2023-2024学年上海市闵行区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年上海市闵行区八年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列代数式中，的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝5：12：13
4．（2分）已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．周长为1的矩形的长与宽成正比例
B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例
C．面积为1的矩形的长与宽成反比例
D．等边三角形的面积与它的边长成正比例
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，过E作EF∥AC交边AB于点F，交边BC于点G，联结CF．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．∠EFD＝∠BCDB．∠ACF＝∠DCFC．BF＝BCD．AF＝CF
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）化简： ．
8．（2分）方程x2＝2x的根为 ．
9．（2分）计算： ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝ ．
11．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣2＝ ．
12．（2分）函数的定义域是 ．
13．（2分）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，分别作AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，垂足为F、G，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 度．
15．（2分）经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是 ．
16．（2分）已知直角坐标平面内两点A（3，1）和B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ．
17．（2分）如图，点B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、C，E为BC的中点，函数的图象经过点E且交AB于F，已知四边形OEBF的面积为2，则k的值为 ．
18．（2分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，如果将△ABC折叠，使点B与点A重合，且折痕交边AB于点M，交边BC于点N，如果△CAN是直角三角形，那么△ABC的面积是 ．
三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）计算：（2）29（）0．
20．（6分）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0．
21．（6分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
（1）求DC的长．
（2）求证：△ABC是直角三角形．
22．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
四、解答题（本大题共5题，第23题6分，第24、25、26题8分，第27题10分，满分40分）
23．（6分）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？
24．（8分）小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示：
（1）请写出小李的实付金额y（元）关于购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域；
（2）小李和好朋友小方拼单购物，小李和小方所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小方应如何分配实付金额？请写出你的理由．
25．（8分）如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM．
（1）求证：PD＝PE；
（2）连接AP，并延长AP交BC于点Q，求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC．
26．（8分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于点A．已知OA＝4，直线OA与y轴的夹角为30°．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
27．（10分）已知点D是等边△ABC边BC的中点，E、F分别为边AB、射线AC上的点，且∠EDF＝120°．
（1）如图1，当DF⊥AC，AB＝4时，求BE的长；
（2）如图2，当F在边AC上时，求证：；
（3）如图3，当F在边AC的延长线上时，作DN⊥AC于点N，如果DN＝FN，设BE＝x，NF＝y，求出y关于x的函数关系式．
2023-2024学年上海市闵行区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式概念解答即可．
【解答】解：A选项，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝2，与是同类二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式＝3，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝6，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式概念是解题关键．
2．（2分）下列代数式中，的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据有理化因式的定义：两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式．据此进行解题即可．
【解答】解：要使1有理化，
则可知，（1）（1）＝m﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
3．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝5：12：13
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
4．（2分）已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】根据反比例函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可解答本题．
【解答】解：∵y，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
当x1＜0＜x2时，y1＜y2，
当0＜x1＜x2时，y1＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．周长为1的矩形的长与宽成正比例
B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例
C．面积为1的矩形的长与宽成反比例
D．等边三角形的面积与它的边长成正比例
【分析】根据矩形的性质、等腰三角形的性质及等边三角形的性质判断求解即可．
【解答】解：周长为1的矩形的长与宽不成正比例，故A不符合题意；
面积为1的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例，故B不符合题意；
面积为1的长方形的长与宽成反比例，故C符合题意；
等边三角形的面积与它的边长不成正比例，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质、矩形的性质是解题的关键．
6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，过E作EF∥AC交边AB于点F，交边BC于点G，联结CF．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．∠EFD＝∠BCDB．∠ACF＝∠DCFC．BF＝BCD．AF＝CF
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE＝∠BCA＝90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD＝∠BCD，利用“角角边”证明△BCE和△BFE全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF＝BC．
【解答】解：∵EF∥AC，∠BCA＝90°，
∴∠CGE＝∠BCA＝90°，
∴∠BCD+∠CEG＝90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED＝90°，
∵∠CEG＝∠FED（对顶角相等），
∴∠EFD＝∠BCD，故A正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（AAS），
∴BF＝BC，故C正确，
∵△BCE≌△BFE，
∴EF＝CE，
∴∠CFE＝∠DCF，
∵EF∥AC，
∴∠ACF＝∠CFE，
∴∠ACF＝∠DCF，故B正确；
∵无法得出∠ACF＝∠FAC，
∴无法得出AF＝CF，故D错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）化简： 3 ．
【分析】把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可．
【解答】解：原式
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
8．（2分）方程x2＝2x的根为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
9．（2分）计算： 3ab2 ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵a＞0，
∴b≥0，
∴原式＝3ab2．
故答案为：3ab2．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
10．（2分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2＝1的常数项为0，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：由已知方程得到：（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0．
根据题意得：m2﹣1＝0，
解得：m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，方程为5x＝0，不合题意，
则m的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
11．（2分）在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣2＝ （x﹣2）（x﹣2） ．
【分析】先配方成完全平方式，再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣2
＝x2﹣4x+4﹣4﹣2
＝（x﹣2）2﹣6
＝（x﹣2）（x﹣2）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，配方成完全平方式是解题的关键．
12．（2分）函数的定义域是 x且x≠﹣2 ．
【分析】根据分母不等于零分式有意义和被开方数为非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得：1﹣2x≥0且x+2≠0，
解得x且x≠﹣2．
故答案为：x且x≠﹣2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不等于零分式有意义得出不等式是解题关键．
13．（2分）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 24cm2 ．
【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵一个直角三角形两条直角边的比是3：4，
∴设两条直角边分别为3x，4x，
根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，
∴x＝2，
∴两条直角边分别为6cm和8cm，
∴这个直角三角形面积为8×6＝24（cm2），
故答案为：24cm2．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，分别作AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，垂足为F、G，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 40 度．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，得到∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故选：40．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（2分）经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是 以点A为圆心，5cm长为半径的圆 ．
【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点5厘米能画一个什么图形．
【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，5cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．
【点评】此题考查了轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
16．（2分）已知直角坐标平面内两点A（3，1）和B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ．
【分析】直接根据两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：AB，
即A、B两点间的距离等于，
故答案为：
【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键．
17．（2分）如图，点B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、C，E为BC的中点，函数的图象经过点E且交AB于F，已知四边形OEBF的面积为2，则k的值为 2 ．
【分析】连接OB，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE，S△OAF，再根据点E为BC的中点，得S△BOE＝S△OCE，进而得S△OAB＝S△OBC＝k，由此可得S△OBF，然后根据四边形OEBF的面积为2即可得k的值．
【解答】解：连接OB，如图所示：

∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k＞0，
∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴四边形OABC为矩形，
∵点E，F在反比例函数的图象上，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE，S△OAF，
∴点E为BC的中点，
∴S△BOE＝S△OCE，
∴S△OBC＝S△OCE+S△BOE＝k，
∴S△OAB＝S△OBC＝k，
∴S△OBF＝S△OAB﹣S△OAF＝k，
∴S四边形OEBF＝S△BOE+S△OBFk，
∵四边形OEBF的面积为2，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，准确识图，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．
18．（2分）在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，如果将△ABC折叠，使点B与点A重合，且折痕交边AB于点M，交边BC于点N，如果△CAN是直角三角形，那么△ABC的面积是 4或 ．
【分析】分两种情况：当∠ANC＝90°时，根据AB＝AC，BC＝4，∠ANC＝90°及将△ABC折叠，使点B与点A重合，可得BN＝AN＝2，即得△ABC的面积4；当∠NAC＝90°时，过A作AH⊥BC于H，设BN＝x，则NH＝2﹣x，可得AH2＝AN2﹣NH2＝4x﹣4，AC2＝AH2+CH2＝4x，又AN2+AC2＝CN2，即得x2+4x＝（4﹣x）2，可解得BN＝AH，NH，即知AH，故△ABC的面积是．
【解答】解：当∠ANC＝90°时，如图1：
∵AB＝AC，BC＝4，∠ANC＝90°，
∴BN＝CNBC＝2，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴BN＝AN＝2，
∴△ABC的面积是BC•AN4×2＝4；
当∠NAC＝90°时，过A作AH⊥BC于H，如图2：
∵AB＝AC，BC＝4，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
设BN＝x，则NH＝2﹣x，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
∴AN＝x，
∴AH2＝AN2﹣NH2＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，
∴AC2＝AH2+CH2＝（4x﹣4）+22＝4x，
∵∠NAC＝90°，
∴AN2+AC2＝CN2，
∴x2+4x＝（4﹣x）2，
解得x，
∴BN＝AN，NH，
∴AH，
∴△ABC的面积是BC•AH4；
故答案为：4或．
【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出BC边上的高．
三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）计算：（2）29（）0．
【分析】先根据完全平方公式、零指数幂的意义计算，再分母有理化，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝4﹣4331
＝7﹣48﹣431
＝14﹣5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键．
20．（6分）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0．
【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
【解答】解：把方程x2+2x0的常数项移到等号的右边，得
x2+2x，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+11
配方得（x+1）2，
开方得x+1＝±，
解得x＝±1．
【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21．（6分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
（1）求DC的长．
（2）求证：△ABC是直角三角形．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD的长；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△CDB中，∵BC＝15，DB＝9，
∴根据勾股定理，得CD12，
（2）证明：在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2
∴122+AD2＝202
∴AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25
∴AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，求出AB是解本题的关键．
22．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE＝BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．
【解答】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），
∴DFBE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴ACAE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．
【点评】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．
四、解答题（本大题共5题，第23题6分，第24、25、26题8分，第27题10分，满分40分）
23．（6分）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？
【分析】设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（30﹣3x+1.5×2）米，根据面积为90平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设垂直于墙的一边为x米，
根据题意得：x•（30﹣3x+1.5×2）＝90，
整理得：x（33﹣3x）＝90，即x2﹣11x+30＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝5，x2＝6，
当x＝5时，平行于墙的一边为30﹣3×5+1.5×2＝18米＞16米，
故x＝5米不符合题意，舍去；
当x＝6时，平行于墙的一边为30﹣3×6+1.5×2＝15米＜16米，
答：仓库的长是15米，宽是6米．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
24．（8分）小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示：
（1）请写出小李的实付金额y（元）关于购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域；
（2）小李和好朋友小方拼单购物，小李和小方所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小方应如何分配实付金额？请写出你的理由．
【分析】（1）先求出打折后为56元时的x的值，再根据题意列出函数解析式和定义域；
（2）先计算出小李和小方拼单购物实付金额，然后在分别求出他们实际付款金额即可．
【解答】解：（1）令0.7x＝56，
解得x＝80，
∴当0＜x＜80时，y＝0.7x；
当x≥80时，y＝0.7x﹣10．
综上，y；
（2）小李和小方应实付金额分别为36元，24元．
理由如下：∵60+40＝100＞80，
∴小李和小方拼单购物实付金额为：0.7×100﹣10＝60（元），
∴小李实付金额为：60＝36（元），
小方实付金额为：60＝24（元），
答：小李和小方应实付金额分别为36元，24元．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键．
25．（8分）如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM．
（1）求证：PD＝PE；
（2）连接AP，并延长AP交BC于点Q，求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC．
【分析】（1）证明Rt△BNE≌Rt△CMD（HL），得出∠NED＝∠MDC．则可得出结论；
（2）得出PN＝PM，则AP平分∠BAC，由等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：（1）∵DM⊥AC，EN⊥AB，
∴∠BNE＝∠DMC＝90°．
∵BD＝CE，
∴BD+DE＝CE+DE，
∴BE＝CD．
在Rt△BNE与Rt△CMD中，
∵，
∴Rt△BNE≌Rt△CMD（HL）．
∴∠NED＝∠MDC．
∴PD＝PE．
（2）如图，
∵Rt△BNE≌Rt△CMD，
∴∠B＝∠C，NE＝MD．
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
∵NE＝MD，PD＝PE，
∴NE﹣PE＝MD﹣PD，
∴PN＝PM．
∵PN＝PM，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC．
即AQ平分∠BAC．
∵AB＝AC，
∴AQ⊥BC，BQ＝CQ，
即过点A、P的直线垂直平分BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（8分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于点A．已知OA＝4，直线OA与y轴的夹角为30°．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求OEOA＝2，AEOE＝2，利用待定系数法可求解；
（2）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，
∴∠OAE＝30°，
∴OEOA＝2，AEOE＝2，
∴点A（2，2）；
∵反比例函数y的图象过点A，
∴m＝2×24，
∴反比例函数解析式为y；
（2）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，
又∵∠AOP1＝30°，
∴AP1＝2，OP1AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，
∴OP2＝2，
∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，
∴OP3＝2AP3，AOAP3＝4，
∴OP3，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，
∴∠AP4O＝30°，
∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．（10分）已知点D是等边△ABC边BC的中点，E、F分别为边AB、射线AC上的点，且∠EDF＝120°．
（1）如图1，当DF⊥AC，AB＝4时，求BE的长；
（2）如图2，当F在边AC上时，求证：；
（3）如图3，当F在边AC的延长线上时，作DN⊥AC于点N，如果DN＝FN，设BE＝x，NF＝y，求出y关于x的函数关系式．
【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝4，再由四边形内角和定理得∠AED＝90°，则∠BED＝90°，润滑油含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，证△MDB≌△NCD（AAS），得BM＝CN，DM＝DN，再证△EMD≌△FND（ASA），得EM＝FN，则BE+CF＝2BM，即可解决问题；
（3）过D作DM⊥AB于点M，同（2）得BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN，则DM＝DN＝FN＝EM，再由勾股定理得DMBM，然后由BE＝EM+BM，得x＝yy，即可解决问题．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝4，
∵点D是等边△ABC边BC的中点，
∴BD＝CDBC＝2，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠AED＝360°﹣∠A﹣∠DFA﹣∠EDF＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BEBD＝1，
即BE的长为1；
（2）证明：如图2，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，
则∠DME＝∠DMB＝∠DNA＝∠DNC＝90°，
在△MBD和△NCD中，
，
∴△MDB≌△NCD（AAS），
∴BM＝CN，DM＝DN，
∵∠MDN＝360°﹣∠DMA﹣∠DNA﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∠EDF＝120°，
∴∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDN﹣∠EDN＝∠EDF﹣∠EDN，
即∠MDE＝∠NDF，
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CN﹣FN＝BM+CN＝2BM，
∵∠DMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BDM＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BM，
∴BE+CF＝BDBCAB；
（3）解：如图3，过D作DM⊥AB于点M，
同（2）得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN，
∵DN＝FN＝y，
∴DM＝DN＝FN＝EM＝y，
在Rt△BMD中，∠B＝60°，
∴∠BDM＝30°，
∴BD＝2BM，
∴DMBM，
∴BMDMy，
∵BE＝EM+BM，
∴x＝yy，
整理得：yx，
即y关于x的函数关系式为yx．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
C
A
D
C
D
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