初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册17．4 一元二次方程的应用优秀第2课时习题

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一．由实际问题抽象出一元二次方程（共19小题）
1．（2022秋•宝山区校级期末）某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月的增长率是x，则可以列方程 500（1+x）2＝720 ．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2＝720．
故答案为：500（1+x）2＝720．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
2．（2022秋•青浦区校级期末）有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是x，由题意列出关于x的方程： 875（1﹣x）2＝560 ．
【分析】利用经过两次降价后的售价＝原售价×（1﹣每次下降的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得875（1﹣x）2＝560．
故答案为：875（1﹣x）2＝560．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋•青浦区校级期末）某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程 1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352 ．
【分析】利用十月份的销售额＝八月份的销售额×（1+每月的销售额增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．
故答案为：1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•静安区校级期中）某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程 1250×80%（1+x）2＝1440 ．
【分析】利用第三天铺设污水管道的长度＝第一天铺设污水管道的长度×（1+该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得1250×80%（1+x）2＝1440，
故答案为：1250×80%（1+x）2＝1440．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2022秋•闵行区校级期中）一种型号的电脑，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x，那么根据题意可列出方程： 7500（1﹣x）2＝4800 ．
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得7500（1﹣x）2＝4800．
故答案为：7500（1﹣x）2＝4800．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2022秋•奉贤区期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 x（33+2﹣2x）＝150 ．
【分析】根据各边之间的关系，可得出长方形的长为（33+2﹣2x）米，根据围成的养鸡场的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵竹篱笆的总长度为33米，且垂直于墙的长方形的宽为x米，
∴垂直于墙的长方形的长为（33+2﹣2x）米，
依题意得：x（33+2﹣2x）＝150．
故答案为：x（33+2﹣2x）＝150．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022秋•浦东新区期中）2022年3月，某单位发放防疫物品总计5万元，5月发放防疫物资增加到9万元，设每月发放金额平均增长率为x，则根据题意可列出方程 5（1+x）2＝9 ．
【分析】利用该单位5月发放防疫物资金额＝该单位3月发放防疫物资金额×（1+每月发放金额平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：5（1+x）2＝9．
故答案为：5（1+x）2＝9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022秋•闵行区校级期中）长方形的面积为10平方米，长比宽的2倍少2米，设长方形的宽为x米，那么根据题设可列方程为 （2x﹣2）x＝10 ．
【分析】设长方形的宽为x厘米，则长为2x﹣2厘米，根据长方形的面积为10平方厘米列出方程解答即可．
【解答】解：设长方形的宽为x厘米，则长为2x﹣2厘米，由题意得
（2x﹣2）x＝0．
故答案为：（2x﹣2）x＝20．
【点评】此题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）
A．100（1﹣x）2＝81B．81（1+x）2＝100
C．100（1+x）＝81×2D．2×100（1﹣x）＝81
【分析】此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×（1﹣x）2＝81
故选：A．
【点评】本题考查的是平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）时间＝增长后的量．
10．（2022秋•徐汇区校级期末）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）＝18B．x2﹣3x+16＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝18D．x2+3x+16＝0
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）＝18，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
11．（2022秋•长宁区校级期中）某学校有一块长方形运动场，长70米，宽50米，现计划在这一场地四周（场外）筑一条宽度相等的跑道，其面积为1024平方米．设这条跑道的宽度为x米，可以列出的方程是（ ）
A．（70+2x）（50+2x）＝1024
B．（70+x）（50+x）﹣70×50＝1024
C．（70+2x）（50+2x）﹣70×50＝1024
D．（70﹣2x）（50﹣2x）﹣70×50＝1024
【分析】根据面积间的关系列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：（70+2x）（50+2x）﹣70×50＝1024，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键．
12．（2022秋•黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）2＝1800
B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800
C．400×3+400x2＝1800
D．400+400×3x＝1800
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1800，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为400×（1+x），
∴三月份的营业额为400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，
∴可列方程为400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1800，
即400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2022秋•宝山区期中）某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价销售，降价后的单价为16.2元，且两次降价的百分比均为x，那么可列方程为（ ）
A．16.2（1﹣x）2＝20B．20（1﹣x）2＝16.2
C．20（1﹣x）2＝20﹣16.2D．20（1﹣2x）＝16.2
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2022秋•青浦区校级期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为（ ）
A．（33﹣2x）x＝65B．（32﹣2x）x＝65
C．（31﹣2x）x＝65D．（32﹣2x）（x+1）＝65
【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为（32﹣2x+1），而仓库的面积为65平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（33﹣2x）x＝65，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．
15．（2022秋•杨浦区期中）某商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售价是200元，降价两次后的售价是128元，设每次下降的百分率为x，可列出方程 200（1﹣x）2＝128 ．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设每次下降的百分率为x，根据“原售价200元，降价两次后的售价是128元”，即可得出方程．
【解答】解：由题意得：200（1﹣x）2＝128．
故答案为：200（1﹣x）2＝128．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解决问题的关键．
16．某工厂10月份的产值是100万元，计划12月份的产值要达到144万元，并每月以相同的增长率增长．如果设这个增长率为x，由题意可列出关于x的方程是 100（1+x）2＝144 ．
【分析】设这个增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【解答】解：设这个增长率为x，
由题意可列出关于x的方程是：100（1+x）2＝144，
故答案为：100（1+x）2＝144．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
17．（2022秋•普陀区期中）某工厂一月份的产值是100万元，预计三月份的产值要达到121万元，如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为x，那么根据题意可列方程为 100（1+x）2＝121 ．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“一月份的产值是100万元，预计三月份的产值要达到121万元”，即可得出方程．
【解答】解：根据题意可得：100（1+x）2＝121．
故答案为：100（1+x）2＝121．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
18．（2022秋•静安区校级期中）某工厂4月份的产值为100万元，之后每个月的增长率不变，若第二季度的总产值为364万元，设每月的增长率为x，则可列方程为 100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 ．
【分析】设每月的增长率为x，根据第二季度的总产值为364万元解方程，即可得到答案．
【解答】解：设每月的增长率为x，
依题意得五、六月份共生产收入100（1+x）+100（1+x）2，
则方程为100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
故答案为：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，要注意增长率问题的规律，然后正确找到数量关系根据题意列出方程．
19．（2022秋•静安区期中）若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”．某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为 （38﹣x）2＝38x ．
【分析】设AD为xm，根据“矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积”列出列出方程即可．
【解答】解：设AD的长为x米，则AB的长为（38﹣x）m，
根据题意得：（38﹣x）2＝38x，
故答案为：（38﹣x）2＝38x．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出另一边的长，难度不大．
二．一元二次方程的应用（共22小题）
20．（2022秋•徐汇区校级期中）将进货单价为100元的商品按120元售出时，能卖出500件，已知这种商品每涨1元，其销售量就减少10件．如果希望能获得利润12000元，那么售价应定多少元？这时应进货多少件？
【分析】总利润＝销售量×每个利润．设涨价x元能赚得12000元的利润，即售价定为每个（x+120）元，应进货（500﹣10x）个，根据为了赚得12000元的利润，可列方程求解．
【解答】解：设涨价x元能赚得12000元的利润，即售价定为每个（x+120）元，应进货（500﹣10x）个，依题意得：
（120﹣100+x）（500﹣10x）＝12000，
解得x1＝10 x2＝20，
当x＝10时，x+120＝130，500﹣10x＝400；
当x＝20时，x+120＝140，500﹣10x＝300．
答：售价应定130元，这时应进货400个，或售价应定140元，这时应进货300个．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键看到涨价和销售量的关系，然后以利润作为等量关系列方程求解．
21．（2022秋•静安区校级期中）如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度．
【分析】设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为（42﹣3x）米，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为120平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为（42﹣3x）米，
依题意，得：x（42﹣3x）＝120，
整理，得：x1＝4，x2＝10．
∵42﹣3x≤16，
∴x≥，
∴x＝10．
答：围成长方形养鸡场AB边的长度为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2022秋•宝山区校级期中）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精多少升（ ）
A．10或96B．10C．96D．26
【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60×升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，
根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60×，
整理得：x2﹣106x+960＝0，
解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），
∴第一次倒出了酒精10升．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2022秋•普陀区校级期中）如图，从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是 64 平方米．
【分析】设原来这块木板的边长为x米，根据锯掉2米宽的长方形木条后剩下的面积是48平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入x2中，即可得出结论．
【解答】解：设原来这块木板的边长为x米，
根据题意得：x（x﹣2）＝48，
整理得：x2﹣2x﹣48＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴x2＝8×8＝64，
∴原来这块木板的面积是64平方米．
故答案为：64．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 20% ．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
25．（2022秋•虹口区校级期中）将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，则为了赚得8000元的利润售价应定为 60或80 元．
【分析】总利润＝销售量×每个利润．设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（500﹣10x）个，根据为了赚得8000元的利润，可列方程求解．
【解答】解：设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（500﹣10x）个，依题意得：
（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000，
解得x1＝10，x2＝30．
当x＝10时，x+50＝60；
当x＝30时，x+50＝80．
答：售价定为每个60或80．
故答案为：60或80．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，属于销售利润问题，要会结合题意，表示每个的销售利润，销售量，根据销售利润的基本等量关系，列方程求解．
26．（2022秋•徐汇区期末）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？
【分析】设长方形等候区的边AB为x米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得（48+2﹣2x）x＝300，再解一元二次方程即可．
【解答】解：设长方形等候区的边AB为x米，
由题意得：x（48﹣2x+2）＝300，
整理，得x2﹣25x+150＝0，
解得x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，BC＝30＞26；
当x＝15时，BC＝20＜26，
∴x＝10不合题意，应舍去．
答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
27．某建筑工程队在靠墙处（可用墙长11米），用20米长的建筑材料围成一个面积为60平方米的长方形仓库，在与墙平行的边BC上预留出长度为2米的门，求这仓库的长和宽．
【分析】设仓库的宽AB＝x米，则仓库的长为（20+2﹣2x）米，根据题意建立一元二次方程，根据可用墙长11米，得出22﹣2x＜11，继而即可求解．
【解答】解：设仓库的宽AB＝x米，则仓库的长为（20+2﹣2x）米，根据题意得，x（20+2﹣2x）＝60，
解得：x1＝5，x2＝6，
∵可用墙长11米，
∴22﹣2x＜11，
解得：，
∴x＝6，
∴22﹣2×6＝10米．
∴这仓库的长为10米，宽为6米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，我题意列出一元二次方程是解题的关键．
28．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
【分析】根据“围成面积为63m2的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使BC小于等于10m．
【解答】解：设花圃的一边AB为xm，
根据题意可知，x（30﹣3x）＝63，
整理得，﹣3x2+30x＝63，
解此方程得x1＝7，x2＝3，
当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去，
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
29．（2022秋•黄浦区期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为x米，则长为 20 米．（用含x代数式表示）
【分析】设这个长方形的宽为x米，则长为（50+1+1﹣2x）米，根据长方形等候区的面积为320平方米，即可得出关于x的一元二次方程，结合墙长25米，即可得出这个长方形的长为20米．
【解答】解：设这个长方形的宽为x米，则长为（50+1+1﹣2x）米，
根据题意得：x（50+1+1﹣2x）＝320，
整理得：x2﹣26x+160＝0，
解得：x1＝10，x2＝16，
当x＝10时，50+1+1﹣2x＝50+1+1﹣2×10＝32＞25，不符合题意，舍去；
当x＝16时，50+1+1﹣2x＝50+1+1﹣2×16＝20＜25，符合题意．
∴这个长方形的宽为16米，长为20米．
故答案为：20．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2022秋•闵行区校级期中）2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？
【分析】设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组有x支队伍，根据本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组有x支队伍，
根据题意得：8××x（x﹣1）＝48，
整理得：x2﹣8x﹣768＝0，
解得：x1＝32，x2＝﹣24（不符合题意，舍去）．
答：共有32支队伍参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
31．（2022秋•闵行区期中）某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分）．若草坪的面积是1920平方米，求道路的宽度．
【分析】设道路的宽度为x米，则余下的部分可合成长为（50﹣x）米，宽为（42﹣x）米的矩形，根据草坪的面积是1920平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽度为x米，则余下的部分可合成长为（50﹣x）米，宽为（42﹣x）米的矩形，
依题意得：（50﹣x）（42﹣x）＝1920，
整理得：x2﹣92x+180＝0，
解得：x1＝2，x2＝90（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．（2022秋•普陀区期中）如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长．
【分析】设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的底面长为（20﹣2x）厘米，宽为（12﹣2x）厘米，根据纸盒的底面面积是128平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的底面长为（20﹣2x）厘米，宽为（12﹣2x）厘米，
依题意得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝128，
整理得：x2﹣16x+28＝0，
解得：x1＝2，x2＝14（不符合题意，舍去）．
答：剪去的小正方形的边长为2厘米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
33．（2022秋•青浦区校级期中）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，为助力脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包．若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
【分析】设农产品礼包每包降价x元，则每包的销售利润为（15﹣x）元，4月份的销售量为（400+5x）袋，利用这种农产品在4月份获得的利润＝每包的销售利润×4月份的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每包应降低的价格．
【解答】解：设农产品礼包每包降价x元，则每包的销售利润为（40﹣x﹣25）＝（15﹣x）元，4月份的销售量为（400+5x）袋，
依题意得：（15﹣x）（400+5x）＝4620，
整理得：x2+65x﹣276＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣69（不合题意，舍去）．
答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．（2022秋•长宁区校级期中）如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC的边各应是多少？
【分析】设AB长为x米，则BC长为（36﹣3x）米，根据长方形的面积公式结合长方形ABCD的面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设AB长为x米，则BC长为（36﹣3x）米，
根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8．
∵BC＜22，
∴x＝8．
答：AB长8米，BC长12米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．（2022秋•徐汇区校级期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为 10% ．
【分析】设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．
【解答】解：设这个百分率为x%，
由题意得：300（1﹣x%）2＝243，解得x＝10或x＝190（舍）．
故答案为：10%．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．
36．（2022秋•宝山区期中）某地区规划将21000平方米矩形土地用于修建文化广场，已知该片土地的宽为x米，长比宽长10米，那么这块矩形土地的长是 150 米．
【分析】根据某地区规划将21000平方米矩形土地用于修建文化广场，列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：根据题意，得x（x+10）＝21000，
解得x1＝140，x2＝﹣150（不合题意，舍去），
∴矩形土地的长为140+10＝150（米），
故答案为：150．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
37．（2022秋•青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．
【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36﹣3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【解答】解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，
x（36﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
当x＝4时，
36﹣3x＝24＞22（不合题意，舍去），
当x＝8时，
36﹣3x＝12．
答：AB的长为8米，BC的长为12米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键．
38．（2022秋•青浦区期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，若该网店想一星期获利6480元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？
【分析】根据每降价1元，每星期可多卖30盒，列出函数关系式即可，根据该网店某星期获得了6480元的利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设该款口罩每盒降价x元，
当该网店想一星期获利6480元时，
可得：（60﹣x﹣40）（300+30x）＝6480，
解得：x1＝8，x2＝2，
因为尽快减少库存，所以x＝8符合题意，x＝2舍去．
则销售量为：300+30×8＝540（盒），
答：该网店某星期获得了6480元的利润时，销售该款口罩540盒．
【点评】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出函数关系式或方程．
39．（2022秋•嘉定区期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为（20﹣2x+2）米，而仓库的面积为60米2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米，
依题意得（20﹣2x+2）x＝60，
x2﹣11x+30＝0，
（x﹣6）（x﹣5）＝0，
∴x1＝6或x2＝5，
当x1＝6时，20﹣2x+2＝10；
当x2＝5时，20﹣2x+2＝12＞10，不合题意舍去．
答：该长方形相邻两边长要取10米，6米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
40．（2022秋•徐汇区校级期末）某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，
整理得：3x2﹣32x+52＝0，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
41．（2022秋•宝山区校级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？
【分析】本题的等量关系是商品的单件利润＝售价﹣进价．然后根据商品的单件利润×销售的件数＝总利润，设商品的售价为a，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．
【解答】解：设每件商品售价是x元，
由题意，得（x﹣21）（350﹣10x）＝400；
化简，得x2﹣56x+775＝0；
解得 x1＝25，x2＝31；
又21×（1+0.2）＝25.2，
∴x＝31不合题意，舍去．
答：每件商品售价是25元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
提升练
一．填空题（共1小题）
1．（2022秋•长宁区校级期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝21 ．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
二．解答题（共14小题）
2．（2022秋•虹口区校级期中）某厂一月份的产值是50万元，第一季度总产值是182万元，求：平均月增长率．
【分析】设平均月增长率为x，由题意：一月份的产值是50万元，第一季度总产值是182万元，列出一元二次方程，解方程取其正值即可．
【解答】解：设平均月增长率为x，
由题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182，
整理得：x2+3x﹣0.64＝0，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意舍去），
∴x＝20%，
答：平均月增长率为20%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋•静安区校级期中）如图，小明家要建一个面积为150平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边（门除外）用竹篱笆围成．这堵墙长18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为33米（没有剩余材料，接头忽略不计），那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（33﹣2x+2）米，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（33﹣2x+2）米，
由题意得：x（33﹣2x+2）＝150，
整理得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x＝7.5时，33﹣2x+2＝33﹣15+2＝20＞18，不符合题意舍去；
当x＝10时，33﹣2+2＝33﹣20+2＝15＜18，符合题意；
答：小明家养鸡场的长为15米，宽为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•宝山区校级期中）如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32﹣2x+2）米，根据矩形面积公式可列出方程，求出答案．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32﹣2x+2）米，
由题意得x•（32﹣2x+2）＝140，
整理，得x2﹣17x+70＝0，
解得x1＝10，x2＝7，
当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32﹣14+2＝20（米）＞16米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32﹣20+2＝14（米）；
答：仓库的长和宽分别为10米，14米．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解答本题的关键在于利用图形得出平行于墙的一边长为（32﹣2x+2）米．
5．（2022秋•浦东新区期中）2014年，某市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为每平方米5265元．求平均每年下调的百分率．
【分析】设平均每年下调的百分率为x，根据2016年的均价为每平方米5265元列出方程6500（1﹣x）2＝5265，求解即可．
【解答】解：设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：
6500（1﹣x）2＝5265，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意舍去），
答：平均每年下调的百分率为10%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6．（2022秋•浦东新区校级期中）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？
【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数＝总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可．
【解答】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得：
[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝10000，
解得x1＝50，x2＝80，
答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程；难度一般，是常考题．
7．（2022秋•虹口区校级期中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【分析】利用销售利润＝售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．
【解答】解：设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000，
整理，得x2﹣110x+3000＝0，
解得x1＝50，x2＝60．
当x＝50时，进货180﹣10（50﹣52）＝200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x＝60时，进货180﹣10（60﹣52）＝100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
8．（2022秋•宝山区期中）要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙，墙长为18米，另三边用篱笆围成，如篱笆长度为35米，且要求用完．求鸡场的长与宽各是多少米？
【分析】设鸡场的宽为x米，平行于墙的边长为（35﹣2x）米，根据面积为150平方米，可列方程求解．
【解答】解：设垂直于墙的边长为xm．
依题意得：x（35﹣2x）＝150，
2x2﹣35x+150＝0．
解得：x1＝10，x2＝7.5，
35﹣2×10＝15，符合题意；
35﹣2×7.5＝20＞18，不合题意；
答：鸡场的长为15米，宽为10米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
9．（2022秋•闵行区校级期中）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪AB边的长．
【分析】可设矩形草坪AB边的长为x米，则BC的长是（32﹣2x）米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【解答】解：设AB边的长为x米，根据题意得：
x（32﹣2x）＝120，
解得：x1＝6，x2＝10，
当x1＝6时，BC＝20＞16（不合题意，舍去），
当x2＝10时，BC＝12，符合题意．
答：该矩形草坪AB边的长为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
10．（2022秋•奉贤区期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可．
【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
11．（2022秋•嘉定区月考）如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱笆围成一个面积为96平方米的长方形ABCD，中间用篱笆分隔出两个小长方形，总共用去36米长的篱笆，求AB的长度？
【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36﹣3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【解答】解：设AB＝x米，依题意得
x（36﹣3x）＝96
解得：x1＝4，x2＝8．
当x1＝4，36﹣3x＝24＞20（不合题意，舍去）
当x2＝8时，36﹣3x＝12＜20，符合题意，
答：AB的长度是8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．
12．（2022秋•松江区校级期中）某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？
【分析】把两条路平移到长方形的上面和左面，相应的等量关系为：（长﹣道路宽）×（宽﹣道路宽）＝135×4，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设道路宽为x米．
（32﹣x）（20﹣x）＝135×4，
整理，得
x2﹣52x+100＝0，
解得：x1＝2，x2＝50，
∵x＜20，
∴x＝2．
答：道路宽为2米
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解决本题的难点是把两条道路进行平移得到草地面积的等量关系．
13．（2022秋•宝山区校级期中）某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，超市为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？
【分析】总利润＝销售量×每个利润．设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x﹣40）元，应进货[500﹣10（x﹣50）]个，根据为了赚得8000元的利润，可列方程求解．
【解答】解：设定价为x元，
根据题意可得，（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝80，x2＝60．
答：定价为80元或60元，利润可达到8000元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，属于销售利润问题，要会结合题意，表示每个的销售利润，销售量，根据销售利润的基本等量关系，列方程求解．
14．（2021秋•金山区校级期中）如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？
【分析】设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米．
由题意，得：x（180﹣2x）＝4000，
整理，得：x2﹣90x+2000＝0，
解得：x＝40或x＝50＞40（不符合题意，舍去），
∴180﹣2x＝180﹣2×40＝100＜120（符合题意）．
答：BC＝40米，CD＝100米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用x表示CD的长，然后根据长方形的面积公式列出方程．
15．（2021秋•青羊区校级月考）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为275万元？
【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益＝租金﹣各种费用＝275万元作为等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵（130000﹣100000）÷5000＝6，
∴能租出30﹣6＝24（间）．
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则每间的租金是（10+x）万元，5000元＝0.5万元，有间商铺没有出租，出租的商铺有（30﹣）间，出租的商铺需要交（30﹣）×1万元费用，没有出租的需要交×0.5万元的费用，
则（30﹣）×（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5＝275
2x2﹣11x+5＝0
解得：x1＝5，x2＝0.5
5+10＝15万元； 0.5+10＝10.5万元
∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题中的等量关系题目中已经给出，相对降低了难度．