上海市杨浦区2025届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题

这是一份上海市杨浦区2025届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题，共23页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则的子集个数为 .
2．函数的最小正周期是 ．
3．不等式的解集为 .
4．已知函数是偶函数，则实数的值为 .
5．已知，则实数的取值范围为 .
6．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 .
7．已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为 .
8．某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为 .
9．将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 .
10．已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 .
11．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01）
12．已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为 .
二、单选题
13．已知实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分也非必要
14．如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
15．小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量：
并构建模型如下：
当人迎风行走时，人体总的淋雨量为.
根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释：
①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大；
②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小；
③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大.
这些解释合理的个数为（ ）
A．B．C．D．
16．设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（ ）
A．B．0C．6D．12
三、解答题
17．如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点.
(1)求证：；
(2)求二面角的大小.
18．已知的内角所对边的长度分别为.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值.
19．为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.
(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？
(2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数）
求该样本的第40百分位数.
(3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率.
20．如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.
(1)求拋物线的焦点坐标；
(2)求证：点三点共线；
(3)若，求四边形的面积.
21．已知y=fx是定义域为的函数，实数，称函数为函数y=fx的“-生成函数”，记作.
(1)若，求函数的值域；
(2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)若y=fx满足：①；②y=fx在0,1上存在导函数y=f′x，且y=f′x在0,1上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在0,1上是严格增函数.
人的身高
人体宽度
人体厚度
降雨速度
雨滴密度
行走距离
风速
行走速度
日均睡眠时间（小时）
8.5
9
9.5
10
学生数量
32
13
11
4
参考答案：
1．4
【分析】利用子集概念列举出即可得到答案.
【详解】集合,则集合的子集有：
所以集合的子集个数有个.
故答案为：4.
2．
【详解】的最小正周期是，
故答案为：
3．
【分析】首先将分式不等式转化为二次不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集即可.
【详解】分式不等式可以转化为，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
4．0
【分析】根据偶函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，
由于为偶函数，故，即，即，
故，
故答案为：0
5．
【分析】讨论去绝对值求解.
【详解】由，
当时，上式为，解得（舍），
当时，上式为，解得（舍），
当时，上式为.
所以实数的的取值范围为.
故答案为：.
6．/
【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案.
【详解】设向量与的夹角为，
若，则，
所以，
可得.
故答案为：.
7．
【分析】作出辅助线，求出正四棱锥的高，由锥体体积公式进行求解.
【详解】如图，正四棱锥，正方形的对角线相交于点，连接，
则⊥平面，
因为平面，所以⊥，
其中，
故，
所以该四棱锥的体积为.
故答案为：
8．6
【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.
【详解】同全区同学中答对的人数为人，答错或不答的人数为人，
所以全区同学该题得分的平均数为分，
则全区同学该题得分的方差为.
故答案为：6.
9．
【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值.
【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，，
则圆柱形工件的侧面积为，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，
故答案为：.
10．
【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可.
【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增，
所以有一解，解得：，
有一解，解得：，
所以，
故答案为：.
11．
【分析】根据椭圆上点到焦点距离最小值为，到焦点距离最大值为，列式运算得解.
【详解】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为，
变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为，
由题意可得，化简得，
即，解得（负值舍去）.
故答案为：.
12．
【分析】解法一：明确集合A，B的几何意义，数形结合，根据几何意义即可求得参数范围.
解法二：先证明不属于的复数，恰好是那些区间上的实数，再利用该结论得到取值范围.
【详解】解法一：由于，设，
则
，
设z对应点，则，
所以，其中，
当时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集，
即平面上除去线段的点的集合，其中，
集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为a，
如果，则该圆与线段无公共点，
结合图形可知的取值范围为；
解法二：
先证明：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数.
下设是复数.
①情况一：不是实数，也不是纯虚数.
设，，并令，.
则对，有，即.
假设，则，矛盾，所以，从而.
又因为，
所以.
此时，假设：由于，
故.
同理，根据可以得到.
对和相加和相减，
就能得到，.
若假设，则，从而或，
这和情况一的定义矛盾，所以.
若假设，则，从而，这和情况一的定义矛盾，所以.
这就得到，所以，所以，
即.
这就得到.
所以或，无论哪种情况都能得到是实数，故可设.
若，则，得是实数，这和情况一的定义矛盾.
若，则，得是纯虚数，这和情况一的定义矛盾.
故前面的假设不成立，所以结合可知，
一定存在使得，结合可知.
②情况二：是纯虚数.
此时设，则满足，
且
.
故.
③情况三：是实数，且.
此时满足，
且，故.
④情况四：是实数，且.
此时满足，
且，故.
⑤情况五：是实数，且.
假设，则存在复数使得，且，设.
则.
从而，，而由可知，
所以，故.
这就得到，矛盾.
所以假设不成立，从而.
综合上面五种情况，就得到了结论：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数.
现在回到原题，结合上面的结论，条件等价于中包含的每个实数都不属于.
一方面，若中包含一个实数，满足.
则，，从而.
另一方面，若，则实数满足，.
故中包含一个实数，满足.
这就说明，中包含一个实数满足的充要条件是.
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对复数知识和三角恒等变换的使用.
13．A
【分析】根据分式不等式化简可得或，即可根据集合间的关系求解.
【详解】由得，解得或，
由于或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
14．C
【分析】根据相互独立事件的定义以及性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,由于是独立事件，故，A正确，
对于B，由于是独立事件，则也是相互独立事件，故，B正确，
对于C，,故由于不一定为0，故C错误，
对于D, 由于是独立事件，则也是相互独立事件，,D正确，
故选：C
15．C
【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③.
【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为，
则，
又，，，
则，，
即，
即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确；
②若某人迎风行走，则，
则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小；
若某人逆风行走，则，
当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小，
当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小，
当时，淋雨量与无关，②错误；
③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ，
则，
所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确；
综上所述合理的解释有个，
故选：C.
16．A
【分析】根据与的关系，探索数列的结构特点，分别求出和，再根据及数列是无穷数列对各选项进行判断.
【详解】当时，.
当时，，所以，
两式相减得：，因为，所以.
所以数列的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，且.
所以.
同理，数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以.
所以.
若，则数列各项均不为0，数列是无穷数列，故A正确；
若，这与矛盾，故B错误；
若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故C错误；
若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故D错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意及数列是无穷数列这两个条件的应用.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直；
（2）法一：利用几何法可得二面角，法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求二面角.
【详解】（1）如图所示，连接，，，
由为正方体，
可知，平面，又平面，
，
，分别为，中点，
，，
，且，平面，
平面，
平面，
；
（2）设正方体棱长为，
法一：
如图所示，设，连接，
由（1）得平面，
，平面，
，，
二面角的平面角即为，
又，
在中，，，
所以，所以，
所以二面角的余弦值为，即二面角的大小为；
法二：
如图所示，以点为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，，
设平面的法向量n=x,y,z，则，则，
令，则，
易知平面的一个法向量为，
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为，
即二面角的大小为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可.
【详解】（1）由，得，
由余弦定理得，即，
所以，即，
所以的面积为.
（2）由，由正弦定理得，
可得，
则，
因为，所以，
则，又，
所以.
19．(1)1600
(2)
(3)
【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案．
根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得.
根据古典概型的概率计算，如果一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率为，即可解得.
【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生,
因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，
在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人，
所以高三抽取的人数为：人，
又因为高三年级一共512人，所以有：，解得.
所以学校高中三个年级一共有1600个学生.
（2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以
又因为，所以样本的第40百分位数为：
（3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为：
其中至少有1个数据来自高三学生的情况为：
所以至少有1个数据来自高三学生的概率为：
20．(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标；
（2）当直线AB，CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB，CD斜率存在时，设直线MN与线段AC，BD交点为P，Q，证明P，Q重合即P，Q为H时可证明结论；
（3）由（2）结合，可得，后由，可得与四边形面积组成部分的比例关系，即可得答案.
【详解】（1）因抛物线方程为，则焦点坐标为；
（2）证明：设.
若，则直线AB，CD斜率不存在，
由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线；
若，则直线斜率存在，
直线方程为：，结合，
则，
同理可得方程：，方程：，
BD方程：.设，
因，则.
则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为.
将代入直线AC方程，
则；
将代入直线BD方程，
则.
注意到
，又，则P，Q两点重合，
即P，Q为线段与交点H，且点三点共线；
（3）由（2），直线MN与x轴平行，
则.
又，同理可得，
又由（2），
则，
由，则，
即.
则
.
如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形，
结合，则，.
因，则，结合，
则，又M为AB中点，则N为DE中点.
则，
则四边形的面积.
【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积.
21．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意得到，，结合，求出函数的最值，得到值域；
（2），，故对任意的恒成立，构造函数，，结合特殊点函数值，多次求导，由端点值效应得到时，满足要求，并得到时，不满足要求，得到答案；
（3）得到，求导得到，
由的单调性，得到在上单调递增，又，故，两边同时除以得，证明出结论.
【详解】（1）
，，
因为，所以，，所以当，
即时，取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为2，
故函数值域为；
（2），故，，
，，
对任意的恒成立，
令，，
则，其中，，
显然，令，，
则，，
令，，
，
令，则在上单调递减，
又在上单调递增，
，故在上恒成立，
故在恒成立，
故在上单调递增，
其中，若，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，
故在上单调递增，
，满足要求，
若，则，故存在适当的，使得时，，
故在上单调递减，又，
故在恒成立，不合要求，
综上，实数的取值范围是；
（3），，
由于，故，
，
因为在上是严格增函数，，
所以，，
故在上单调递增，
又，故在恒成立，
两边同时除以得，
由于为上的任意数，故函数在上是严格增函数.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
题号
13
14
15
16






答案
A
C
C
A