河北省唐县第一中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省唐县第一中学2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若,则在复平面内复数z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在正四棱锥中，，二面角大小为，则该四棱锥的体积为( )
A.4B.2C.D.
4．已知展开式各项系数之和为64,则展开式中的系数为( )
A.31B.30C.29D.28
5．赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )
A.30B.36C.60D.72
6．函数（，，）的部分图像如图，图像上的所有点向左平移个单位得到函数图像若对任意的图像都有，则图中a的值为( )
A.B.C.D.
7．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为( )
A.28B.29C.30D.31
8．已知椭圆的左、右焦点分别为,,P为椭圆上一点,且,若关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.一组样本数据的方差，则这组样本数据总和为60.
B.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23.
C.若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大.
D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16.
10．已知直线和圆相交于M,N两点,则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.的最小值为
C.的最小值为
D.圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个,则
11．已知函数及其导函数的定义域为R，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是( )
A.B.4是的一个周期
C.D.的图象关于点对称
三、填空题
12．若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是__________.
13．已知函数，，若关于x的不等式有解，则m的最小值是__________.
四、双空题
14．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点设，，记，则__________；若，的面积为，则当__________时，取最小值
五、解答题
15．某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：
(1)利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；
(2)试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异？
附：，
16．如图，在三棱柱中，平面平面，，D为的中点
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，，求的面积；
(2)若角C为钝角，求的取值范围
18．已知抛物线经过点，直线与E的交点为A，B，且直线与倾斜角互补
(1)求抛物线在点处的切线方程；
(2)求k的值；
(3)若，求面积的最大值
19．已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，.正项数列满足：.
(i)讨论单调性;
(ii)证明：；
(iii)证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,
故.
故选:B
2．答案：B
解析：因为,
所以,
故z对应的点位于复平面内第二象限.
故选：B.
3．答案：C
解析：如图，设P在底面的射影为O，则O为底面正方形的中心
过O作于H,则H为CD中点
连接PH,则,
二面角的平面角为,
又底面正方形边长为2，
,
该正四椥雉的体积为.
故选:C
4．答案：C
解析：中令得,解得,
展开式通项公式为,,,
当时,,当时,,
故展开式中的系数为.
故选:C
5．答案：C
解析：分两种情况讨论:
第一种:若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生
以后的顺序任意排，此种情况有
(种)排法;
第二种:若第一个出场的是女生(不是女生甲)
则将剩余
的2个女生排列好，2个男生插空，此种情况有
(种)排法;
所以一共有(种)排法
故选：C
6．答案：A
解析：由,得,
由题意可得为奇函数,
图象关于原点对称,可得函数的图象过点,
所以,
所以,
故,
又,得,
所以,
可得.
故选:A
7．答案：B
解析：数列的通项公式,
在其相邻两项之间插入个,
得到新的数列,记的前n项和为,
可得数列中元素依次为
在到之间3的个数为
,
故到处共有35个元素,
所以前30项中含及26个3,
可得
而,
故成立的最小的n为29.
故选:B
8．答案：B
解析：设关于平分线的对称点为M,则P,,M三点共线,
设,则,又,
所以为等边三角形,
所以,
又,
所以,,
在中,由余弦定理可得：,
即,
所以,
所以.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A,由方差的公式可知,该组数据的平均数是3,
这组样本数据的总和为,A正确；
对于B,数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数,
从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,
由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数
即
所以第70百分位数是23.5,故B错误；
对于C,某8个数的平均数为5,方差为2,
现又加入一个新数据5,
设此时这9个数的平均数为,方差为,
则，,故C错误；
对于D,样本数据，，…，的标准差为8,故数据，，…，的标准差为,故D正确；
故选:ABD.
10．答案：AC
解析：A选项,根据题意变形为,
故直线过定点,A正确;
B选项,由题意可知,当时,圆心到直线l的距离最大,此时最小,
其中,
此时,B错误;
C选项,的圆心为,半径,
,
因为的最小值为-1,所以的最小值为-9,C正确;
D选项,,因为圆C上到直线l的距离为的点恰好有三个,
所以圆心到直线的距离,
即,解得,D错误;
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：因为为偶函数，所以，
即，
而，故，
故，
又为偶函数，
所以，
即，
所以，
故
即，
，
所以4是的周期，故B正确.
对A，由两边求导得，
令得，解得，A正确；
对C，由上知，所以，
所以，C错误；
对D，因为，，
故，
故的图象关于对称，
故选：ABD
12．答案：
解析：命题"，"为假命题,
其非命题:"，"为真命题
,解得.
实数m的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：
解析：有解有解
有解,
令,则在上有解,
令,则,
在上是减函数,
在上是增函数
当时,等号成立,
m的最小值是.
故答案为:.
14．答案：；2
解析：由题意得：
所以，
所以
由三角形面积公式得：,
所以,
因为,
所以
当且仅当,即，时,等号成立，
此时
故.
故答案为:；2
15．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)由已知，解得，
所以列联表如下：
用分层抽样抽取6人，则男居民应抽取2人，女居民应抽取4人，
所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为；
(2)由，
所以在犯错的概率不超过0.05的前提下，
可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为D为的中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，
且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，，得，
因为，，
所以由勾股定理，得，
又，，
，平面，
所以平面.
(2)如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
可得，，
所以，
设平面的法向量为，
由，
令，得，所以.
由(1)知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因为，
则有，
因，，则，
且，故.
由余弦定理，，
代入得，，
因，则有，即得，
故的面积.
(2)由正弦定理，
可得，且，
代入化简得：.
因C为钝角，故由，
可得，
则，，即，
故的取值范围是
18．答案：(1)
(2)-1
(3)
解析：(1)由题意可知，，所以，
所以抛物线的方程为，
即，则，
则抛物线在P点的切线斜率为，
则切线方程为，
故切线方程为.
(2)如图所示：
设，，将直线l的方程代入，
得，
所以，，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
(3)由(1)(2)可知，，
所以，，
则，
因为，
所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为.
19．答案：(1)
(2)(i)答案见解析
(ii)证明见解析
(iii)证明见解析
解析：(1)正项数列中，，，，
当时，，
两式相减得，
即，
而，则，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为.
(2)(i)令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增。
(ii)因为，即，
于是，
即，
即，
当时，，
当时，
因此，
所以
(iii)由已知，
所以，得，
当时，，
于是，
当时，，
又，所以，恒有，
当时，，
由，得当时，，
则当时，，
从而
，
于是，
所以.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
男居民
女居民
合计
满意
25
60
不满意
a
2a
合计
90
男
女
合计
满意
35
25
60
不满意
10
20
30
合计
45
45
90