【寒假提升训练】人教版 初中数学 七年级上册 提升训练 第08讲 直线、射线、线段及其运算（原卷版+解析版）

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寒假作业08 直线、射线、线段及其运算
1、直线、射线、线段的比较
2、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形．
一个点可以用一个大写字母表示，如点A.
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l或直线AB.
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l或射线AB.
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l或线段AB.
3、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点．
②点在直线外，或者说直线不经过这个点．
4、线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短．
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
（3）线段的中点到两端点的距离相等．
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
（5）线段的比较：①目测法；②叠合法；③度量法.
5、线段的中点：
点M把线段AB分成两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点．
即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）.
M
A
B
6、直线的性质
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
（2）过一点的直线有无数条．
（3）直线是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．
（4）直线上有无穷多个点．
（5）两条不同的直线至多有一个公共点．
1．下列关于直线的表示方法，正确的是（ ）
①直线A
②直线AB
③直线Ab
④直线ab
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】直线可以用一个小写字母表示，或用直线上两个点的大写字母表示．故选B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．点O在线段上B．点B是直线的一个端点
C．射线和射线是同一条射线D．图中共有3条线段
【答案】D
【解析】A、点O在线段外，该选项说法错误，不符合题意；
B、点B是直线上的一个点，直线没有端点，该选项说法错误，不符合题意；
C、射线和射线不是同一条射线，该选项说法错误，不符合题意；
D、图中有线段OA，AB，OB，共3条线段，该选项说法正确，符合题意.
故选D．
3．如图，用适当的语句表述图中点与直线的位置关系，下列说法错误的是（ ）

A．点P在直线外B．点C在直线外
C．直线不经过点MD．直线经过点B
【答案】B
【解析】点P在直线外，描述正确，故A不符合题意；
点C在直线上，故B符合题意；
线不经过点M，描述正确，故C不符合题意；
直线经过点B，描述正确，故D不符合题意.
故选B.
4．下列四个生活中产生的现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【答案】D
【解析】①②属于两点确定一条直线，不符合题意；③④属于两点之间，线段最短，符合题意．故选D．
5．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票，共有（ ）种票价．

A．；B．；C．；D．；
【答案】C
【解析】，，∴需印制20种车票，共有10种票价．故选C．
6．如图，O为线段上一点，，，点P从点A出发沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，当运动时间为 秒时，．
【答案】11
【解析】∵，，∴，
设运动的时间为，则，
∴，
∵，
∴，解得：，故答案为：11．
7．如图，在平面内有A、B、C三点．
(1)画直线，线段，射线；
(2)在线段上任取一点D（不同于B、C），连接；
(3)数数看，此时图中线段共有 条．
【解析】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：图中有线段6条，即线段，，，，，，故答案为：6．
8．已知：线段，．
求作：线段（用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）.

【解析】如图所示，线段即为所求；
先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧与射线交于D，再以D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段于B，线段即为所求．

9．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，，其中，且．

(1)的长为 ；
(2)若以为原点，写出点，，所对应的数，并求出它们所对应数的和．
【解析】（1）解：∵，且，
∴，
故答案为：．
（2）因为，，
所以
若以为原点，则点，，所对应的数分别为，，，
所以点，，所对应的数的和为．
10．如图，已知点是线段上一点，，点分别是的中点．若，，求线段的长．
【解析】点分别是的中点，
，，
，，
∴，，
∴，
，
故.
11．如图，为线段的中点，点在线段上，且，若为线段的中点，请判断线段，线段的数量关系，并说明理由．
【解析】．理由如下：
设，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴．

12．下列说法正确的有（ ）
①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线.
A．①③④B．②③④C．①③D．②③
【答案】A
【解析】①直线和直线是同一条直线，正确；
②射线和射线是同一条射线，不正确，二者端点不同；
③线段和线段是同一条线段，正确；
④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，正确，
综上所述，正确的是①③④．故选A．
13．若平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了（ ）个部分．
A．或B．C．或D．
【答案】C
【解析】如图，

由图可知，平面内互不重合的条直线只有个交点，则平面被分成了或个部分，故选．
14．直线的位置关系如图所示，则下列语句：
点在直线上；直线经过点；直线两两相交；点是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号）.
【答案】
【解析】由图可得，点在直线上，正确；
直线不经过点，错误；
直线两两相交，正确；
点是直线的交点，正确.
故答案为：．
15．如图，线段，，点M是的中点．

(1)求线段的长度；
(2)在上取一点N，使得．求的长．
【解析】（1）解：线段，，
∴．
又∵点M是的中点，
∴，即线段的长度是．
（2）∵，
∴．
又∵点M是的中点，，
∴，
∴，即的长度是．
16．如图，已知B、C在线段上．
(1)图中共有 条线段；
(2)若．
①比较线段的长短： （填“”“”或“”）；
②若，M是的中点，N是的中点，求线段的长度．
【解析】（1）解：以A为端点的线段有，共3条，
以B为端点的线段有，共2条，
以C为端点的线段有，共1条，
故共有线段的条数为：，
故答案为：6；
（2）解：①若，则，
即，
故答案为：；
②，
，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
，
．
17．如图，在直线上顺次取A，，三点，点是线段中点，，．

(1)求线段的长度；
(2)点和点分别由A点、点同时出发向左运动，点的速度为，点的速度为，直接写出点出发________秒后，点到点、点的距离相等．
【解析】（1）解：∵，．
∴，
∴，
∵点D是线段中点，
∴，
∴.
（2）解：设点出发秒后，点到点、点的距离相等，
则，，
依题意，或，
解得：或，故答案为：或．
18．如图，线段，C是线段的中点，D是线段的中点．
(1)求线段的长；
(2)在线段上有一点E，，求的长．
【解析】（1）解：∵线段，C是线段的中点，D是线段的中点，
∴
∴；
（2）解：易得.
∵在线段上有一点E，
故点E在C点的左边，，
综上：的长为8．
19．已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且．
(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长．
(2)如图2，若M为线段的中点，N为线段的中点，求线段的长．
【解析】（1）解：，，
，
∵P为的中点，
，
∴；
（2）解：，
∴，
为线段的中点，N为线段的中点．
，，
，
∴．
20．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确地作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都不对D．嘉嘉、淇淇都对
【答案】A
【解析】①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确；
②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选A．


21．已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则 ．
【答案】或
【解析】当点位置如图时，

设，则，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，解得，
∴；
当点位置如图时，

设，则，，，
∵点为的中点，
∴，
∴，解得，
∴；
故答案为：或．
22．如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求：
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若在直线上，且，求的长度．
【解析】（1）由线段中点的性质，得；
（2）由线段的和差，得，
由线段中点的性质，得，
由线段的和差，得；
（3）当在点的右侧时，，
当在点的左侧时，，
∴的长度为或．
23．已知数轴的原点为，如图，点表示，点表示．

(1)该图中数轴是什么图形？________，用字母表示为_________；（提示：图形指的是直线、射线和线段）
(2)该图中数轴在原点右边的部分（包括原点）是什么图形？________，用字母表示为_______．
(3)该图中数轴上表示不小于且不大于的部分是什么图形？_______，用字母表示为_______．
(4)到点距离等于的点所表示的数是多少？
【解析】（1）解：根据数轴概念可知：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，直线或.
故答案为：直线，直线或；
（2）根据概念可知：射线，射线，
故答案为：射线，射线 ；
（3）根据概念可知：线段，线段或，
故答案为：线段，线段或；
（4）设这个数为，
由题意得：，
或，
解得：或，
∴到点距离等于的点所表示的数是或．
24．探究题：如图，已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若点C恰好是中点，则____________；
(2)若，求的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变．
【解析】（1），点为的中点，
．
∵点、E分别是和的中点，
，
．
故答案为：6；
（2），，
．
∵点、E分别是和的中点，
，，
；
（3）设，则，
∵点、E分别是和的中点，
∴，，
，
不论取何值（不超过），的长不变.
25．如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．
(1)图中共有________条线段；(直接写出结果)
(2)若，求线段的长；
(3)若为直线上一点，且，请直接写出的值：________．
【解析】（1）解：图中的线段有：，，，，，，共条，
故答案为：；
（2）线段的长为，点为线段的中点，
，
，
，，
；
（3）由于，因此点在的延长线或的延长线上，
当点在的延长线时，
，
；
当点在的延长线时，，
，
；
综上所述，的值为或．故答案为：或．
26．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs．
(1)当P、Q两点重合时，求t的值；
(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：由题意可得：，，
∴当P、Q重合时，
，
解得：；
（2）解：由题意可得：，
①当点C是线段的中点时，
，
解得：；
②当点P是线段的中点时，
，
解得：；
③当点Q是线段的中点时，
，
解得：.
综上所述，满足条件的值为4或7或．
27．如图所示，点P是线段上任意一点， cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动时间为ts．
(1)若cm：
①两点运动1s后，求的长；
②当点D在线段上运动时，试说明：；
(2)当时，cm，试探索的长．
【解析】（1）解：①当时，cm，cm，
∵cm，cm，
∴cm，
∴cm.
②∵cm，cm，
∴cm，cm，cm，
∴cm，
∴；
（2）解：当时，cm，cm，
①当点D在点C的右边时，如图①所示，
∴cm，
∴cm，
∴cm；
②当点D在点C的左边时，如图②所示，
∴cm，
∴cm，
综上所述，的长为9cm或11cm．
28．在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，．

(1)直接写出结果， ， ．
(2)设点在数轴上对应的数为．
①若点为线段的中点，则 ．
②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ．
(3)动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：，，
故答案为：；；
（2）①∵点为线段的中点，
∴，
∴，解得：，故答案为：；
②∵点为线段上的一个动点，
∴，
故答案为：；
（3）∵动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒，当点运动到时，和两点停止运动，
∴点表示的数为，，
当时，点表示的数为，，
当时，即，解得：或，
当时，点表示的数为，，
当时，即，解得：或，
∴存在值，使得，，，或．
29．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．故选B．
30．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【答案】B
【解析】由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧，
，
在原点的左侧，表示的数为 故选B.
31．（2021·江苏泰州·统考中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【答案】A
【解析】①点A在B、C两点之间，则满足，
即，解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，
即，解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，
即，解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；
选项D错误.故选A．
32．（2021·河北·统考中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连接AB、AC、AD、AE，
根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，
故选A．
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
1
直线
可向两方无限延伸
无