x）+3lg3k|≤3，求实数k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】（1）f（x）＝3sin（2x+）；
（2）[]．
【分析】（1）由函数过F，代入可求φ，结合三角形面积公式可求|BC|，进而可求周期，结合周期公式求出ω，从而可求函数解析式；
（2）先由已知x的范围求f（x）的范围，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，f（0）＝3sinφ＝，0，
所以，
又△MBC的面积S＝＝，
所以|BC|＝＝，
所以T＝π，ω＝2，
所以f（x）＝3sin（2x+）；
（2）当0时，，
所以0，0≤f（x）≤3，
若对任意的，都有|f（x）+3lg3k|≤3，
则﹣3﹣f（x）≤3lg3k≤3﹣f（x），
所以﹣3≤3lg3k≤0，
解得，
故k的范围为[]．
【点评】本题主要考查了由部分函数的性质求解y＝Asin（ωx+φ）的解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．求全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．
【解题方法点拨】
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．
写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．
解：因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，
故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．
3．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
4．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
5．指、对数不等式的解法
【知识点的认识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x为正数）：
6．复合函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】
复合函数的值域是内层函数和外层函数值域的共同部分．复合函数形式如 f（g（x））．﹣分析内层函数 g（x） 的值域．
﹣将内层函数的值域代入外层函数，求出外层函数的值域．
﹣综合内层和外层函数的值域，确定复合函数的值域．
求函数y＝2|3﹣x|的值域．
解：|x﹣3|≥0，
则y＝2|3﹣x|≥20＝1，
故函数y的值域为[1，+∞）．
7．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
8．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
9．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
10．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
11．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，
∴mx2+mx+m＜1，
∴∀x∈R，m＜恒成立，
∵x2+x+1＝（x+）2+≥，
∴0＜≤，
∴m≤0．
12．求对数型复合函数的定义域
【知识点的认识】
对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围．
【解题方法点拨】
﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义．
﹣分析外层对数函数的定义域，确保整个复合函数有意义．
﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域．
【命题方向】
常见题型包括求解对数型复合函数的定义域，结合复合函数的内外层分析其定义域．
已知函数y＝lg（x2﹣ax+1）的定义域为R，求实数a的取值范围．
解：∵函数y＝lg（x2﹣ax+1）的定义域为R，
∴x2﹣ax+1＞0对任意x∈R恒成立，则Δ＝（﹣a）2﹣4＜0，
即a2＜4，得﹣2＜a＜2．
∴实数a的取值范围是（﹣2，2）．
13．任意角的概念
【知识点的认识】
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
【命题方向】
下列各命题正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限角都是锐角
C．锐角都是第一象限角
D．小于90度的角都是锐角
分析：明确终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例排除某些选项，从而选出答案．
解：∵30°和390°是终边相同的角，但30°≠390°，故可排除A．
第一象限角390°不是锐角，故可排除B．
﹣30°是小于90°的角，但它不是锐角，故可排除D．
锐角是第一象限角是正确的，
故选C．
点评：本题考查终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例说明某个命题不成立，是一种简单有效的方法．
14．终边相同的角
【知识点的认识】
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
【命题方向】
下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．﹣30° C．630° D．﹣630°
分析：直接利用终边相同的角判断即可．
解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，
所以B满足题意．
故选B．
点评：本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．
15．象限角、轴线角
【知识点的认识】
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
【命题方向】
已知α是第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角
分析：用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，所在的象限．
解：∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z，
∴kπ+＜＜kπ+，k∈z，
当k取偶数（如 0）时，是第一象限角，当k取奇数（如 1）时，是第三象限角，
故选 D．
点评：本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．
16．弧度制
【知识点的认识】
弧度制的有关概念与公式
1.1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
【命题方向】
将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．
解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π
将分针拨慢是逆时针旋转
∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为 ×2π＝
故选A．
点评：本题考查弧度的定义，一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．
17．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
18．正切函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
19．正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
20．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
21．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
22．三角函数的最值
【知识点的认识】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【解题方法点拨】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2•＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案为：+cs（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【命题方向】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
23．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
24．同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
【解题方法点拨】
﹣利用恒等式sin2θ+cs2θ＝1进行计算．
﹣结合具体问题，应用恒等式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用恒等式简化三角函数表达式，结合具体问题应用恒等式求解．
已知α为钝角，，则csα＝_____．
解：因为，所以，
因为α为钝角，所以．
故答案为：．
25．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
26．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
27．求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcsα
cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知，则tanα＝_____．
解：因为，
所以．
故答案为：．
28．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
B
D
A
C
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π