2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似三角形的性质练习

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A．3B．4C．5D．6
2．（2024秋•泉州期中）若两个相似三角形周长的比为2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．1：2B．2：3C．4：6D．4：9
3．（2024秋•杨浦区期中）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（ ）
A．ABDE=BCDFB．ABDF=BCDEC．ABDE=BCEFD．ABDE=ACEF
4．（2024•通海县模拟）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．C1C2=32B．S1S2=32C．OBCD=32D．OAOD=32
5．（2024•白银模拟）△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ）
A．15B．14.4C．12D．10.8
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•中原区校级期中）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（6，4），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 ．
7．（2024秋•济南期中）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ ．
8．（2024秋•郑州校级期中）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上事物点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于 ．
9．（2024•望花区三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
10．（2024秋•惠山区期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=23cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD＝ ，DQ的最小值为 cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•碑林区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
12．（2024秋•昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2．
（1）求EF的长．
（2）求证：∠BEF＝90°．
13．（2023秋•沈丘县期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
14．（2023秋•武侯区校级期末）如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
15．（2024秋•新民市期中）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•龙岗区期中）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】相似三角形的性质；数轴．
【专题】计算题；数形结合；运算能力．
【答案】D
【分析】利用数轴知识和三角形相似的性质解答．
【解答】解：∵由题意可知线段平行，
∴可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式，
35=AB8−(−2)，
35=AB10，
AB＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴和三角形相似的性质，解题的关键是掌握数轴知识和三角形相似的性质．
2．（2024秋•泉州期中）若两个相似三角形周长的比为2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．1：2B．2：3C．4：6D．4：9
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的面积比为22：32＝4：9．
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．（2024秋•杨浦区期中）已知△ABC的三边都不相等，如果△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，那么下列等式一定不成立的是（ ）
A．ABDE=BCDFB．ABDF=BCDEC．ABDE=BCEFD．ABDE=ACEF
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠B＝∠D，
∴△ABC∽△EDF或△ABC∽△FDE，
当△ABC∽△EDF时，
ABDE=BCDF，ABDE=ACEF，故A、D正确，不符合题意；
当△ABC∽△FDE时，
ABDF=BCDE，故B正确，不符合题意；
两组相似三角形中BC，EF均不是对应边，故C一定不成立．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键．
4．（2024•通海县模拟）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．C1C2=32B．S1S2=32C．OBCD=32D．OAOD=32
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴C1C2=32，A正确；
∴S1S2=94，B错误；
∴OBOD=32，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
5．（2024•白银模拟）△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（ ）
A．15B．14.4C．12D．10.8
【考点】相似三角形的性质．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，
∴S△ABCS△A′B′C′=2536，
∵△ABC面积为10，
∴解得：S△A′B′C′＝14.4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•中原区校级期中）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，且点C的坐标为（6，4），连接AC，与y轴相交于点D，点E在x轴上，如果△ABD和△ACE相似，则点E的坐标为 （4，0）或（343，0） ．
【考点】相似三角形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（4，0）或（343，0）．
【分析】首先根据一次函数确定点A（﹣2，0），B（0，4），然后根据点C判定BC∥x轴，进而得出∠C＝∠CAE，然后根据相似三角形的判定方法列比例式解答即可．
【解答】解：当x＝0时，则y＝2x+4＝4，
当y＝0时，则2x+4＝0，解得x＝﹣2；
∴A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（0，4），
∵C（6，4），
∴BC∥x轴，BC＝6，AC=64+16=45，
∴∠C＝∠CAE，
如果△ABD和△ACE相似，
则BCAC=AEAC或BCAC=ACAE，
即645=AE45或645=45AE，
解得AE＝6或AE=403，
∴OE＝4或OE=343，
∴点E的坐标为：（4，0）或（343，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形判定方法是解题的关键．
7．（2024秋•济南期中）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ABC＝ 425 ．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】425．
【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且AD：DB＝2：3，
∴ADAD+BD=22+3=25，
∴S△ADES△ABC=（25）2=425，
故答案为：425．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2024秋•郑州校级期中）如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上事物点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于 3627或410 ．
【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】若△BDE与△ABC相似，则∠BED＝90°或∠BDE＝90°，
①当∠BED＝90°时，根据相似三角形的性质即可得到结论；②当∠BDE＝90°时，由折叠的性质得，∠EDF＝∠A＝90°，则点F在BC上，这与题意不符．
【解答】解：若△BDE与△ABC相似，则∠BED＝90°或∠BDE＝90°，
①当∠BED＝90°时，∵∠A＝90°，
∴DE∥AC，
∴BEAB=DEAC，
由折叠的性质得，DE＝AE，∠AEF＝∠DEF，
∴9−AE9=AE12，
解得：AE=367，
∵DE∥AC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=2AE=3627；
②当∠BDE＝90°时，
由折叠的性质得，∠EDF＝∠A＝90°，
则点F与点C重合，
∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，
∴BC=AB2+AC2=81+144=15，
∵∠A＝∠EDB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴ACBC=DEBE，
∴1215=DE9−DE，
∴DE＝4，
∴AE＝4，
∴EF=AF2+AE2=144+16=410，
综上所述，折痕EF的长度等于3627或410，
故答案为：3627或410．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的判断和现在，折叠的性质，正确的理解题意是解题的关键．
9．（2024•望花区三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 （325，65）或（4，3） ．
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】（325，65）或（4，3）．
【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．
【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴PECO=BEBO，即PE6=48，
解得：PE＝3，
∴点P（4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC=BO2+OC2=82+62=10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴PECO=BEBO=BPBC，即：PE6=BE8=210，
解得：PE=65，BE=85，
∴OE＝8−85=325，
∴点P（325，65）；
综上所述：点P的坐标为：（325，65）或（4，3）；
故答案为：（325，65）或（4，3）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2024秋•惠山区期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=23cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD＝ 3 ，DQ的最小值为 323 cm．
【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】3，323．
【分析】，先证△ABP≌△ACQ，易得∠DCQ恒为60°，根据题意易得AD的值，根据点到直线的所有连线中，垂线段最短，可知DQ的最小值即为DH，进行求解即可．
【解答】解：连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H，如图所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AC，
∴AP＝AQ，
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ＝∠ACB，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ACQ＝30°，
∴∠DCQ＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∵AB＝AC=23cm，∠BAC＝120°，
∴AC＝6，AD=3，
∵AD⊥BC，
∴CD＝3，
∴CH=32，DH=323．
∴DQ的最小值即为323．
故答案为：3，323．
【点评】本题考查相似三角形和等腰三角形的性质，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•碑林区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】运动时间是3517秒．
【分析】首先设运动了t秒，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析得出t的值，再由“其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动”可得t的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：设运动了t秒．
根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC﹣CQ＝（15﹣3t）cm，
当△APQ∽△ABC时，APAB=AQAC，
即2t7=15−3t15，
解得t=3517，
当△APQ∽△ACB时，APAC=AQAB，
即2t15=15−3t7，
解得t=22559，
∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，
∴P点运动时长最多为7÷2=72秒，Q点运动时长最多为15÷3＝5秒，
∴0≤t≤72，
∵22559＞72，3517＜72，
∴t=3517，
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是3517秒．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边的比相等．
12．（2024秋•昌平区期中）如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2．
（1）求EF的长．
（2）求证：∠BEF＝90°．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理的逆定理；矩形的性质．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，ABDE=AEDF，结合已知条件，从而得到DF的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果；
（2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果．
【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF，
∴ABDE=AEDF，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴62=9DF，
∴DF＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠EDF＝90°，
∴在Rt△DEF中，
EF=DE2+DF2=22+32=13；
（2）证明：∵△ABE∽△DEF，
∴∠ABE＝∠DEF，
∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°．
【点评】本题考查了三角形相似的性质，以及矩形性质，勾股定理的应用，关键是合理应用三角形相似的性质．
13．（2023秋•沈丘县期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵BPBA=BQBC，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴3t10=8−2t8，
∴t=2011，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵BPBC=BQBA，
∴8−2t10=3t8，
∴t=3223；
∴t=3223或2011时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，PM=95t，BM=125t，MC=8−125t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ACCM=CQMP，
∴68−125t=2t95t
解得：t=1312．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
14．（2023秋•武侯区校级期末）如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）70°；
（2）26．
【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出ACAD=ABAC，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，
∴∠ADC＝35°+35°＝70°；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，
∵AD＝3，BD＝5，
∴AC3=3+5AC，
解得：AC＝26．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
15．（2024秋•新民市期中）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．
【考点】相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）当∠BAD+12∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明见解析部分．
【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论．
（2）如图2中，当∠BAD+12∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明△ACB∽△DCA，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC＝35°，
∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°，
∴∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“理想对角线”．
（2）解：如图2中，当∠BAD+12∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．
理由：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD+12∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°，
∴∠DAC＝∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“理想对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
10．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．