2024-2025学年湖北省武汉市高三上学期11月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市高三上学期11月月考数学检测试卷（附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ）
A．2B．0
C．D．
4．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．31B．30C．29D．28
5．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30B．36C．60D．72
6．函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．31
8．已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．的最小值为3
C．的最小值为
D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ）

A．第10个倒“L”形的面积为100
B．长方形的面积为
C．点，，，…，均在曲线上
D．能被110整除
11．如图，已知四面体的各条棱长均等于2，E，F分别是棱AD，的中点.G为平面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥体积为
B．线段的最小值为
C．当G落在直线BD上时，异面直线与所成角的余弦值最大为
D．垂直于的一个面，截该四面体截得的截面面积最大为1
三、填空题（本大题共3小题）
12．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 .
13．在中，，，，则的最大值为 .
14．已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数和平均温度的7组数据，得到如下散点图.
(1)根据散点图，判断模型与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数与平均温度的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果，求出关于的经验回归方程；
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子的产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子的产量会下降.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下个方案中选择最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元；
方案2：选择防害措施，可以防治至的红蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是万元；
方案3：不采取防虫害措施.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
17．在数列{an}中，已知，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，且数列{bn}的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围.
18．已知抛物线，顶点为O，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点.
(1)若，求线段中点到y轴的距离；
(2)设点G是线段上的动点，顶点O关于点G的对称点为C，求四边形面积的最小值；
(3)设D为抛物线上的一点，过点D作直线，分别交抛物线于M，N两点，作直线，分别交抛物线于P，Q两点，且，，设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围.
19．函数，．
（1）若函数在0,+∞上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小．（取为2.8，取为0.7，取为1.4）
答案
1．【正确答案】B
【详解】解：由，可得，
所以；
由，可得，解得，
所以；
所以.
故选：B.
2．【正确答案】C
【详解】由题可得，
所以，所以在复平面内对应的点坐标为，
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】由题意得，，则.
∵，
∴，即，
∴，解得.
故选：C.
4．【正确答案】C
【详解】中令得，解得，
展开式通项公式为，，
当时，，当时，，
故展开式中的系数为.
故选：C
5．【正确答案】C
【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，
记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，
事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，
因此，出场顺序的排法种数
种，故选C．
6．【正确答案】A
【详解】解：由，得.
的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，
由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.
设的最小正周期为，则，所以，故.
又，，且，可得，
所以，.
故选：A.
7．【正确答案】B
【详解】由题意，数列元素依次为，，
在到之间3的个数为，故到处共有35个元素，
所以前30项中含，，及26个3，
故，
而，
故成立的最小的为29.
故选：B
8．【正确答案】B
【详解】由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
故选：B.
9．【正确答案】AC
【详解】对于A，直线，即，
由解得，所以定点坐标为，A正确，
对于B，圆的圆心为，半径为，
点与圆心的距离为，
所以MN的最小值为，B错误，
对于C，设，则，
当，即直线方程为时，
取得最小值为，所以C正确，
对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个，
则圆心到直线的距离为，
所以，
整理得，所以D错误.
故选：AC
10．【正确答案】BCD
【分析】先求得的坐标，然后求长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定答案.
【详解】易知，
所以，故C正确；
所以，故B正确；
第10个倒“L”形的面积为，故A错误；
因为，
所以，故D正确.
故选BCD.
【方法总结】解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
11．【正确答案】BCD
【详解】对于A，如图，作平面，垂足为，因为四面体为正四面体，则为三角形的中心，
则，所以，
即正四面体的高为，
点到平面的距离为点平面的距离的一半，即，
所以，故A错误；
对于B，如图，作点关于平面的对称点，连接交平面于点，过点作平面的垂线交平面于点，
作，因为平面，所以点，
则，，，
所以，故B正确；
对于C，当落在直线上时，由最小角定理可知，与所成的最小角即与平面所成角，即，
所以，所以，即异面直线与所成角余弦最大为，故C正确；
对于D，如图，连接，因为是的中点，所以，同理，
设平面交正四面体的棱于点，棱于点，棱于点，棱于点，
所以，，，，所以，，
又，，是平面内的相交直线，则平面，
所以，则，即四边形为矩形，
即平面截正四面体的截面为矩形.
设，即，，即，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以平面截该四面体截得的截面面积最大为1，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】0.7/
【详解】设第一天入住无人酒店为事件，第一天入住常规酒店为事件，第二天入住无人酒店为事件B，
则由题意可得，
所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为.
故0.7.
13．【正确答案】
【详解】由题可得，
如图，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则，因为，所以的外接圆半径为，
又因为，
所以点C是以为圆心，半径为的圆上的点，
所以的最大值为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】因为，
所以对任意实数x，，则，
假设存在使得，
则对任意实数x有，
此时为常数函数，与矛盾，故不存在使得，
所以即恒成立.
令，则，
因为，所以即.
又由可得，
任取，则，所以由题意，
所以
，
所以，所以为R上的增函数，
因为，所以，
所以，
所以等价于，
令，则有即，
所以，解得或，即或，
又为R上的增函数，，，
所以或.
所以关于x的不等式的解集为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，得，
因为，
所以由勾股定理，得，
又平面，
所以平面.
（2）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
可得，
所以，
设平面的法向量为，
由，令，得，所以.
由（1）知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．【正确答案】(1)更适合；
(2)；
(3)所以方案1为最佳防害方案，理由见解析.
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断,更适合作为平均产卵数y与平均温度x的回归分析模型.
（2）对两边同时取对数，可得，
令，
由题可得，
，
所以，
则，
所以，则，
所以y关于x的经验回归方程为.
（3）分别用，，表示3种方案的收益，
若采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，则收益万元；
若采用方案2，当不发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为万元；
当发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为万元，
所以：
同理，若采用方案3，
所以，
，
，
则，
所以方案1为最佳防害方案.
17．【正确答案】（1）；（2）.
(1)已知数列的递推公式，用累加法求通项即可;
(2)由(1)可得，则，化简得到对任意恒成立，分类分别求出当时的取值范围，再证明出时为递增数列，即，综合求出的取值范围.
【详解】解：(1)，
，
，
……
，
上式累加可得:，
，
又，∴;
(2)由(1)可得，
∴，
因为为数列中的最小项，
所以，
即，
当时，得，∴;
当时，;
当时，得，∴，
令，
则，
当时，，，
∴，
又可验证当时，也成立，
∴当时，数列为递增数列，
∴，即.
综上所述，的取值范围为.
18．【正确答案】(1)3；
(2)4；
(3).
【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则由抛物线的性质可得，
又由题，所以，
所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为.
（2）因为顶点O关于点G的对称点为C，所以O和C到直线l的距离相等，
所以，
由题意可知直线l斜率存在时不为0，焦点F1,0，所以可设直线l方程为，
联立，则，
所以，
所以当时，四边形面积取得最小值为4.
（3）由题可设，，且直线的斜率存在且不为0，
所以可设直线的方程为，
联立，所以，
所以，
设直线的方程为，
联立，所以，
所以，
若，
所以即，所以直线斜率不为0，
当直线斜率存在时，直线的方程为，
所以
，
所以直线恒过定点，即，
所以直线的斜率为，
所以当时；
当时，，当且仅当即时等号成立；
当时，，当且仅当即时等号成立.
综上，当直线斜率存在时，直线斜率的取值范围为.
当直线斜率不存在时，设 ，则，
所以，
解得，所以直线的方程为
所以直线恒过定点.
综上所述，直线斜率的取值范围为.
19．【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】解：（1）：，
则，
在0,+∞上单调递增，
对，都有，
即对，都有，
，，
故实数的取值范围是；
（2），
设切点，则切线方程为，
即，
即，
令，由题意得，，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
，故的最小值为；
（3）由题意知，，
两式相加得，
两式相减得，即
，
即，
不妨令，记，
令，则，
在上单调递增，则，
，则，
，
，
，即，
令，则时，，
在0,+∞上单调递增，
又，
，
则，即．lny
5215
17713
714
27
81.3
3.6