江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省百校大联考2024届高三上学期第二次考试数学试卷(含答案)试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足,则复数z的共轭复数的模长为( )
A.B.C.2D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知平面向量,,则“”是“向量与的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．若函数的部分图象如图所示,,,则的解析式是( )
A.B.
C. D.
5．将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则( )
A.B.C.D.
6．若直线是曲线的一条切线,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,且抛物线C过点,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,,分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.线段长度的最小值为2B.的形状为锐角三角形
C.A,O,三点共线D.M的坐标不可能为
8．设数列的前n项和为,且,记为数列中能使成立的最小项,则数列的前2023项和为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知定义在R上的奇函数满足,则以下说法正确的是( )
A.B.的一个周期为2
C.D.
10．双曲线，左､右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左､右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是( )
A.存在直线l，使得
B. l在运动的过程中，始终有
C.若直线l的方程为，存在k，使得取到最大值
D.若直线l的方程为，，则双曲线C的离心率为
11．在平行六面体中,,,,动点P在直线上运动,以下四个命题正确的是( )
A.
B.四棱锥的体积是定值
C.若M为BC的中点,则
D.的最小值为-
12．已知函数,则下列结论正确的有( )
A.当时,方程存在实数根
B.当时,函数在R上单调递减
C.当时,函数有最小值,且最小值在处取得
D.当时,不等式恒成立
三、填空题
13．若关于x的不等式在区间上有解,则实数a的取值范围是____________.
14．已知是递增的等比数列,且满足,,则_____________.
15．如图,若圆台的上、下底面半径分别为,且,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为_________________.
16．设,已知函数,若恒成立,则的最大值为_____________.
四、解答题
17．锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）证明：.
（2）求的取值范围.
18．受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲,乙,丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为,现从这三个市中任意选取一个人.
（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
（2）若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.
19．设数列的前n项和为,已知,.
（1）证明数列为等比数列;
（2）设数列的前n项积为,若对任意恒成立,求整数的最大值.
20．设椭圆的左、右顶点分别为,,右焦点为F,已知.
（1）求椭圆的离心率.
（2）已知椭圆右焦点F的坐标为,P是椭圆在第一象限的任意一点,且直线交y轴于点Q,若的面积与的面积相等,求直线的斜率.
21．如图所示,在四棱锥中,底面是正方形,平面平面,平面平面.
（1）证明：平面;
（2）若,M是的中点,N在线段上,求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
22．已知函数.
（1）若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
（2）若函数有两个极值点,,证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：法一：因为,所以,
所以,所以.
法二：因为,所以两边取模,得,
所以,所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：,即,所以,即,
由,得,所以,
所以.
故选：C.
3．答案：C
解析：因为,,
向量与夹角为锐角,即需且与不共线,
得,解得：,
所以“”是“向量与的夹角为锐角”的充要条件.故C项正确.
故选：C.
4．答案：C
解析：由图象知,故,
将代入解析式,得,所以,,
解得,,
又,所以,所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：抛掷两次总的基本事件有36个.当时,没有满足条件的基本事件;
当时,满足;当时,,2,6满足;当时,,2,3,5,6满足;
当时,,2,6满足;当时,满足.
总共有13种满足题意,所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：设直线与曲线相切的切点为,由求导得,
于是,则,,
设,,求导得,
当时,,函数递减,当时,,函数递增,
因此当时,,
所以的最小值为.
故选：B.
7．答案：C
解析：对于A,因为抛物线C过点,所以抛物线C的方程为,线段长度的最小值为通径,所以A错误;
对于B,由定义知,轴,所以,
同理,所以,所以B错误;
对于C,设直线,与抛物线方程联立,得,
设,,则,,
因为,所以,A,O,三点共线,所以C正确;
对于D,设的中点为,则,,
取,可得,所以D错误
故选：C.
8．答案：D
解析：因为,则,
两式相减,得,
又当时,,故,
所以是以,的等比数列,则,
显然递减,要使得最小,即要使得n最大,
令,得.
若,则,;
若,则,;
若,则,
若,则,,;
若,则,,
则,
,
,,
故选：D.
9．答案：ABD
解析：是R上的奇函数,因此,故A正确;
由得,所以是它的一个周期,故B正确;
,而,故,故C错误;
,,因此,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
对于B项：设直线，与双曲线联立，得：，
设，,由根与系数关系得：，,
所以线段中点，
将直线，与渐近线联立得点S坐标为，
将直线与渐近线联立得点R坐标为，
所以线段中点，
所以线段与线段的中点重合，所以，故B项正确；
对于C项：由B项可得，,因为为定值，
当k越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷，
所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
对于D项：联立直线l与渐近线，解得，
联立直线l与渐近线，解得由题可知，，
所以即，
，解得，所以，故D项正确.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：对于A,假设,,,
由余弦定理易得,,,,,平面ACD1,则平面,因为平面,所以,则四边形ABCD是菱形,,A不正确;
对于B,由平行六面体得平面,所以四棱锥的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;
对于C,,,故,故C正确;
对于D,设,
,
当且仅当时,等号成立,所以的最小值为,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：BD
解析：对于A,因为,所以方程即,
设,则,令,得,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,所以方程不存在实数根,所以A错误.
对于B,因为,定义域为R,所以,
当时,由于,则,故恒成立,
所以在R上单调递减,所以B正确.
对于C,由上知,当时,令,解得.
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增.
综上,当时,在上单调递减,在上单调递增.
所以函数有最小值,即最小值在处取得,所以C错误.
对于D,由上知,
要证,即证,即证恒成立,
令,则.
令,则;令,则.
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,则恒成立,
所以当时,恒成立,D正确.
故选：BD.
13．答案：
解析：因为,所以由得,
因为关于x的不等式在区间上有解,所以,
当时,,当时,,
当且仅当时,等号成立,
综上的最大值为1,
故,即实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：273
解析：设公比为q,,
解得或,
因为是递增的等比数列,所以,
则.
故答案为：273.
15．答案：
解析：设圆台上、下底面圆心分别为,,则圆台内切球的球心O一定在的中点处,
设球O与母线切于M点,所以,所以 (R为球O的半径),
所以与全等, 所以,同理,
所以, ,所以,
所以圆台的内切球半径,内切球的表面积为.
故答案为：.
16．答案：
解析：,
设,由于,易知在上递增,且,
故.
法一:设在点处的切线斜率为,,即
切线,
由恒成立,可得,,
设,
,当时, ,
当时,
,的最大值为.
法二:设,,
当时,,当时,,
,即有,,下同法一.
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证法一：因为,
所以,
所以,即,
因为,,所以,
所以,即,
所以,
由正弦定理得,即;
证法二：因为,
所以,所以,
又因为,,
所以,所以,
所以,所以,
所以,
由正弦定理可得,即.
（2）由上可知,则,解得,
又因为,所以,
所以的取值范围是.
18．答案：（1）0.054
（2）
解析：（1）记事件选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件此人来自甲市,记事件此人来自乙市,记事件此人来自丙市,
,且E,F,G彼此互斥,
由题意可得,,,
,,,
由全概率公式可得
,所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054;
（2）由条件概率公式可得,
所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）0
解析：（1）因为,①
当时,,②
①②得：,即,
经检验符合上式,
所以数列是首项为3,公比为3的等比数列.
（2）由（1）知,所以,
,
所以
,
所以恒成立,即,
化简得：,
令,所以,
所以数列是递增数列,最小值为,
所以,故整数的最大值为0.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知,,由,所以,
所以,
即,所以椭圆的离心率;
（2）法一:由题意知,,,所以椭圆方程为+=1,
直线的斜率存在,设直线的斜率为k,
则直线方程为且,
设到直线的距离为,F到直线的距离为,
则,,
又, ,
所以,
由图可得,又因为,,所以,
又P在椭圆上,代入椭圆方程解得,因为,所以,
法二:由题意知,直线的斜率存在,设直线的斜率为k,则直线方程为且,
联立消去y得到方程,
所以,所以,
代入直线方程得,,
,
又因为,所以,
所以,解得,因为,所以.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）四边形是正方形,,
平面平面,平面平面,平面,
平面,
又平面,,
同理,
又,平面,平面,
平面.
（2）由(1)知,,,
,,两两垂直,
如图,以D为原点, 、、所在直线分别x、y、z轴,建立空间直角坐标系,
设,
则、、、、,
平面,
平面的一个法向量为,
设,
有,,
则,
设平面的法向量为,
则,取,则,,
故平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为,
则,
设,则,
①当时,,
②当时,
,
当时, ,故,
综上, ,
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为,,
由题意恒成立,即恒成立,
设,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
在处取得极大值,也是最大值,,
故;
（2）证法一：函数有两个极值点,由(1)可知,
设,则,是的两个零点,
,当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
所以,又因为,
所以,
要证,只需证,只需证,
其中,即证,
即证,
由,设,
则,,则,
设,
,
由(1)知,故,
所以,,即,在上递增,
,故成立,即;
证法二：
先证明引理:当时,,当时, ,
设,
,
所以在上递增,又,
当时,,当时,,
故引理得证,
因为函数有两个极值点,由(1)可知,
设,则是的两个零点,
,当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
所以,即,
要证,只需证,
因为,即证,
由引理可得,
化简可得①,
同理,
化简可得②,
由①-②可得 ,
因为,,所以,
即,从而.