【寒假提升训练】人教版 初中数学 七年级上册 提升训练 第02讲 有理数的运算（原卷版+解析版）

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寒假作业02 有理数的运算
一、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两数相加，和为零；
（4）一个数与零相加，仍得这个数．
2.有理数加法的运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a；
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
二、有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数．
3.有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab=ba；
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即(ab)c=a(bc) ；
（3）乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a(b+c)=ab+ac．
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果；
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行．
三、有理数的乘方
1.乘方的概念
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中，a 叫做底数，n 叫做指数．
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
3.有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
4.科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法．
1．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为，将250000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】250000用科学记数法表示为．故选A．
2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，列出算式为．故选D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A．，故A正确；B．，故B错误；
C．，故C错误；D．，故D错误．故选A．
4．下列变形中正确使用加法交换律的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，利用的加括号法则，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，利用的是加法的交换律，故选项C符合题意；
，故选项D错误，不符合题意．故选C．
5．已知三数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由数轴可知：，
所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选D．
6．下列各组运算，结果符号为负的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】，是负数；，既不是正数，也不是负数；
，是负数；，是正数；所以，结果为负数的有2个，故选B．
7．“点”的游戏规则是：用“，，，”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以，，，这四个数用“，，，”四种运算符号列出算式为__________．（列出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，，故答案为：（答案不唯一）．
8．计算：．
【解析】原式
．
9．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）
(1)守门员最后是否回到球门线上？
(2)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．
【解析】（1）解：，
答：守门员最后正好回到球门线上；
（2）解：第一次；
第二次；
第三次；
第四次；
第五次；
第六次；
第七次；
第八次．
答：对方球员有四次挑射破门的机会．
10．在学校组织的一分钟单人跳绳比赛中，成绩记录规则如下：以一分钟150次为标准，超过150次的记作正数，不足150 次的记作负数．七（1）班8名同学的跳绳成绩如下：，，，，0，，，．
(1)跳的最多的同学比最少的同学一分钟多跳__________次；
(2)一分钟超过180次的同学被评为“超级绳王”，则这8名同学中有__________人被评为“超级绳王”；
(3)求这8名同学平均一分钟跳多少次？
【解析】（1）跳的最多的同学比最少的同学一分钟多跳（次），故答案为85；
（2），，，，，，
所以被评为“超级绳王”的有2人，故答案为：2；
（3）这8名同学平均一分钟跳（次）．
答：这8名同学平均一分钟跳154次．
11．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【解析】①，，则，故该项不正确；
②，，则，故该项正确；
③，，则，，即，故该项正确；
则只有②③正确．故选B．
12．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是__________．
【答案】//
【解析】输入，，
此时输入，，
此时输入，，输出，
故答案为：．
13．已知m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3，求的值．
【解析】因为m，n互为相反数，a，b互为倒数，x的绝对值等于3，
所以，，，
当时，
原式
；
当时，
原式
．
综上所述：的值为或．
14．计算下列各式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
15．
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
(1) ；
(2) ；
(3)．
【解析】（1）．
；
（2）
；
（3）
．
16．嘉淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：．
(1)求的值；
(2)小华在运用此程序输入有理数进行计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，出现了什么情况？为什么？
【解析】（1）
；
（2）小华输入的数据可能是，从而产生除数为0的情况．因为0不能作除数，所以显示“该程序无法操作”．
17．如图是一个数学游戏活动，A，B，C，D分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（每次游戏都涉及A，B，C，D四种运算各一次）
（1）4经过的顺序运算后，结果是__________；
（2）经过→D的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是__________．
【解析】（1），，，；
故答案为：23；
（2）因为经过→D的顺序运算后，结果是，
所以经过的顺序运算后，结果为；
因为，
所以被遮挡部分的运算顺序应是；
故答案为：．
18．对于四个数“，，1，4”，列算式解决下列问题：
(1)求这四个数的和；
(2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求；
①这两个数相减的结果最小；
②这两个数相乘的结果最大．
【解析】（1）根据题意得：；
（2）①根据最小有理数减去最大有理数，结果最小得：，此时结果最小．
所以选，4；
②因为，
，
，
，
，
，
又因为，所以选，两个数相乘的结果最大．
19．【思考】
定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗?
【归纳】
（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把__________．任何数同0进行“※”运算，都得__________．
【运用】
（2）计算：；
（3）化简：．
（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算）
【解析】（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值；
故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值；
（2）
=；
（3）当时，；
当时，；
当时，．
20．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）：
(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产__________辆；
(2)根据记录可知前三天共生产自行车__________辆；
(3)若该厂实行计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖15元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣20元，求该厂工人这一周的工资总额是多少．
【解析】（1）产量最多的一天为（辆），产量最少的一天为（辆），
所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）．故答案为：27．
（2）（辆）．故答案为：303．
（3）（辆），
（元）．
答:该厂工人这一周的工资总额是42550元．
21．（2023上·河北廊坊·七年级廊坊市第七中学校考期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（ ）
小嘉说：247是13的“和倍数”；
小淇说：441是9的“和倍数”；
小华说：214、357均不是“和倍数”．
A．三人说法都对B．只有一人说法不对C．小华说的不对D．只有一人说法对
【答案】A
【解析】解∶因为，
所以247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确；
因为
，
所以441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确；
因为
，
所以214不是“和倍数”，
因为
，
所以357不是“和倍数”，故小华的说法正确；
故选A．
22．（2023上·广西玉林·七年级统考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数，，满足，求＋＋的值．
【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都为正数，即时，
＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；
②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，
则＋＋＝＋＋．
综上所述，＋＋的值为3或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，是不为0的有理数，当时，＋＝__________；
(2)已知，，是有理数，当时，求＋＋的值；
(3)已知，，是有理数，，，求＋＋的值．
【解析】（1）因为，且是不为0的有理数，所以，即异号，
不妨设,
原式,
故答案为：0；
（2）因为，且是有理数，
所以三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当三个有理数均为负数时，即，
所以原式＝
；
②当中一个为负数，另两个为正数时，
不妨设，
所以原式＝
．
综上，的值为1或；
（3）因为，且是有理数，
所以中一个为负数，另两个为正数，
不妨设，
因为，
所以，
，
所以原式＝，
所以＋＋的值为1．
23．（2023上·吉林长春·七年级校考期中）阅读下面内容，解决问题：
【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个有理数相除记作，读作“a的n次商”．
【初步探究】
(1)直接写出结果：__________，__________；
(2)关于除方，下列说法错误的是（ ）
A．任何非零有理数的2次商都等于1
B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
C．除零外两个相反数的偶数次商都相等，奇数次商还是互为相反数
D．（a是有理数，，n是正整数）
【深入思考】
除法运算能够转化为乘法运算，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如：.
(3)将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
__________，__________．
(4)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于__________（n是整数且）．
(5)算一算：．
【解析】（1）解：，
，
故答案为：，4；
（2）A．任何非零有理数的2次商都等于1，该说法正确，不符合题意；
B．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，该说法正确，不符合题意；
C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，该说法正确，不符合题意；
D．（a是有理数，，n是正整数），该说法错误，例如：，符合题意．
故选D；
（3）
；
；
故答案为：，；
（4）由（3）得到规律：，
所以，将一个非零有理数的次商写成乘方（幂）的形式等于，
故答案为：；
（5）
．
24．（2023·浙江湖州·统考中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】用科学记数法表示502000为．
故选C．
25．（2023·湖南常德·统考中考真题）下面算法正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选C．
26．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；故选D．
27．（2023·四川遂宁·统考中考真题）已知算式□的值为，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
【答案】A
【解析】因为，所以“□”内应填入的运算符号为＋，故选A．
28．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．六一儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）
A．160元B．162元C．172元D．180元
【答案】B
【解析】由题意得：（元）；故选B．
29．（2023·青海西宁·统考中考真题）算式的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+B．-C．×D．÷
【答案】B
【解析】因为，，，，
又因为，所以最小，所以□中填入的运算符号是“-”．故选B．
30．（2023·西藏·统考中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2023
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
解得，
所以．
故选B．
31．（2022·江苏镇江·统考中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为 ．
【答案】－6或零下6
【解析】山顶的气温约为，故答案为：－6或零下6．
32．（2023·湖北随州·统考中考真题）计算： ．
【答案】0
【解析】．故答案为：0．
33．（2023·广西·统考中考真题）计算：．
【解析】
．利用运算律有时能进行简便计算
例1
例2
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减