重庆市2023_2024学年高三数学上学期11月月考质量监测

这是一份重庆市2023_2024学年高三数学上学期11月月考质量监测，共16页。试卷主要包含了 已知向量，，且，则，5折的价格走渠道等内容，欢迎下载使用。
（全卷共四大题22小题 总分150分 考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，，则（ ）
A．B． C． D．
2.已知角终边上有一点，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3．现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，则得到的所有多边形纸片的边数总和为（ ）
A．33B．34C．36 D．37
4．设，是两个平面，直线与垂直的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为2的等边三角形中，点为中线的三等分点
靠近点，点为的中点，则（ ）
A.B. C.D.
7．若都是正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B. C．4D．
8．若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，且，则（ ）
A. B.
C. 向量与向量的夹角是D. 向量在向量上的投影向量的坐标是
10．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．若是线段中点，则平面
D．在线段上任取一点，则三棱锥的体积为定值
11．已知函数的定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．函数在上递减
C．若，则 D．若，则
12．已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点，将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（ ）
A．
B．
C．图2中，
D．图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等比数列的前项和为，，，则．
14．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为.
15．已知函数在区间上的值域为，则．
16．设函数，，若在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围是．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知是首项为的等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）内角A，B，C的对边分别为，，，已知，， 的面积为．
（1）求的值；
（2）若点是边上一点，且，求的长．
19．（本小题满分12分）某商场对，两类商品实行线上销售（以下称“渠道”）和
线下销售（以下称“渠道”）两种销售模式．类商品成本价为120元件，总量中有
40%将按照原价200元/件的价格走渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走渠道
销售；类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走渠道
销售，有40%将按照原价7.5折的价格走渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原
价6折的价格销售，并能全部售完．
（1）通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
（2）某商场举行让利大甩卖活动，全场，两类商品走渠道销售，假设每位线上购买，商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买类商品的概率为．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设为该商场当天所售类商品的件数，为当天销售这两类商品带来的总收益，求和的期望．
20．（本小题满分12分）如图，在几何体中，是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面，．
（1）若，求证：平面；
（2）若，且平面与平面夹角的余弦值为，
求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.
（1）求（用表示）；
（2）设数列满足：其中，是数列的前项的和，
求证：，.
22．（本小题满分12分）已知；
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若方程有两个实根，，且，证明：．渝北中学2023-2024学年高三11月月考质量监测
数学 参考答案
一、单项选择题
8.解：依题意，由，是函数的两个不同的零点，
可知，是一元二次方程的两个不同的根，
由根据根与系数的关系，可得，，
，，，，
，，这三个数可适当排序后成等比数列，只有，，或，，满足题意，
，即，此时，
，，这三个数可适当排序后成等差数列，只有，，或，，满足题意，
即，，成等差数列或，，成等差数列，
当，，成等差数列时，
根据等差中项的性质有，化简整理，得，
解得舍去，或，此时，，
当，，成等差数列，
根据等差中项的性质有，化简整理，得，
解得舍去，或，此时，，
综合，可得，不等式即为，解得，或，
故不等式的解集为或
二、多项选择题
12．解：函数的最小正周期为，
在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，则点、，
，∵，解得，故A正确；
∴，，则，可得，
又∵函数在附近单调递减，且，∴，故B错误；
∵，可得，
又∵点是函数的图象在轴左侧距离轴最近的最高点，则，
可得，∴，
∵点是函数在轴右侧的第一个对称中心，∴，可得，
翻折后，则有、、、，
∴，，∴在图2中，，故C正确；
在图2中，设点，，
可得，，，，
易知为锐角，则，
∴区域是坐标平面内以点为圆心，半径为，且圆心角为的扇形及其内部，故区域的面积，故D错误.
三、填空题
13． 1214. 15． 16．
16．解：由于，只需在区间上没有零点，
∵，令，解得，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，即时，在区间上单调递增，
当时，，符合题意；
当时，即时，在区间上单调递减，
当时，，符合题意；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
只需即可，所以：，
综上，的取值范围是 .
四、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）设等比数列的公比为，，
∵ ，，成等差数列，∴，即，
化简可得，解得.
又，∴数列的通项公式为；
（2）∵，所以，
则，①，
，②
①-②得，
∴．
18．（本小题满分12分）
解：（1）由三角形的面积公式，
解得，；
（2）∵，∴，
，
，
则，
由正弦定理，．
19．（本小题满分12分）
解：（1）设类，类商品单件收益分别为元，元，
则元，
元，
，故类商品单件收益的均值更高；
（2）由题意可知，，
，，
∴，
元，
又元，
∴元．
20．（本小题满分12分）
解：（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是的中点，∴，
∵平面ABC，∴平面ABC，
以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，，
∵，∴，∴，∵，∴，∴，
∵，平面，故平面；
（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，∴，取，则，，∴，
∴，∴或，
当时，，∴，，
∴，
∴直线DE与平面所成角的正弦值为．
21．（本小题满分12分）
解：（1），
∴；
（2）由（1）知，，，
而也满足上式，故，
∴ 且，故且，即，
∴，∴时，，时，，
∴，∵，∴，证毕．
22．（本小题满分12分）
解：（1）
当时，∴恒成立得在递增，
则函数不可能存在两个零点，故该情况不成立；
当时，得在递增；在递减，
要使有两个不同零点，必须且极大值（和时），
∴；
（2）方程
令，由有两个实根、，则，是的两个零点
且，可得，
由可得，要证，
即证，即证，
∵，∴，∴即证
令，即证，
构造函数，其中，即证，
，所以，函数在上单调递增，
∴，故原不等式成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
D
A
B
A
C
题号
9
10
11
12
答案
ACD
AD
BCD
AC