长春市实验中学2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份长春市实验中学2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分120分，考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2. 把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
3. 2023年中国500强企业共投入研发费用元．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
5. 如图，是一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为110°，若屏幕的长度为，则上方边界处到桌面的距离为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
6. 如图，点E是的边CD的中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则的周长为( )
A. 5B. 7C. 10D. 14
答案：D
7. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，则的大小是（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
答案：C
8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：x2－9＝______．
答案：(x＋3)(x－3)
10. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________．
答案：##
11. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了304个充电桩，第三个月新建了684个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程_____．
答案：
12. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠时，测得∠DOE＝30°，则∠α＝____．
答案：75°
13. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为______厘米．

答案：36
14. “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头，卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为_____米．

答案：26
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
16. 为纪念杭州第19届亚运会成功举办，小东收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小东从中随机抽取一张卡片是“亚运会会徽”的概率是__________；
（2）小东从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用适当的方法求抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率．（这四张卡片依次分别用字母A，B，C，D表示）
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：事件所有可能性为4种，小佳从中随机抽取一张邮票是“亚运会会徽”的情况有1种，
即小佳从中随机抽取一张邮票是“亚运会会徽”的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：所有可能出现的结果列表如下：
由表可知：共有12种等可能的结果，其中恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的结果有2种，所以所求的概率为．
答：抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率为．
17. 某商场计划购进甲、乙两种玩具. 已知甲种玩具的单价与乙种玩具的单价和为40元，用900元购得甲种玩具的件数与用1500元购得乙种玩具的件数相同. 求甲种、乙种玩具的单价各是多少元？
答案：甲种玩具单价为15元，乙种玩具单价为25元
解：设每件甲种玩具进价为元，则每件乙种玩具进价为元.
由题意，得
整理，得
解这个整式方程，得，
经检验，是该分式方程的解，且符合题意，
∴
答：甲种玩具单价为15元，乙种玩具单价为25元.
18. 如图，在中，，以为直径的分别交于点．
（1）求证：点是的中点；
（2）若，求的度数．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
即点E为的中点；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中，在边上找一点，连接，使；
（2）在图②中，在边上找一点，连接，使；
（3）在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，使．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【小问1详解】
解：如图，取格点，连接交于点，即为所求，
，
由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点，
，
；
【小问2详解】
解：如图，取格点、，连接交于点，连接，即为所作，
，
由网格特点可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，即为所求，
，
由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点，
，
，
由网格特点可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
．
20. 某校初三年级为了了解本校学生在平时体育训练的效果，随机抽取了男、女各60名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：数据分为四个等级，分别是：
A：，B：，C：，D：
60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：
初三抽取的男生体考成绩条形统计图 初三抽取的女生体考成绩扇形统计图

男生成绩在组的前10名考生的分数为：
47.5，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45.
60名男生和60名女生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： _______， ______，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次考试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）
（3）若该年级有500名学生，请估计该年级所有参加体考的考生中，成绩为等级的考生人数．
答案：（1），，图见解析
（2）女生成绩较好，理由见解析
（3）成绩为等级的考生人数为人
【小问1详解】
解：男生成绩在组的前10名考生的分数从大到小为：47.5，47.5，47.5，47，47，47，46，45.5，45，45，男生成绩在的人数为人，
男生成绩处在第、位的数为、，这两个数的平均数为，
，
，
，
男生组有：（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：，；
【小问2详解】
解：女生成绩较好，
理由如下：男生和女生成绩的平均数一样，但女生成绩的中位数和众数都高于男生，故女生成绩较好；
【小问3详解】
解：女生成绩在组的人数为：，
成绩为等级的考生人数为：（人），
成绩为等级的考生人数为人．
21. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据：
在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
（2）请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式；
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午9:00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？
答案：（1）见解析 （2）
（3）圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午
【小问1详解】
解：描出各点，并连接，如图所示：
【小问2详解】
解：由（1）中图像可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为，
点，在该函数上，
，
解得：，
与的函数表达式为；
小问3详解】
解：当时，即，
解得：，
，
即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午．
22. 【问题发现】如图①，在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，连接， _______， ______（用含的代数式表示）；
【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，点为内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，求证：；
【结论应用】如图③，在【问题探究】的条件下，连接，，的最小值为____．
答案：问题发现：，；问题探究：见解析；结论应用：12
【详解】问题发现：
解：如图，作于，
中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：，；
问题探究：
证明：、为等边三角形，
，，
将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
；
结论应用：
解：如图，连接，
，
，
将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
当点、、、共线时，最小，
连接，作于，
，边长为，
，，
，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
23. 如图，在矩形中，，，E为边的中点，点P从点B出发沿射线以每秒6个单位的速度运动，Q为线段的中点，过点P作的垂线，过点Q作的平行线，两线交于点M，设点P运动的时间为t秒（）．
（1）直接写出线段的长；（用含t的代数式表示）
（2）当点M落在边上时，求t的值；
（3）当与矩形重合部分图形为四边形时，求t的取值范围；
（4）连接，作点B关于的对称点，连接，当时，直接写出t的值．
答案：（1）
（2）
（3）或；
（4）或
【小问1详解】
解：∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，Q为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
当点M落在上时，延长交于点N，
由（1）得：，
∴，
在中，，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，即，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：①如图，从点P与点E重合之后到点M落在边上，与矩形重合部分图形为四边形，
∴，
解得；
②如图，从经过点D到点Q与点E重合之前，与矩形重合部分图形为四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的取值范围是或；
【小问4详解】
∵，，
∴点射线上，
①当在线段上时，如图，
∵对称，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
②当在线段的延长线上时，如图，延长交于点，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
综上：或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，，点是抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，的取值范围是________；
（3）将抛物线在两点之间的部分（包括两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，当时，求的值；
（4）设抛物线与轴交于点，当时，直接写出点的坐标．
答案：（1）
（2）
（3）的值为或
（4）当时，点的坐标为或
【小问1详解】
解：抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，此时，
当时，，
当时，的取值范围是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：点是抛物线上一点，其横坐标为，
，
分种情况进行讨论，
当时，图象在处最大，在处最小，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
；
当时，图象在处最大，在处最小，
，
，
，
整理得：，
，
此方程无解；
当时，图象在顶点处最大，在处最小，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
；
综上所述，的值为或；
【小问4详解】
解：在中，当时，，
，
，
，，
，，
，，
，
当时，，
，
此时点和点的纵坐标相同，都为，
在中，令，
解得：，，
；
如图，作平分，交抛物线于，交轴于，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
；
综上所述，当时，点的坐标为或．
性别
平均数
中位数
众数
男生
47.5
47
女生
47.5
47
47.5
时间（小时）
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度（厘米）
6
10
14
18
22