上海闵行2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测数学试卷及参考答案

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考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．
2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1. 设集合，，则________.
2. 不等式的解集为________.
3. 直线的倾斜角为________.
4. 已知正实数满足，则的最小值为________.
5. 已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为________.
6. 的二项展开式中，项的系数为________.
7. 已知函数为奇函数，则________.
8. 从名数学老师中选出人安排在天的假期中值班，每天有且只有一人值班.若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为________.
9.已知（为虚数单位，为正整数），当取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为________.
10. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点. 若，则________.
11.如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点分别为的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为，半径均为米），其余区域为草坪.现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为_________平方米.（结果保留整数）
12. 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 在空间中，“直线为异面直线”是“直线不相交”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14. 下列函数中，在区间上是严格减函数的为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
15. 设，若为同一象限的角，且不存在，使得，则所在的象限为（ ）.
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
16. 已知数列满足，其中为常数. 对于下述两个命题：
①对于任意的，任意的，都有是严格增数列；
②对于任意的，存在，使得是严格减数列.
以下说法正确的为（ ）.
（A）①真命题；②假命题 （B）①假命题；②真命题
（C）①真命题；②真命题 （D）①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在直三棱柱中，,,,连接,分别为和的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知
（1）若，求函数的值域；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市万名高三学生中随机抽取人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：
注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足.
（1）估计该市万名高三学生中日均睡眠时长大于等于小时的人数约为多少？
（2）估计该市高三学生日均睡眠时长；
（3）若从这名学生中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人做进一步访谈调查，求这人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知圆，双曲线，直线:，其中，.
（1）当时，求双曲线的离心率；
（2）若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；
（3）设与轴交于点,与圆交于点，与双曲线的左右两支分别交于点,四个点从左至右依次为.当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数的定义域为,集合.若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值”.
（1）设，求的值；
（2）设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合；
（3）已知定义域为的函数的图像是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是.睡眠时长（小时）
人数