2024-2025学年陕西省汉中市汉台二中等校高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省汉中市汉台二中等校高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知H，I，J，K是空间中互不相同的四个点，则HI+IJ−HK=( )
A. HKB. KJC. KID. IJ
2.抛物线y2=−2x的准线方程是( )
A. y=12B. y=−1C. x=12D. x=1
3.已知A是椭圆E：x29+y24=1上的一点，F1，F2分别是椭圆E的左，右焦点，则|AF1|+|AF2|=( )
A. 6B. 4C. 3D. 2
4.设m为实数，已知向量a=(2,3m+5,4)，b=(1,2m+1,2)，若a//b，则m的值为( )
A. −6B. −3C. 3D. 6
5.已知a=(−1,2,1),b=(2,−2,0)，则a在b方向上的投影为( )
A. − 6B. 6C. −3 22D. 3 22
6.已知{a,b,c}是空间的一组基，若{a+b,b−c,m}是空间的另一组基，则m不可以为( )
A. aB. cC. a+cD. a−c
7.若直线l1:ax−y+1=0与直线l2:(a+2)x−ay−1=0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. 55B. 2 55C. 3 55D. 3 510
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别在DB，AB1上，且BE=2ED，AF=2FB1，则|EF|=( )
A. 3B. 2 2C. 2 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的说法中不正确的是( )
A. 方向相反的两个向量是相反向量
B. 空间中任意两个单位向量必相等
C. 若向量|AB|,|CD|满足|AB|>|CD|，则AB>CD
D. 相等向量其方向必相同
10.在空间直角坐标系O−xyz中，点O(0,0,0)，A(−2,−1,1)，B(3,4,5)，则下列结论正确的有( )
A. 点A关于z轴的对称点的坐标为(2,1,1)B. AB=(5,5,4)
C. OA⊥OBD. cs=− 36
11.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1x的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则( )
A. y=−x是它的一条对称轴B. 它的离心率为 2
C. 点(2,2)是它的一个焦点D. ||PM|−|PN||=2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量a=(1,1,1)，b=(1,0,−2)，则a−b= ______．
13.已知A,B,C三点不共线，点O为平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A,B,C共面，那么λ=
14.已知点A为抛物线C：y2=8x上的动点，点B为圆(x+6)2+(y+6)2=9上的动点，设点A到y轴的距离为d，则|AB|+d的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1：x−y+2=0，直线l2：2x+y−8=0，设直线l1与l2的交点为P，点Q的坐标为(2,0)．
(Ⅰ)求经过点Q且与直线l1垂直的直线方程；
(Ⅱ)求以线段PQ为直径的圆的方程．
16.(本小题15分)
如图，给定长方体ABCD−A1B1C1D1，AD=AA1=2，AB=6，点E在棱CC1的延长线上，且|C1E|=|CC1|.设AA1=a，AB=b，AD=c．
(1)试用a,b,c表示向量AE；
(2)求AD⋅BD1．
17.(本小题15分)
如图，在矩形ABCD中，AB=2a，BC=2b，矩形ABCD所在平面外一点P满足PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，且PA=2c.请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：
(Ⅰ)EF⊥CD；
(Ⅱ)EF，AP，AD共面．
18.(本小题17分)
已知拋物线C：x2=2py(p>0)的焦点F在直线x−y+1=0上．
(1)求拋物线C的方程；
(2)设直线l经过点A(−1,−2)，且与拋物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为 33，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，|MF1|=4 33．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO(O为坐标原点)面积的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.C
6.C
7.D
8.A
9.ABC
10.ABD
11.ABD
12.(0,1,3)
13.215
14.5
15.解：(Ⅰ)易知l1的斜率为1，故所求直线斜率是−1，
又直线过点Q，故直线方程为y=(−1)×(x−2)，
故所求方程为x+y−2=0；
(Ⅱ)联立方程组2x+y−8=0x−y+2=0，解得x=2y=4，
故P(2,4)，Q(2,0)，由中点坐标公式得QP中点坐标为(2,2)，
由两点间距离公式得：12 (2−2)2+(4−0)2=2，
故所求圆方程为(x−2)2+(y−2)2=4．
16.解：(1)因为点E在棱CC1的延长线上，且|C1E|=|CC1|，
所以CE=2CC1=2AA1，
则AE=AB+BC+CE=AB+BC+2AA1=2a+b+c．
(2)由题意得AA1⋅AD=0,AB⋅AD=0,|AD|=|AA1|=2,|AB|=6，
又BD1=BA+AA1+A1D1=AA1+AD−AB，
所以AD⋅BD1=AD⋅(AA1+AD−AB)=AD⋅AA1+AD2−AD⋅AB=4．
17.证明：(Ⅰ)如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

已知AB=2a，BC=2b，PA=2c，则A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)，
∵E为AB的中点，F为PC的中点，∴E(a,0,0)，F(a,b,c)，
∵CD=(−2a,0,0)，EF=(0,b,c)，
∴EF⋅CD=(0,b,c)⋅(−2a,0,0)=0，
∴EF⊥CD，∴EF⊥CD．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得EF=(0,b,c)，AP=(0,0,2c)，AD=(0,2b,0)，
∴EF=12AP+12AD，
∴EF，AP，AD共面．
18.解：(1)由拋物线方程x2=2py (p>0)，知其焦点在y轴正半轴上，
在直线x−y+1=0中，令x=0，得焦点坐标为F(0,1)，所以p2=1，即p=2，
故拋物线C的方程是x2=4y．
(2)直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)−2，
由方程组 y=k(x+1)−2x2=4y消去y，得x2−4kx−4k+8=0，
因为直线l与拋物线C有且只有一个公共点，所以△=16k2−4(8−4k)=0，解得k=−2或k=1．
此时直线l的方程为2x+y+4=0或x−y−1=0；
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=−1，直线l与拋物线C有且只有一个公共点．
综上，可得当直线l的方程为2x+y+4=0，x−y−1=0或x=−1时，直线l与拋物线C有且只有一个公共点．
19.解：(I)由已知得c2a2=13，又由a2=b2+c2，
可得a2=3c2，b2=2c2，
得椭圆方程为x23c2+y22c2=1，
因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，
可得M的坐标为(c,2 33c)，
由|F1M|= 4c2+43c2=4 33，解得c=1，
所以椭圆方程为x23+y22=1；
(II)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将y=kx+2代入椭圆，可得(3k2+2)x2+12kx+6=0，
由△>0，即144k2−24(3k2+2)>0，可得3k2−2>0，
则有x1+x2=−12k2+3k2,x1x2=62+3k2
所以|x1−x2|=2 18k2−123k2+2，
因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为(0,2)，
所以△OAB的面积S=12×2×|x1−x2|=2 (18k2−12)3k2+2=2 6×(3k2−2)3k2+2，
令3k2−2=t，由①知t∈(0,+∞)，
可得S=2 6tt+4=2 6tt2+8t+16=2 6t+16t+8≤ 62，当且仅当t=4时，取等号．
所以t=4时，面积最大为 62．