新高考数学一轮复习精品讲练测第9章第09讲 统计与统计案例（2份，原卷版+解析版）

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知识讲解
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．频率分布直方图
(1)纵轴表示eq \f(频率,组距)，即小长方形的高＝eq \f(频率,组距)；
(2)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1.
频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
4．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
5．条形图、折线图及扇形图
(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．
(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．
(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．
6．百分位数、众数、平均数的定义
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数．
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，
它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；
第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
(3)众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(4)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
7．样本的数字特征之方差
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的
(1)标准差s＝ eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
(2)方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
8. 平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \x\t(x)＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
回归方程
(1)最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程
方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))是待定参数．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up6(^))＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，,\(a,\s\up6(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(^))\x\t(x).))
回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))称为样本点的中心．
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
考点一、简单随机抽样
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
2．（2023·上海·高三专题练习）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为（ ）
A．4000B．3000C．1500D．750
4．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（ ）
A．719B．556C．512D．050
1．（2023·全国·高三专题练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约 石（结果四舍五入保留整数）；
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 .
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
3．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01、02、、40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为 ．
0627 4313 2636 1547 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
4．（2023·河北唐山·模拟预测）为了解一个鱼塘中养殖鱼的生长情况，从这个鱼塘多个不同位置捕捞出100条鱼，分别做上记号，再放回鱼塘，几天后，再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，发现其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计鱼塘中的鱼大概有 条．
考点二、分层随机抽样
1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）2022年第22届卡塔尔世界杯决赛中，来自南美洲的阿根廷队战胜来自欧洲的法国队，夺得冠军，这22届世界杯冠军中，10个在南美洲，12个在欧洲．某专栏记者拟撰写一篇文章，按分层抽样的方法抽取11个冠军队伍对两大洲足球风格进行分析比较，则需从南美洲抽取的球队个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为（ ）
A．300B．320C．340D．360
3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）现有300名老年人，500名中年人，400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取人，若抽取的老年人与青年人共21名，则的值为（ ）
A．15B．30C．32D．36
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）某单位职工老年人有60人，中年人有100人，青年人有40人，为了了解职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·河北·统考模拟预测）2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人．
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为 人．
考点三、条形统计图
1．（2023·贵州遵义·统考三模）下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低
B．国家财政性教育经费逐年增加
C．国家财政性教育经费占比逐年增加
D．2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍
2．（2023·四川·校联考模拟预测）国家统计局公报显示绘制出的2017-2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数（单位：万）统计图如下图所示，则下列关于2017-2021年说法正确的是（ ）
A．每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长
B．中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年
C．本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年
D．本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年
3．（2023·全国·模拟预测）2012—2021年我国医疗服务市场规模情况如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．2021年我国医疗服务市场规模是2012年我国医疗服务市场规模的3.6倍
B．我国医疗服务市场规模增长率始终呈现递增趋势
C．自2012年起我国医疗服务市场规模始终呈现递增趋势
D．自2018年起我国医疗服务市场规模增长率逐年下降
1．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（岁以上含岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（ ）

A．男性比女性更关注地铁建设
B．关注地铁建设的女性多数是岁以上
C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D．岁以上的人对地铁建设关注度更高
2．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）如图为国家统计局于2023年1月20日发布的2016-2022年全国R&D经费总量与R&D经费与GDP之比的数据图表，则（ ）

A．R&D经费总量的平均数超过23000亿元
B．R&D经费总量的中位数为19678亿元
C．R&D经费与GDP之比的极差为0.45%
D．R&D经费与GDP之比增幅最大的是2021年到2022年
3．（2023·吉林白山·统考模拟预测）2022年11月，国内猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油､鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
考点四、折线统计图
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在统计学中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是我国2022年1月至2022年12月居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法正确的是（ ）

A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为0.9%
B．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.4%
C．在这12个月中，我国居民消费价格最低是5月
D．在这12个月中，我国居民消费价格最高是10月
2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
A．2023年1—2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B．2022年3—12月份，餐饮收入总额同比增速都降低
C．2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加
D．2022年12月，餐饮收入总额环比增速为-14.1%
3．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT、B超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．新增阳性人数每天都不超过100人
B．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数
C．新增阳性人数最多的一天是12日
D．每天新增确诊病例人数的中位数是43
1．（2023·山东·校联考模拟预测）（多选）甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为，则
B．若甲、乙两组成绩的方差分别为，则
C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数
D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差
2．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）2022年的夏季，全国多地迎来罕见极端高温天气．某课外小组通过当地气象部门统计了当地七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图表，则根据图表，下列判断正确的是（ ）

A．七月份前20天最低气温的中位数低于25℃
B．七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差
C．七月份前20天最高气温的平均数高于40℃
D．七月份前10天（1—10日）最高气温的方差大于最低气温的方差
6．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）（多选）某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（ ）

A．该产品的年销量逐年增加
B．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月
C．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加
D．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳
考点五、扇形统计图
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（ ）

A．30棵B．50棵C．72棵D．80棵
2．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）（多选）某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法正确的是（ ）
A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍
C．产品升级后，产品C的营收减少
D．产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变
3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）（多选）某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中一定正确的是（ ）

A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过
B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
1．（2023·吉林·统考模拟预测）（多选）人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长们直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我国居民人均消费支出分别为6393元和6738元，图1､图2分别为2022年一季度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则（ ）
A．2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的
B．2023年一季度居民食品烟酒､衣着､居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降低
C．2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D．2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约
2．（2023·湖南·校联考模拟预测）（多选）某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法错误的是（ ）

A．30岁以上人群拥有汽车的人数为720
B．40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多
C．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少
D．40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18～30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多
3．（2023·广东梅州·统考三模）（多选）某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．调整后传媒的利润增量小于杂志
B．调整后房地产的利润有所下降
C．调整后试卷的利润增加不到一倍
D．调整后图书的利润增长了一倍以上
考点六、频率分布表
1．（2022春·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）某厂家从一批红外测温仪中随机抽取了100个，测量一个的物体，产生的误差统计如下表：
规定误差在内的为合格品，若合格率为，则（ ）
A．8B．10C．12D．16
2．（2023·全国·高三专题练习）受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息
已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为（ ）
A．0.31B．0.65C．0.86D．1
1．（2023·全国·高三专题练习）某单位招聘员工，有名应聘者参加笔试，随机抽查了其中名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
若按笔试成绩择优录取名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为A．分B．分C．分D．分
2．（2023·全国·高三校联考专题练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为
考点七、频率分布直方图
1．（2023·天津·校联考二模）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图，则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为1000人
B．选取的学生中参加机器人社团的学生数为80人
C．合唱社团的人数占样本总量的40%
D．选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍
2．（2023·天津南开·统考二模）某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ）
A．30个B．40个C．60个D．70个
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）某校随机抽取了名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：）全部介于至之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论错误的是（ ）
A．频率分布直方图中的值为
B．这名学生中体重低于的人数为
C．据此可以估计该校学生体重的第百分位数约为
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为
4．（2023·天津和平·统考二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ）
①的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．
A．②③B．①③④C．①②④D．①②③
5．（2023·天津河西·统考一模）某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中的值为0.020；
B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；
C．估计样本数据的75%分位数为88；
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．
1．（2023·天津·校联考模拟预测）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5D．该校学生中低于的学生大约为1000人
2．（2023·天津滨海新·统考三模）为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）

A．频率分布直方图中的
B．估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400
C．估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55
D．估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为
3．（2023·浙江·校联考二模）（多选）某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（ ）
A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B．样本中消费支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
4．（2023·云南·统考二模）某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人．
5．（2023·全国·高三专题练习）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按元/度收费.

(1)求某户居民月用电费（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求的值.
考点八、总体百分位数的估计
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）有人进行定点投篮游戏，每人投篮次．这人投中的次数形成一组数据，中位数，唯一众数，极差，则该组数据的第百分位数是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考开学考试）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（ ）
A．50B．60C．70D．80
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（ ）
A．这组数据的极差为48
B．为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70
C．为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70
D．这组数据的上四分位数是84.5
1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知某地最近10天每天的最高气温（单位：）分别为，则这10天平均气温的80%分位数为 .
2．（2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是 .
3．（2023·福建宁德·校考一模）某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是 .
考点九、总体集中趋势的估计
1．（2023·浙江衢州·校联考一模）下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速图，由图可以知道下列结论正确的是（ ）
A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元
B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大
C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元
D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％
2．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）（多选）某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ）

A．的值为0.015，的值为40
B．平均分为72，众数为75
C．中位数为75
D．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人
3．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
A．12B．20C．25D．27
1．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）2022年11月，国内猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油､鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如下图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）军训中某人对目标靶进行8次射击，已知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是 环.（写出有一个符合题意的值即可）
3．（2023·河北·统考模拟预测）某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：,,后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求在这40名读书者中年龄分布在的人数；
(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
考点十、总体离散程度的估计
1．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差不相同
C．两组样本数据的极差相同
D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为
2．（2023·湖北·统考模拟预测）云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量､价格走势､市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播+电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网+旅游”聚焦特色农产品､绿色食品､生态景区资源.下面是2022年7月到12月份该镇甲､乙两村销售收入统计数据（单位：百万）：
甲：5，6，6，7，8，16；
乙：4，6，8，9，10，17.
根据上述数据，则（ ）
A．甲村销售收入的第50百分位数为7百万
B．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的的平均数
C．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数
D．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差
3．（2023·浙江·高三专题练习）（多选）已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．极差变小D．方差变小
4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是（ ）
A．若男、女样本量分别为，，则总样本的平均值为171.4
B．若男、女样本量分别为，，则总样本的方差为36
C．若男、女的样本量都是，则总样本的平均值为170
D．若男、女的样本量都是，则总样本的方差为61
5．（2023·山东聊城·统考一模）某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试．参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2．在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差为 ．
6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）某企业统计中级技术人员和高级技术人员的年龄，中级技术人员的人数为40，其年龄的平均数为35岁，方差为18，高级技术人员的人数为10，其年龄的平均数为45岁，方差为73，则该企业中级技术人员和高级技术人员的年龄的平均数为 ，方差为 .
7．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束．考生的考号按0001，0002，的顺序从小到大依次排列．某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：
0400 0904 0747 0090 0636 0714 0017 0432 0403 0276
0986 0804 0697 0419 0735 0278 0358 0434 0946 0123
0647 0349 0105 0186 0079 0434 0960 0543 0495 0974
0219 0380 0397 0283 0504 0140 0518 0966 0559 0910
0558 0442 0694 0065 0757 0702 0498 0156 0225 0327
(1)据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模拟测试中，30名男生平均分数是70分，样本方差是10，20名女生平均分数是80分，样本方差是15，请求出此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具体分数不知晓）
(2)请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N，并说明理由．
1．（2023·河北张家口·统考三模）（多选）一组互不相等的样本数据，其平均数为，方差为，极差为，中位数为，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北唐山·模拟预测）（多选）有两组样本数据，分别为和，且平均数，标准差分别为6和4，将两组数据合并为，重新计算平均数和标准差，则（ ）
A．平均数为85B．平均数为86C．标准差为10D．标准差为
3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知一组数据的平均数为，标准差为.若的平均数与方差相等，则的最大值为（ ）
A．B．C． D．
4．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）（多选）统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（ ）
A．
B．
C．新数据：的标准差为
D．新数据：的标准差为
5．（2023·江苏·江苏省邗江中学校联考模拟预测）（多选）已知一组数据构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据，则（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．方差变小D．方差变大
6．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）由正整数组成的一组数据共有4个，其中位数，平均数，方差均等于4，则这组数据的极差为 ．
7．（2023·内蒙古包头·统考二模）某学校为了解高三学生的学习成绩变化情况，随机调查了100名学生，得到这些学生一轮复习结束相对于高二期末学习成绩增长率的频数分布表.
（1）估计这个学校的高三学生中，学习成绩增长率不低于的学生比例；
（2）求这个学校的高三学生学习成绩增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到）
附：.
考点十一、成对数据的统计相关性
1．（2023·上海·模拟预测）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ）
A．身高越高，体重越重B．身高越高，体重越轻C．身高与体重成正相关D．身高与体重成负相关
2．（2023·河南·统考模拟预测）变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ）.
A．B．
C．D．
3．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A．38.1B．22.6C．D．91.1
4．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为，则是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:
并计算得
(1)求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)
(2)规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
1．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）在一组样本数据互不相等 的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023秋·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小B．决定系数变小
C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
3．（2023·河南·校联考模拟预测）人们常将男子短跑的高水平运动员称为“百米飞人”，表中给出了1968年之前部分男子短跑世界纪录产生的年份和世界纪录的数据：
如果变量与之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．变量与之间是正相关关系B．变量与之间的线性相关系数
C．D．下一次世界纪录一定是
4．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，则（ ）
A．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强
B．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强
C．若，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好
D．若，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好
5．（2023·全国·高三专题练习）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
考点十二、一元线性回归模型及其应用
1．（2023·海南·统考模拟预测）乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（ ）
A．16亿元B．19亿元C．21亿元D．23亿元
2．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考二模）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关
B．线性回归方程中
C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
D．时，残差为
3．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）（多选）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5℃
4．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知某种汽车新购入价格为万元，但随着使用年限增加汽车会贬值．通过调查发现使用年限（单位：年）与出售价（单位：万元）之间的关系有如下一组数据：
(1)求关于的回归方程；
(2)已知，当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
（附：用最小二乘法求经验回归方程的系数公式；）
5．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）下图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020（2021年后代码依次类推）．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2023年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：．
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
1．（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．B．C．70D．35
2．（2023·内蒙古呼伦贝尔·海拉尔第一中学校考模拟预测）已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示：根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为（ ）
A．40.5万元B．41.5万元C．42.5万元D．45万元
3．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该回归直线必过
B．变量，之间呈正相关关系
C．当时，变量的值一定等于
D．相应于的残差估计值为
4．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：
(1)根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）
(2)某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）
附：，，在线性回归直线方程中，．
5．（2023·福建南平·统考模拟预测）五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：
（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．
(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；
(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：①参考数据：，，，．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
11．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得.
(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；
(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.
附：.
12．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
表中

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
考点十三、列联表与独立性检验
1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
2．（2021·全国·高考真题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
3．（·全国·统考高考真题）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：，
4．（·海南·统考高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
5．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
6．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
7．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
1．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）2015年7月31日，国际奥委会宣布北京获得2022年冬奥会举办权，消息传来，举国一片欢腾．某投资公司闻到了商机，决定开发冰雪运动项目，经过一年多的筹备，2017年该公司冰雪运动项目正式运营．下表是2017—2021年该公司第一季度冰雪运动项目消费人数的统计表：
(1)若年份代号与第一季度冰雪运动项目消费人数（百人）具有线性相关关系，求出它们间的回归方程，并预估2022年第一季度冰雪运动项目消费的人数是多少？
(2)某记者为调查北京冬奥会对冰雪运动项目运动的影响，随机调查了200人，其中80人是在冬奥会开幕前调查的，约有的人已参加过冰雪运动项目，冬奥会开幕后调查的人数中已参加过冰雪运动项目与未参加的人数比为，问有多大的把握认为参加冰雪运动项目与北京冬奥会的开幕有关？
参考公式：．
参考数据：，，
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望
附：，其中.
3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下信息：
①抽取的学生中，男生占的比例为60%；
②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算和的值.
（ii）根据第（i）问中的结果，分析与的大小关系.
参考公式及数据，.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）某工厂有甲、乙两条流水线加工同种产品，加工出来的产品全部为合格品. 产品可分为一级品、二级品两个级别. 产品贴上等级标识后，每件产品装一箱. 根据以往的统计数据，甲流水线生产的产品，每箱中含有件、件、件二级品的概率为，乙流水线生产的产品，每箱中含有件、件、件二级品的概率为.若箱中产品全部为一级品，则可称该箱产品为“星级产品”.
(1)从甲、乙两条生产线生产的产品中各任取箱，以产品是否为“星级产品”为标准，根据以往的统计数据，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品为“星级产品”与生产线是否有关？
附：
(2)任取甲流水线生产的箱产品，设二级产品的件数为，求的分布列及期望;
(3)从乙流水线生产的产品中任选一箱.若箱中产品分成三层放置，层与层隔开，每层件. 首先打开第一层，求该层件产品都为一级品的概率.
5．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

(1)求图中的值；
(2)根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为能否晋级成功与性别有关；
(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
6．（2023·浙江·模拟预测）全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
附：，
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房健身的概率为，去健身房健身的概率为，从第二次起，若前一次去健身房，则此次不去的概率为；若前一次去健身房，则此次仍不去的概率为.记第次去健身房健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？
7．（2023·江苏泰州·统考一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWrldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：.
8．（2023·河北·校联考三模）邮件管理是一类非常常见的二元分类问题．如果将“非垃圾邮件”归类为正类邮件，“垃圾邮件”归类为负类邮件，试回答以下问题：
(1)若在邮件中正类邮件与负类邮件的占比分别为和，由于归类模型的误差，归类判断可能出错的概率均为0.05．若某个邮件归类为正类邮件，求它原本是正类邮件的概率；
(2)在机器学习中，利用算法进行归类，常用分别表示将正类邮件归类为正类邮件的个数，将负类邮件归类为负类邮件的个数，将负类邮件归类为正类邮件的个数，将正类邮件归类为负类邮件的个数．统计发现，收到邮件的种类可能与是否在工作日有关．为了验证此现象，在一段时间内，从数据库中随机抽取若干邮件，包含有正类邮件和负类邮件，按照机器学习的方法进行分类后，得到以下数据：．并给出了下表，试回答以下问题：
（ⅰ）求（充分大）封邮件归类正确的概率；
（ⅱ）补充上表，依据小概率值的独立性检验，分析收到邮件的种类与是否在工作日有关？
附：．
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·湖南永州·统考一模）下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B．设随机变量，若，则
C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D．某人解答10个问题，答对题数为，则
2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法错误的是（ ）

A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）下列结论中，正确的是（ ）
A．数据0，1，2，3的极差与中位数之积为3
B．数据20，20，21，22，22，23，24的第80百分位数为23
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
4．（2023·河北沧州·校考三模）医学上判断体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去所得差值即为该人的标准体重.比如身高的人，其标准体重为公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了，现分析某班学生的身高和体重的相关性时，随机抽测了8人的身高和体重，数据如下表所示：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定有一个样本点为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的7组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5℃
6．（2023·福建龙岩·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
二、解答题
7．（2023·四川南充·模拟预测）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
(1)是否有的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有名，求的分布列与数学期望．
参考公式：
临界值表：
8．（2023·河南·校联考模拟预测）某医院对患者就诊后的满意度进行问卷调查，患者在问卷上对就诊满意度进行打分，分值为0~5分，其中满意度打分不低于4分表示满意.现随机抽取了100位患者的调查问卷，其满意度打分情况统计如下：
(1)估计患者对该医院满意度打分的平均值；
(2)若该医院一周内共有6000名患者就诊，估计其中表示满意的患者人数；
(3)医院对抽取的调查问卷中1位满意度打0分的患者和3位满意度打1分的患者进行电话回访，并将这四人随机分成A，B两组，每组各两人，求A组的两人满意度打分均为1分的概率.
9．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用跑腿服务的主要原因，随着消费者即时需求和节约时间需求提升，跑腿服务将迎来发展期．某机构随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用跑腿服务的次数，得到每月使用跑腿服务低于5次的有550人，并将每月使用跑腿服务不低于5次的消费者按照年龄，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者中年龄不低于35岁的概率；
(2)估计每月使用跑腿服务不低于5次的消费者年龄的平均数与中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)把年龄在的人称为青年，年龄在的人称为中年，把每月使用跑腿服务低于5次的消费者称为“使用跑腿服务频率低”，否则称为“使用跑腿服务频率高”，若800名消费者中有400名青年，补全列联表，并判断是否有99%的把握认为消费者使用跑腿服务频率的高低与年龄有关?
参考公式：，其中
附：
10．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立关于的回归方程.
参考数据和参考公式：相关系数，，，
【能力提升】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概率为.若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为；若上午选择在乙直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.
附：，其中.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：；
②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值．
附：．
参考数据：
3．（2023·安徽滁州·校考二模）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.
(1)求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：
4．（2023·全国·模拟预测）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
(2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
5．（2023·福建·校联考模拟预测）为了解学生中午的用穊方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
(1)补全频率分布表，并判断是否有99.9%的把握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：
(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：
（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；
②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
附：，其中.
6．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：，.
参考数据：，，
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型 （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，，
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
9．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若服从正态分布，则，，.参考数据：.
10．（2023·全国·校联考模拟预测）在线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛．回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．一般来说，线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程，可以计算出对于的直线．残差是真实值和预测值间的差值，对于一组数据，其残差可以表示为其中为真实值，为估计值对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差．其公式为：．这个公式是残差平方和，对于回归直线的确定，普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平方和的值达到最小．在数学中，处理多个参数的函数的极值时，我们可以采用偏导法，即单独对某个参数求导，将其他参数视为常数．根据以上信息，请推导公式：，，（其中，）
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．（2023·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
4．（2023·天津·统考高考真题）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）

A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
5．（全国·统考高考真题）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A．B．
C．D．
6．（天津·统考高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10B．18C．20D．36
7．（2021·全国·高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
9．（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8B．12C．16D．18
10．（全国·统考高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．（2021·全国·统考高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
12．（海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
13．（2021·全国·统考高考真题）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）
A．样本的标准差B．样本的中位数
C．样本的极差D．样本的平均数
14．（2023·全国·统考高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
三、填空题
15．（江苏·统考高考真题）已知一组数据的平均数为4，则的值是 .
16．（2020·山东·统考高考真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是 .
四、解答题
17．（2021·全国·统考高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（2023·全国·统考高考真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
19．（福建·高考真题）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
25周岁以上组 25周岁以下组
20．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
21．（2023·全国·统考高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
22．（全国·统考高考真题）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=，≈1.414.
23．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
24．（全国·统考高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
25．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
26．（全国·高考真题）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
误差范围（）
频数
10
25
35
20
10
环数
7
8
9
10
频数
0
3
a
b
22
分数段
人数
1
3
6
6
2
1
1
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
的分组
学生数
16
24
30
12
10
8
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
第次
1
2
3
4
5
年份
1930
1936
1956
1960
1968
纪录
10.30
10.20
10.10
10.00
9.95
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人运输机指标数y
3
4
4
4
5
第年
1
2
3
4
5
收入（单位：亿元
3
8
10
14
15
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
x（单位：次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（单位：℃）
25
27.5
29
32.5
36
营销费用x/万元
2
3
4
5
销售额y/万元
15
20
30
35
2
3
5
9
11
12
10
7
3
x
10
20
30
40
60
80
y
套票类别
A
B
C
D
E
F
套票价格（元）
40
50
60
65
72
88
购买人数（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
A充电桩投资金额x/万元
3
4
6
7
9
10
所获利润y/百万元
1.5
2
3
4.5
6
7
360
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

32
18
4
6
8
12
3
7
10

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
对照组
试验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号
1
2
3
4
5
消费人数（单位：百人）
62
82
106
128
152
0.10
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢雪上运动
不喜欢雪上运动
合计
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
流水线
产品级别
合计
星级产品
非星级产品
甲流水线
乙流水线
合计
晋级情况性别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
女
50
总计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
每周健身次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及6次以上
男
4
6
5
3
4
28
女
7
5
8
7
6
17
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
时间
邮件
工作日
休息日
合计
正类
70
负类
18
合计
0.10
0.05
0.001
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
165
168
170
172
173
174
175
177
体重
55
89
61
65
67
70
75
75
x（单位：次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（单位：℃）
25
27.5
29
32.5
36
有兴趣
无兴趣
合计
男性运动员
80
40
120
女性运动员
40
40
80
合计
120
80
200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
满意度打分
0
1
2
3
4
5
人数
1
3
6
10
56
24
青年
中年
合计
使用跑腿服务频率高
使用跑腿服务频率低
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
身体综合指标评分
1
2
3
4
5
用时（/小时）
9.5
8.6
7.8
7
6.1
网民类型
在直播间购买夏橙的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
男网民
50
5
55
女网民
30
15
45
合计
80
20
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
球队输球
球队赢球
总计
甲参加
2
30
32
甲未参加
8
10
18
总计
10
40
50
a
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知识竞赛成绩
290
160
220
200
65
70
90
100
60
270
学生编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知识竞赛成绩
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
点外卖
0.20
0.00
0.50
合计
0.20
0.15
0.00
1.00
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
该校最低提档分数线
510
511
520
512
526
数学专业录取平均分
522
527
540
536
554
提档线与数学专业录取平均分之差
12
16
20
24
28
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828