广东省广州市越秀区广东实验中学附属天河学校2022-2023学年九年级上学期数学期末考试问卷（答案）

这是一份广东省广州市越秀区广东实验中学附属天河学校2022-2023学年九年级上学期数学期末考试问卷（答案），共22页。

A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选 A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
下列事件中，是必然事件的是（ ）
经过长期努力学习，你会成为科学家
抛出的篮球会下落
打开电视机，正在直播 NBA
从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A、C、D 选项是随机事件，
B 选项：抛出的篮球肯定会下落，故是必然事件.
故选：B.
【详解】解： 抛物线 y  x2  2 向下平移 1 个单位，
抛物线的解析式为 y  x2  2 1 ，即 y  x2 1． 故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移| a | 个单位长度纵坐标要减
| a | ．
如图， AB 为O 的直径， CD 为O 的弦， AB  CD 于 E，下列说法错误的是（）
CE  DE
AC  AD
OE  BE
COB  2BAD
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理解题.
【详解】CD 为O 的弦， AB  CD 于 E，
CE  ED，AC  AD ， BC  BD ，
CD  2BD
COB  2BAD
故选项 A、B、D 正确，
无法判断OE  BE ，故选项 C 错误， 故选：C
323
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有 3 个小球，其中红球有 1 个，
1
∴摸出一个球是红球的概率是 ，
3
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出
m
现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=．
n
6. 若 m 是方程2x2  3x  1  0 的一个根，则6m2  9m  2018 的值为（ ）．
A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1
∴原式=3（2m2-3m）+2018=2021． 故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
二次函数 y  x2  x  3 的图象与 x 轴的交点个数是（）
0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与 x 轴的交点个数．
∴二次函数 y  x2  x  3 的图象与 x 轴的交点个数有 2 个． 故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，掌握二次函数 y  ax2  bx  c （a，b，c 是常数， a  0 ）与
x 轴的交点个数与判别式的关系，是解题的关键．
如图， PA 、 PB 切O 于点A 、 B ，直线 FG 切O 于点 E ，交 PA 于 F ，交 PB 于点G ，若
PA  8cm ，则△PFG 的周长是（）
8cmB. 12cmC. 16cmD. 20cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线长定理得到 AF  FE, GE  BG ，结合题意，即可求得△PFG 的周长．
【详解】 PA、PB、FG 是O 的切线，
 FA  FE, GE  GB, PA  PB  8cm ．
 △PFG 的周长 PF  FG  GB
 PF  FE  EG  GP
 PF  FA  GB  GP
 PA  PB
 16cm ． 故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，理解切线长定理是解题的关键．
在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a，⊙A 的半径为 2，下列说法错误的是
（）
当 a＜5 时，点 B 在⊙A 内B. 当 1＜a＜5 时，点 B 在⊙A 内
【解析】
【分析】根据数轴以及圆的半径可得当 d=r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可
【详解】解：∵圆心 A 在数轴上的坐标为 3，圆的半径为 2，
∴当 d=r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5， 故当 a=1、5 时点 B 在⊙A 上；
当 d＜r 即当 1＜a＜5 时，点 B 在⊙A 内；
当 d＞r 即当 a＜1 或 a＞5 时，点 B 在⊙A 外．
由以上结论可知选项 B、C、D 正确，选项 A 错误． 故选 A．
【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线 x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；
③若 m 为任意实数，则有 a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程 ax2+bx+c+2＝0 的两根为
x1，x2（|x1|＜|x2|），则 2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知 a＜0，c＞0，由对称轴得 b=2a＜0，则 abc＞0，故①错误；当 x=1 时， y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由 x=-1 时，y 有最大值，得 a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=-2 的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即 x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
2a
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①abc＜0 错误；
当 x＝1 时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c 正确；
∵x＝﹣1 时，y 有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m 为任意实数），
即 a﹣b≥am2+bm，即 a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程 ax2+bx+c+2＝0 的两根为 x1，x2（|x1|＜
|x2|），
∴二次函数 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝﹣2 的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∴二次函数 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝﹣2 的另一个交点为（1，﹣2），即 x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确． 所以正确的是②④；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0 时， 抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置： 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交 点：抛物线与 y 轴交于（0，c）．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
如图， A、B、C 是O 上的三点，则AOB  80，则∠ACB 度．
【答案】40
【解析】
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】∵∠ACB 和∠AOB 是同弧所对的圆周角和圆心角，
22
故答案是：40．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．
已知关于 x 的方程 x2  mx  6  0 的一个根为 2，则这个方程的另一个根是 ．
【答案】－3
【解析】
【分析】设方程的另一根为 a，由一个根为 2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于 a 的方程， 求出方程的解得到 a 的值，即为方程的另一根．
【详解】∵方程 x2  mx  6  0 的一个根为 2， 设另一个根为 a，
∴2a=－6，
解得：a=－3． 故答案为：－3
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），当 b2﹣4ac≥0 时
方程有解，此时设方程的解为 x ，x ，则有 x +x
  b ，x x  c ．
1212
a1 2a
如图，圆锥的高 AO  4 ，底面圆半径为 3，则圆锥的侧面积为．
【答案】15π
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．
【详解】解： 圆锥的高 AO  4 ，底面圆半径为 3，
32  42
圆锥的母线长
 5 ，
圆锥的侧面积 1  5 2π 3  15π ， 2
故答案为：15π ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
二次函数 y＝（x﹣1）2，当 x＜1 时，y 随 x的增大而 （填“增大”或“减小”） ．
【答案】减小
【解析】
【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中画出二次函数 y=（x-1）2 的示意图如下：
抛物线 y=（x-1）2 的对称轴为直线 x=1，由图象可以看出： 当 x＜1 时，即在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答简单明了．
在一个不透明的布袋中装有 52 个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在 0.2 左右，则布袋中黑球的个数可能有
．
【答案】13
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】解：设袋中有黑球 x 个，
x
由题意得：
x  52
=0.2，
解得：x=13，
经检验 x=13 是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有 13 个． 故答案为：13．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
如图，将半径为 4，圆心角为120 的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60 ，点O ， B 的对应点分别为
O ， B，连接 BB，则图中阴影部分的面积是．
【答案】8
【解析】
8p 3
3
【分析】连接OO，BO ，根据旋转的性质得到OAO  60 ，推出OAO 是等边三角形，得到
AOO  60 ，推出OOB 是等边三角形，得到AOB  120，得到OBB  OBB  30 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OO，BO ，
∵将半径为 4，圆心角为120 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转120 ，
∴ OAO  60 ，
∴OAO 是等边三角形，
∴ AOO  60，OO  OA ，
∴点 O′在O 上，
∵ AOB  120 ，
∴ OOB  60 ，
∴OOB 是等边三角形，
∴ AOB  120，
∵ AOB  120 ，
1 60π 4232 8
3
3
2

图中阴影部分的面积为 S BOB  S扇形OOB  SOOB   2  4
360
 4
4
  8 3 π
故答案为： 8

3
8 π
3
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共 9 小题，共 72 分）
解方程： x2  2x
【答案】 x1  0, x2  2
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： x2  2x
x2  2x  0
x  x  2  0
解得： x1  0, x2  2
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
如图，把△ABC 绕点 A 顺时针旋转 50°到△ADE 的位置(点 B、C 的对应点分别为点 D、E)，若 AD⊥BC
于点 F，求∠D 的度数.
【答案】40°
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠B=∠D，∠BAD=50°，即可求解．
【详解】解：∵把△ABC 绕点 A 顺时针旋转 50°到△ADE 的位置，
∴∠B=∠D，∠BAD=50°，
1
【答案】
9
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两学生在进校园时，都是C 通道过的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9 种等可能的结果，其中两学生在进校园时，都是C 通道过的结果有 1 种，
两学生在进校园时，都是C 通道过的概率为 1 ．
9
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数的比值．
商场某种商品平均每天可销售 80 件，每件盈利 60 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元．据此规律，请回答：
商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 4950 元？
【答案】（1）（2x）；（60﹣x）；（2）每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元．
【解析】
【分析】（1）由题意得：降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数=原来的盈利- 降低的钱数；
（2）根据：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=盈利的等量关系，把列方程解答即可.
【详解】（1）由题意，可得商场日销售量增加（2x）件，每件商品盈利（60﹣x）元． 故答案为（2x）；（60﹣x）；
（2）由题意得：（60﹣x）（80+2x）＝4950化简得：x2﹣20x+75＝0，
解得 x1＝5，x2＝15．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x＝5 舍去，
∴x＝15．
答：每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，确定等量关系并正确列式是解答本题的关键.
如图， D 为O 上一点，点C 是直径 BA 延长线上的一点，连接CD ，且CDA  CBD ．
求证： CD 是O 的切线；
若 DC  4 ， AC  2 ，求OC 的长．
【答案】（1）见解析（2）5
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出ODA  CDA  90 ，即OD  CD 即可得出结论；
（2）利用相似三角形的判定与性质，求出 BC ，进而求出半径OA ，再求出OC 即可．
【小问 1 详解】如图，连接OD ，
∵ AB 是O 的直径，
∴ ADB  90 ，
即ODB  ODA  90 ，
∵ OB  OD ，
∴ ABD  ODB ， 又∵ CDA  CBD ，
∴ ODA  CDA  90 ， 即OD  CD ，
∵ OD 是O 的半径，
∴ CD 是O 的切线；
【小问 2 详解】
∵ CDA  CBD ， ACD  DCB ，
∴△ACD  △DCB ，
∴ CD  AC ，
CBDC
即 4  2 ，
CB4
∴ CB  8 ，
∴ OA  CB  AC
2
 8  2
2
 3
∴ OC  OA  AC
 3  2
 5
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解题关键．
如图二次函数 y  x2  bx  c 的图像与 x 轴交于点 A3,0 ， B 1,0 两点，与 y 轴交于点C ，点
C 0, 3 ， D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像经过 B ， D ．
求二次函数的解析式；
求点 D 的坐标，并写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围
若直线 BD 与 y 轴的交点为 E 点，连接 AD ， AE ，求V ADE 的面积．
【答案】（1） y  x2  2x  3
（2） D(2，3) ， x＜- 2或x＞1
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点 A、B、C，即可解答本题；
根据题意可以求得点 D 的坐标，再根据函数图像即可解答本题；
根据题意作出辅助线，即可求得V ADE 的面积．
【小问 1 详解】
∵二次函数 y  x2  bx  c 过 B(1, 0) ， C(0, 3)
1 b  c  0

∴ c  3
b  2

解得c  3
所以解析式为： y  x2  2x  3
【小问 2 详解】
 y   x2  2x  3
∴该函数的对称轴是直线 x=-1 ，
∵点C(0，3) ，点 C、D 是二次函数图像上的一对对称点，
∴点 D(2，3) ，
∴一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x＜- 2或x＞1
【小问 3 详解】连接 AE ，
设直线 BD：y＝mx＋n ，

代入 B(1，0)，D(2，3) 得
m  n  0
，
m  1
2m  n  3
解得： 

n  1 ，
故直线 BD 的解析式为： y＝ x＋1
把 x＝0 代入 y＝ x＋1得， y  1，
所以 E(0，1) ，
∴ OE＝1， 又∵ AB＝4
 SADB
 1  4  3  1  4 1  4 22
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与直线的交点确定不等式的解集及面积问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
2

已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形

OA  OM  OA ，ÐAOB  ÐMON  90 ．

2
如图 1，连接 AM ， BN ，求证： AM  BN ；
将△MON 绕点O 顺时针旋转．如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，请猜想 AM 、 BM 、OM 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析（2） AM 2  BM 2  2OM 2 ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由ÐAOB  ÐMON  90 ，得出AOM  BON ，然后证明△AOM ≌△BON SAS
（即可；
（2）连接 BN ，由ÐAOB  ÐMON  90 ，得出AOM  BON ，然后证明
△AOM ≌△BON SAS ，得出MAO  NBO  45 ， AM  BN ，再证
MBN  ABO  OBN  45  45  90，利用勾股定理求解即可．
【小问 1 详解】
证明：∵ÐAOB  ÐMON  90 ，
∴ AOB  AON  MON  AON ， 即AOM  BON ，
∵ AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，
∴ OA  OB，OM  ON ，
在 AOM 和△BON 中，
 AO  BO

AOM  BON ，

OM  ON
∴△AOM ≌△BON SAS ，
∴ AM＝BN ；
【小问 2 详解】证明：连接 BN ，
∵ÐAOB  ÐMON  90 ，
∴ AOB  BOM  MON  BOM ， 即AOM  BON ，
∵ AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，
∴ OA  OB，OM  ON ，
在 AOM 和△BON 中，
 AO  BO

AOM  BON ，

OM  ON
∴△AOM ≌△BON SAS ，
∴ MAO  NBO  45，AM  BN ，
∴ MBN  ABO  OBN  45  45  90，
∴ BM 2  BN 2  MN 2 ，
∵△MON 都是等腰直角三角形，
∴ MN 2  ON 2  OM 2  2ON 2 ，
∴ AM 2  BM 2  2OM 2 ．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
（1）如图①，在ABC 中， A  120 ， AB  AC  5 ．尺规作图：作ABC 的外接圆O ，并直接写出ABC 的外接圆半径 R 的长．
如图②， O 的半径为 13，弦 AB  24 ， M 是 AB 的中点， P 是O 上一动点，求 PM 的最大值．
如图③所示， AB ， AC 、 BC 是某新区的三条规划路，其中 AB  6km ， AC  3km ，
BAC  60 ， BC 所对的圆心角为60 ，新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P ，在 AB ， AC 路边 分别建物资分站点 E 、 F ，也就是，分别在 BC 、线段 AB 和 AC 上选取点 P 、 E 、 F ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 P  E  F  P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE 、 EF 和 FP ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 PE 、 EF 、 FP 之和最短，试求
PE  EF  FP 的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
【答案】（1）5；（2）18；（3） 3 9km
21
【解析】
【分析】（1）如图①，外接圆的圆心为 O，连接OA ， OB ，根据已知条件可得AOB 是等边三角形，由此即可得半径；
如图②所示，连接 MO 并延长交O 于点 N，连接OP ，显然， MN 即为 PM 的最大值，根据垂径定理求得 MO 的长即可求得 MN 的最大值；
如图③所示，假设 P 点即为所求点，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB 、 AC 的对称点P 、 P  连接 PP 、 PE ， PE ， P F ， PF ， PP  ，则 PP  即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度，根据题意正确画出图形，得到点 P 的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得
PE  EF  FP 的最小值.
【详解】（1）如图①，外接圆的圆心为 O，连接OA ， OB ，
∵O 是等腰三角形 ABC 的外心， AB  AC ，
∴ BAO  OAC  1 BAC  1 120  60，
22
∵ OA  OB ，
∴ AOB 是等边三角形，
∴ OB  AB  5 ， 故答案为 5；
如图②所示，连接 MO 并延长交O 于点 N，连接OP ，
显然， MP  OM  OP  OM  ON  MN ，
∵ AB  24 ， M 是 AB 的中点，
∴ MN  AB, AM  MB  12 ,
∵ ON  13 ，
OA2  AM 2
132  122
∴ OM 
∵ MN  18 ，
∴ PM 的最大值为 18；
 5 ，
如图③所示，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB 、 AC 的对称点 P 、 P  ，连接 PP 、
PE ， PE ， PF ， PP  ，
由对称性可知 PE  EF  FP  PE  EF  FP   PP  ，且 P 、E、F、 P  在一条直线上，所以 PP  即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度，
如图④，作出 BC 的圆心 O，连接 AO ，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点，
∵ AB  6km ， AC  3km ， BAC  60 ，
3
∴ ABC 是直角三角形， ABC  30 ， BC  3
， BC 所对的圆心角为60 ，
7
3
∴△OBC 是等边三角形， CBO  60 ， BO  BC  3 3 ，
AB2  BO2
7
∴ ABO  90 ， AO  3
PAE  EAP, PAF  FAP  ，
， PA  3
 3，
∴ PAP   2ABC  120, PA  AP  ，
∴ APE  AP F  30 ，
∵ PP   2PA cs APE 
3PA  3
 9 ，
21
21
所以 PE  EF  FP 的最小值为3
 9km ．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
已知点 A(1, 0)是抛物线 y  ax2  bx  m （ a, b, m 为常数， a  0, m  0 ）与 x 轴的一个交点．
当a  1, m  3 时，求该抛物线的顶点坐标；
若抛物线与 x 轴的另一个交点为 M m, 0 ，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，E 是
2
直线 l 上的动点，F 是 y 轴上的动点， EF  2．
2
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为1, 4 ；（2）①点 F 的坐标为0, 2 
值为 3 或 1 时，MN 的最小值是 2 ．
7 或0, 2 
7 ；②当 m 的
222
【解析】
【分析】（1）根据a  1, m  3 ，则抛物线的解析式为 y  x2 bx3，再将点 A（1，0）代入
y  x2 bx3，求出 b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；
（2）①首先用含有 m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C 0, m ，点 E m 1, m .
2
过点 A 作 AH  l 于点 H,在 RtEAH 中，利用勾股定理求出 AE 的值，再根据 AE  EF ， EF  2，
可求出 m 的值，进一步求出 F 的坐标；
②首先用含 m 的代数式表示出 MC 的长，然后分情况讨论 MN 什么时候有最值.
【详解】解：（1）当 a  1 ， m  3 时，抛物线的解析式为 y  x2 bx3．
∵抛物线经过点 A(1, 0)，
0  1 b  3 ．解得b  2 ．
抛物线的解析式为 y  x2  2x  3 ．
Q y  x2  2x  3   x 12  4 ，
抛物线的顶点坐标为1, 4 ．
（2）①∵抛物线 y  ax2  bx  m 经过点 A(1, 0)和 M m, 0 ， m  0 ，
0  a  b  m ，
0  am2  bm  m ，即 am  b 1  0 ．
 a  1 ， b  m 1 ．
抛物线的解析式为 y  x2  m  1 x  m ． 根据题意，得点C 0, m ，点 E m 1, m ． 过点 A 作 AH  l 于点 H．
EH 2  HA2
 AE   2m ．
2
 AE  EF  2，
2
 2m  2
．解得m  2 ．
此时，点 E 1, 2 ，点C 0, 2 ，有 EC  1．
 点 F 在 y 轴上，
在 RtEFC 中， CF 
点 F 的坐标为0, 2 
EF 2  EC 2
7 或0, 2 
．
7
7 ．
2
②由 N 是 EF 的中点，得CN  1 EF ．
2
2
根据题意，点 N 在以点 C 为圆心、
为半径的圆上．
由点 M m, 0 ，点C 0, m ，得 MO = - m ， CO  m ．
MO2  CO2
在 RtMCO 中， MC 
  2m ．
2
当 MC ，即 m  1时，满足条件的点 N 落在线段 MC 上，
MN 的最小值为 MC  NC  
2m 
2 ，解得 m   3 ；
2
22
2
当 MC ， 1  m  0 时，满足条件的点 N 落在线段 CM 的延长线上，
2
MN 的最小值为 NC  MC   2m  2 ，解得m   1 ．
22
当 m 的值为 3 或 1 时，MN 的最小值是 2 ．
222
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．