江苏省百校2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省百校2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,集合,则集合等于( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足(其中i是虚数单位，)，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知中,O为BC的中点,且,,,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．在正四棱台中,,点O是底面的中心,若该四棱台的侧面积为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知，，，则( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆C的左、右焦点分别为,,过上顶点A作直线交椭圆于另一点B.若,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知函数在区间上有最小值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的图像关于直线对称，则( )
A.
B.若在区间上有且仅有个零点
C.是奇函数
D.若在区间上单调递减，
10．已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是( )
A.若点P满足，且，则的最小值为
B.在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为
C.若正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为
D.点Q在所在平面内且，则Q点轨迹的长度为
11．已知定义在R上的函数和，是的导函数且定义域为R若为偶函数，，，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
12．已知直线分别与曲线，都相切，则的值为__________.
13．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
14．已知A,B为圆上的两个动点，，若点P为直线上一动点，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知在中，，
(1)判断的形状，并说明理由;
(2)若点D在边上，且.若，求的面积
16．设函数的表达式为（且）
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若，求的值
17．已知圆过点的直线l交圆C于A，B两点
(1)若，求此时直线l的方程。
(2)过A,B分别作圆C的切线，，设直线和的交点为M，求证：M在定直线上。
18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长
②在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由
19．已知函数
(1)若1是函数的极值点，求a的值；
(2)若，试问是否存在零点，若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由？
(3)若有两个零点，求满足题意的的最小整数值（）
参考答案
1．答案：D
解析：,
,
.
故选:D.
2．答案：B
解析：由得，
，
解得或.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．答案：C
解析：,,
,
投影向量为,
故答案选C.
4．答案：A
解析：由已知条件得该四棱台的斜高为,
侧棱长为
根据得,
又,所以四边形是平行四边形,
于是,,
所以（或其补角）是异面直线与所成的角,
根据余弦定理可知,
故选：A.
5．答案：D
解析：
6．答案：C
解析：如图：
因为的周长为,,,
所以,.
又,
所以.
所以椭圆C的离心率为.
故选：C.
7．答案：A
解析：由得,
由于，均为单调递增函数,
故在单调递增,
因为在有最小值,
故
故选:A
8．答案：C
解析：由可
得，即，
当时，，不
等式在上显然成立；
当时，令，
则在上恒成立，
由，在上，
所以在上单调递增，
又时，，，
所以只需在上恒成立，
即恒成立
令，则，
即在上单调递增，
其中，故，所以此时有.
综上，.
9．答案：ACD
解析：函数的对称轴方程为,
变形即,
由题函数图象关于直线对称,
所以令,解得,
当时,,符合题意,所以选项A正确;
当,所以,
令,即,
所以
当时,,
当时,,
当时,,
所以在区间上只有一个零点,选项B错误;
又因为
所以为奇函数,选项C正确;
当时,,
因为余弦函数,在单调递减,
所以在区间上单调递减,选项D正确;
综上所述,答案为ACD.
10．答案：ACD
解析：如图：
对于A，因为点P满足且，
可知点P是平面上的一点.
又因为正四面体是棱长为3，
则三角形外接圆半径满足，
故点O到平面的距离为，
故的最小值为点O到平面的距离，即为，A正确；
对于B，将正四面体放入到正方体中，则正方体的棱长为，
因为正四面体的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：
，
而正四面体四个面的面积都是
设正四面体的内切球半径为r，，解得，
因为正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，
所以最大正四面体外接球直径为，
因此最大正四面体外接球也是棱长为的正方体的外接球，
所以正四面体的体积最大值为，故B不正确.
对于C，在正方体内，过O作平面，分别交、于点，
过C作平面，分别交、于点H、，且平面平面，
由正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，
且每相邻平行平面间的距离均相等，
其中平面和平面为中间的两个平面，
易知为的中点，为的中点，
因为正方体是棱长为，
所以，，，
所以点A到的距离为，
所以每相邻平行平面间的距离为，故C正确；
对于D选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
设点，，，，，
由可得，
化简可得，
可知点Q的轨迹是平面与以点为球心，2为半径的球的截面圆上，
，，
设平面法向量为，
则，，
取，，，则，
所以点M点到平面的距离为，
截面圆的半径为所以截面圆周长为，
故选:ACD
11．答案：AC
解析：因为为偶函数，则，
两边求导得，
所以为奇函数，
因为，，
所以，
故，所以，
即的周期且，
则，故B错误；
在，中，
令，可得，所以，故A正确；
由，令，
可得，则，
则，即，
所以，故D错误；
在中，令得，，
在中，令得，，
两式相加得，即，故C正确
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：令,
则在上单调递减
且,所以
即
解得.
故答案为：
14．答案：6
解析：如图：取中点D，因为，圆O的半径为2，
所以，点D的轨迹是以原点为圆心，
以1为半径的圆，.
，
由点到直线距离公式，得：，
所以，
所以.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为
当时，
则，适合题意
当时
，
所以，
所以，
所以
所以
因为，所以
又，
所以,
化简可得,故，
又因为，所以，
所以（舍去）
所以三角形为直角三角形，
(2)由于，，且为直角三角形，
设，则，，
在三角形中，由余弦定理可得,
即，解得，
故
16．答案：(1)为R上的奇函数；理由见解析
(2)21
解析：(1)的定义域为R，，
，
为R上的奇函数；
(2)由(1)知，为R上的奇函数，
即，
令x取，则，
，
，
令，则，即，
即.
17．答案：(1)或
(2)证明见解析
解析：(1)当直线AB的斜率不存在时，
解得，，不合题意
当直线AB的斜率存在时，设，
由得得则
得
得代入上面方程，解得
直线l的方程或
(2)设，
则以CM为直径的圆的方程为
圆C为
两式相减得：
因为直线过点，则
所以
所以M在直线上
18．答案：(1)证明见解析
(2)①或
②证明见解析
解析：(1)在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
(2)如图以A为原点，以所在直线为x轴，
以所在直线为y轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，
，，
则，，
因，则，，
所以，，
①设平面的法向量为，
由，，
得：，
可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，
化简得：，
解得或，
即或，
②如图，假设在线段上存在点G，
使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，
所以，，
由得，
即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上
19．答案：(1)1
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)，
因为1是函数的极值点
所以，解得：
此时，，
由得，在上单调增
所以，时，；时，
所以，在上单调递减，在上单调递增
所以，在时取得极值
所以，
(2)①时，由第(1)问可知，，
此时，是不存在零点
②时，
所以，在上单调递增
又，
且在上的图像是不间断的
所以，存在唯一的，使得，
时，；时，
所以，在上单调递减，在上单调递增
所以，
由得：
所以，
设
则；
令，得：
所以
所以在上单调递减
所以
所以时，
所以，
即
所以
所以，无零点
综上，不存在零点
(3)由(2)可知，时，无零点，舍去；
时，在上单调递增且图像是不间断的
又，
所以，存在唯一的，使得，
时，；时，
所以，在上单调递减，在上单调递增
所以，
由得：
所以，
因为，有2个零点
所以
令，，
则
当时，恒成立
所以在上单调递减，且图像是不间断的
，
所以
设，
则
所以在上单调递增，
所以
当时，
又因为在上单调递减，
在上单调递增且图像连续不间断
所以在与上分别存在一个零点，
即恰有两个零点
所以，a的最小值为4
t
0
极大值