北师大版数学九下期末复习训练专项27 二次函数与相似三角形有关的问题（2份，原卷版+解析版）

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关函数与相似三角形的问题一般 三个解决途径：
(1)求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边和角的特 点，进而得出已知三角形是否为特 殊三角形．根据未知三角形中已知 边与已知三角形的可能对应边分类 讨论；
(2)利用已知三角形中对应角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 数来推导边的大小；
(3)若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数 解析式来表示各边的长度，之后利 用相似来列方程求解．
【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB＝∠BOQ时，
AB＝4，BC＝3，AC＝，
过点A作AH⊥BC于点H，
S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，
则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，
则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，
联立①②并解得：x＝或﹣，
故点Q（，﹣2）或（﹣，2），
②∠BAC＝∠BOQ时，
tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，﹣3n），
则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，
联立①③并解得：x＝，
故点Q（，）或（，）；
综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．
【变式1-1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）①当△AOC∽△DPA时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，
此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），
则，
解得：m＝，
∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．
【变式1-2】（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入抛物线的解析式，
则﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP＝OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性可知，E（2，3），
∵A（﹣1，0），
∴AD＝2，DE＝，AE＝3．
∴AD2＝DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．
∵点M在直线l下方的抛物线上，
∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．
∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，
若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，
∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，
解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，
∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
【典例2】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，
过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
【变式2-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍去）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【变式2-2】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）如图：
由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．
【变式2-3】（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，
∵EN∥y轴，
∴△BEN∽△BCO，
∴，
∴，
∴EN＝2，
①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，
∴∠PEH＝45°，
∴∠PHE＝90°，
∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，
∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），
∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+x﹣2＝0，
解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），
∴点P坐标为（﹣2，3），
②若△EPQ∽△OCB，如图所示，
设P（x，2），
代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+2x﹣1＝0，
解得，（舍），
∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），
综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）
1．（2021•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，
∴抛物线的函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣＝1，
故设点P（1，m），点Q（x，0），B（3，0），C（0，﹣3），
①以PB为对角线时，
，解得：，
∴P（1，﹣3），Q（4，0）；
（2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），
∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），
∴BD2＝22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32，
∴BD2＝CD2+BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M的坐标（m，0），则点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴要使以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，需要满足条件：，
①当m＜﹣1时，此时有：，
解得：，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解；
②当﹣1＜m≤3时，此时有：，
解得：，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去），
∴M（）或M（0，0），
③当m＞3时，此时有：或，
解得：（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去），
∴点M（6，0）或M（，0），
答：存在点M，使得A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．
2．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
3．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（3，0），B（0，），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（1，2），
∵G（1，0），∠EGO＝90°，
∴tan∠OEG＝＝，
∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝＝＝，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，
∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，
∴∠OAB+∠EOG＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴C（﹣1，0），
∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝3，
设直线CD解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，如图2，
∴OM∥CD，
∴直线OM的解析式为y＝3x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝，
②当△AMO∽△ACD时，如图3，
∴＝，
∴AM＝＝＝2，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin45°＝2×＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，
得：m1＝2，
∴直线OM解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝±，
综上所述，点P的横坐标为±或．
4．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，
则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，csα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC﹣MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；
5．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．
（2）如图1中，
∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D（0，2），
由，解得即点A，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．
6．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设第一象限D（m，+m+4），则E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
（一）当A与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
当＝时，＝，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当＝时，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
∵在Rt△AOC中，G是AC中点，
∴OG＝AG，
∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，
∴∠DEC＝∠GOA，
（二）当O与E对应时，
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需＝或＝，
∵OG＝AG，
∴＝与＝答案相同，同理＝与或＝答案相同，
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3，）．
7．（2021•江岸区校级自主招生）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．
（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，
∴B（﹣3，0）．
（2）存在．如图2中，连接PB，PC．
∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），
∴BC＝3，PC＝，PB＝2，
∴PB2＝PC2+CB2，
∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，
当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，
∴OM＝1或9，
∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．
8．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），
由y＝x﹣a 得C（0，﹣a），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
将M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，
解得k＝﹣2，
直线AM的解析式为y＝﹣2x+a，
联立方程组得，解得 ，
∴D（a，a），
∵a＜0，
∴点D在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，
即P（a，a），
将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），
∴a＝；
（3）存在，
理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），
令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点F（﹣1，0）E（5，0），
∴EN＝FN＝3 MN＝9，
设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），
∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，
又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：
i）当＝＝3时，即＝3，
当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，
当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；
ii）当＝＝＝时，即＝，
解得m＝或m＝或m＝5（舍去），
当m＝时，Q坐标为点Q2（，），
当m＝，Q坐标为点Q3（，），
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．
9．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，
∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，
∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，
∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；
②存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
∵△PNC与△AOC相似，
∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，
∴∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC，
∴CP∥OB，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴m2﹣m﹣2＝﹣2，
∴m＝0（舍）或m＝3，
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，
∴∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD，
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD，
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，
∴2m﹣m2＝，
∴m＝或m＝0（舍），
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
10．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；
（2）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
11．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，
故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）存在，理由如下：
连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y＝kx+m，
将C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：，
解得：
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，
∴CE＝CB，
∴∠CBE＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），
又∵P点在线段EC上，
∴﹣3＜x＜0，
则，，
由题意知：△PEO相似于△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，
∴，
∴，
解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；
②△PEO∽△ABC，
∴，
∴，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．
12．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，
∴点P在直线x＝上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x＝的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）
（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点D（，﹣），
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，
设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），
∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），
∴P（，）．
②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，
x﹣＝x2﹣3x+，
解得x＝或（舍弃），
∴P（，﹣）．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，
过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴＝＝，由图3﹣3可知，M（，），Q（，），
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝4，
由＝，可得PD＝10，
∵D（，﹣）
∴P（，）．
②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．
同法可得M（，﹣），Q（，﹣），
∴DM＝，QM＝1，QD＝，
由＝，可得PD＝，
∴P（，﹣）．
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）．
13．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴，
解得a＝，
∴M（，），
此时N（0，）．
如图3，当点M位于点C的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，
解得a＝或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．
综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．