河南省南阳市2024届高三（上）期末质量评估考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市2024届高三（上）期末质量评估考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，且，则实数n的值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或D.
【答案】C
【解析】由题意，所以，而，即，
所以或，解得或满足题意.
故选：C.
2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
，
所以，
所以，解得.
故选：D
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，所以的图象不关于轴对称，排除选项B，C，
又因为，排除A.
故选：D.
4. 在三棱锥中，，，，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设点到底面的距离为，
则，
要使该三棱锥的体积最大时,则需达到最大值,即,
即,面，
所以的斜边的中点为外接圆圆心，
因为，，所以,
如图所示，易得四边形为矩形，
所以，令棱锥外接球半径为R，
设，则
即，解得，
所以,解得，
所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选：C.
5. 反比例函数（）的图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】B
【解析】双曲线的对称轴是直线和，
它与对称轴交点是，，即为双曲线的顶点，
顶点到中心（原点）的距离为，即，
因此，，焦距为．
故选：B．
6. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，所以，又，
所以是等比数列，首项为1，公比为3，所以，
所以
故选：D
7. 抛物线E：的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】由，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A 在上，
设，， ，
由，得，切线斜率为，
故切线方程为，
又在直线，得，
得，所以，
所以，，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为.
故选：A
8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】由题意得有两个变号零点，
令，定义域为R，
则，
当时，恒成立，在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当时，令得，，令得，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
则，即，
令，，则，
令得，令得，
在上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
又，故的解集为，
此时当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
满足有2个变号零点.
故选：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误.
故选：AC
10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温满足：）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：）的记录如下：

根据上述记录，下列说法正确的有（ ）
A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日
B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在的概率为
【答案】ACD
【解析】因为某种作物要求最高气温满足：，
由图可知，10月6日的平均最高气温为，从10月18日起的平均最高气温均低于，
所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日，故选项A正确；
因为10月1日至10月10的最高气温分别为：，
其平均数为，
所以，
又10月1日至10月10的最低气温分别为：，
其平均数为，
所以，
故，所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，设“所选3天中日平均最高气温值都在”为事件，
易知，基本事件为，共个，
又由题图可以看出，事件中包含，，
，共10个，
所以，故选项D正确，
故选：ACD.
11. 用一个平面去截正方体，关于截面说法，正确的有（ ）
A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
【答案】ABD
【解析】由题意，在正方体中，
对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确；
对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确；
对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误；
对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确.
故选：ABD.

12. 设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则实数的取值范围为
B. 若，则实数的取值范围为
C. 若，则实数的取值范围为
D. 若，则实数的取值范围为
【答案】CD
【解析】令，则，作的图象如图所示：
所对应的方程为，
，
当时，则，故方程为，解为，此时关于函数有个零点，故A错误；
当时，方程有两个不相等的实根为：或，
若关于的函数恰好有个零点，
则只有一个零点，由图可知实数的取值范围为，故B错误；
若关于的函数恰好有个零点，
则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故C正确；
若关于的函数恰好有个零点，
则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故D正确；
故选：CD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 展开式中的系数为_____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】展开式的通项为，
令，得，
因此所求系数为．
故答案为：．
14. 若点在圆的外部，则实数a的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】由在圆的外部，
得，解得，或，
故答案为：
15. 某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）
【答案】
【解析】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步：
若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且；
若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且.
由加法原理得，易知，
可得，
所以小明不同的上楼方法共有种.
故答案为：.
16. 如图，点为内一点，，，，过点作直线分别交射线，于，两点，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】如图：
设，，则.
在中，由正弦定理得：；
同理，在中，.
所以
（当且仅当时取等号）
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．
（1）求内角A的大小；
（2）若，求面积的最大值．
解：（1）∵，，且，
∴，
∴由正弦定理得．
∵，∴，
∴，．
∵，∴．
（2）∵，
∴由余弦定理得，即．
∵，∴，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴面积有最大值，最大值为．
18. 已知数列满足，且．数列满足，的前n项和为．
（1）判断数列是否为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
解：（1）因为，
所以，
则．
所以，
又，所以，
故数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
得．
证明：（2）由(1)可得，所以．
当时，．
当时，．
所以
．
19. 如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
证明：（1）如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，
同理，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
解（2）由平面几何知识可知，，
以C为坐标原点，以，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
又平面的法向量为，
∴，
所以二面角的正弦值为．
20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；
（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？（精确到0.01）
（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．
解：（1）∵前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列
∴设，，，
∴，
解得，
∴，，．
居民月用水量在2～2.5内的频率为．
（2）由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定
（3）将频率视为概率，设A（单位：立方米）代表居民月用水量，
可知，
由题意，知，
，
，
，
．
∴X的分布列为
∵，
∴．
21. P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
解：（1） 设，则，，
由题意可得，，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）由（1）可知C：
假设存在常数n，使（常数），
设直线l：，代入C，整理得，
设，
则，
所以
整理化简得：对恒成立．
故，
∴，
∴或（舍去）
当直线l为x轴时
综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值）
22. 已知函数（），为的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
解：（1）由，得
依题意知：，所以 ，
所以
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，得，得，
在上单调递减，上单调递增．
证明：（2）依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，令，
则，
先证：，即要证：，
令，则，
∵，所以，所以在单调递增，
所以，即，
当时，，，
，
所以在单调递减，
所以
所以在单调递减，
所以
即，得证X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343