赤峰第四中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰第四中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合、集合,则( )
A.B.C.D.
2．“”是“且”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分条件D.既不充分也不必要条件
3．设,,则M与N的大小关系是( )
A.B.C.D.无法确定
4．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
5．已知集合,,,则的值可以是( )
A.B.C.D.
6．已知且,则的最小值为( ).
A.B.C.D.
7．关于的不等式的解集为,那么不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．设正实数a、b、c满足,则当取得最小值时,的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中是真命题的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“,都有”的否定是“,使得”
C.不等式成立的一个充分不必要条件是或
D.当时,方程组有无穷多解
10．下列说法中,正确的有( )
A.的最小值是2
B.的最小值是2
C.若a,b,,则
D.若a,b,,则
11．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是( )
A.若，则，
B.若，则关于x的不等式的解集也为M
C.若，则关于x的不等式的解集为或
D.若，为常数}，且，则的最小值为
三、填空题
12．命题“若,则”的否定为________.（用文字表达）
13．若关于的不等式的解集为,则实数的值为________
14．已知p：；q：；r：关于x的不等式()，若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________.
四、解答题
15．已知集合、集合.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)设命题；命题，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围
16．已知命题，，命题，.
(1)若命题p和命题有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.
17．已知实数a、b满足:.
（1）求和的最大值;
（2）求的最小值和最大值.
18．根据要求完成下列问题:
（1）已知a、,集合、集合、集合,则同时满足且的实数a、b是否存在?若存在,求出a、b的值;若不存在,请说明理由;
（2）已知m、,命题和是方程的两个实根,不等式对任意实数恒成立;命题:不等式有解;若命题p是真命题,命题q是假命题,求实数的取值范围.
19．根据要求完成下列问题：
(1)若、、.
①求证：；
②求证：；
③在②中的不等式中,能否找到一个代数式,满足所求式？若能,请直接写出该代数式；若不能,请说明理由.
(2)设x、,求证：成立的充要条件是.
参考答案
1．答案：B
解析：,,
.
故选:B.
2．答案：B
解析：同向不等式可以相加,所以“且”“”,必要性满足;
若时,取,,,此时且不成立,即充分性不成立;
则“”是“且”的必要不充分条件.
故选:B
3．答案：A
解析：因为,,
所以,
,
故选：A.
4．答案：D
解析：函数,令,
等价于,解得或,
所以函数的定义域为.
故选:D
5．答案：D
解析：由题意,集合,或,
所以或,
因为,结合选项可得.
故选:D.
6．答案：D
解析：由,可得,因为,可得,解得,
则,
设,,
由二次函数的性质,可得在上单调递增,
所以当时,函数取得最小值,最小值为,
即的最小值为3.
故选:D.
7．答案：C
解析：关于的不等式的解集为,
,,
可化为,即
,
,解得.
故选:C.
8．答案：D
解析：依题意,由,得,
当且仅当,即时等号成立,则,
因此,当且仅当时取等号,
所以当,,时,取得最大值4.
故选:D
9．答案：ACD
解析：对A,“”可以推出“”,而“”推出或者,所以“”是“”的充分不必要条件,故A正确;
对B,命题“,都有”的否定是“,使得”,故B错误;
对C,不等式成立,即或,所以不等式成立的一个充分不必要条件是或,故C正确;
对D,当时,方程组等价于,所以方程组有无穷多解,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：CD
解析：对于A,当时,,故A错误；
对于B,,当且仅当,即时取等号,显然不可能,故B错误；
对于C,由,可得,即,故C正确；
对于D,由a,b,,可知,,,
所以,故D正确.
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：A项，由题意知，
若，则无解，即恒成立，
故二次函数开口向下，且与x轴无交点，或有且仅有一个公共点，
故，，故A正确；
B项，由题意知，，设，
则，，，
设不等式的解集为N，
若，则不等式，
则，解集，故B错误；
C项，若一元二次不等式解集为，
则,2是方程的两根，
则由韦达定理知，且，
，不等式可化为，
即，由，解得或，
不等式的解集为或，故C正确；
D项，若一元二次不等式的解集为，为常数}，且，
故二次函数图象开口向上，且与x轴有且仅有一个公共点，
且，，
设，则，
则
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：若,则或.
解析：由题意知,命题的否定为:若,则或.
故答案为:若,则或.
13．答案：
解析：不等式即等价于不等式
,即,
令,解得,,,
因为不等式的解集为,
所以,且,解得.
故答案为:.
14．答案：
解析：由解得：，由解得：，
（1）当，由解得：，
若r是p的必要不充分条件，则，则①，
且r是q的充分不必要条件，则，则②，
由①②得：；
（2）当时，由解得：，若r是p的必要不充分条件，不成立，也不成立，不存在a值，
（3）当时，由解得：r为，不成立，不存在a值，综上，为所求.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知，
又，当时，
，解得，
当时，，
或，解得，
综上所述，实数m的取值范围为；
(2)∵命题p是命题q的必要不充分条件，
∴集合B是集合A的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），
解得，
综上所述，实数m的取值范围为.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）若命题p为真命题，即命，，所以，所以，若命题q为真命题，即，，所以，解得，
因为命题p和命题有且只有一个为假命题，
当命题p为假，命题为真时，解得；
当命题p为真，命题为假时，所以；
所以；
（2）若命题p和命题q都为假命题，则，即；
因为命题p和命题q至少有一个为真命题，所以或，即；
17．答案：（1）1,;
（2）最小值为6,最大值为30.
解析：（1）,,
,∴,,
当且仅当、或、时等号成立,的最大值为1,
,,
,
,,
,当且仅当、时等号成立,的最大值为;
（2）,,
,,即,
当且仅当、或、时等号成立,的最小值为6,
又,,即,
当且仅当、或、时等号成立,
的最大值为30.
18．答案：（1）存在,、或、
（2）
解析：（1）因为,
因为,则或或,
若,则,的值不存在;
若,则,解得;
若,则,无解;
综上所述:;
因为,则或或或,
若,则,解得;
若,则,无解;
若,则,无解;
若,则,解得;
综上所述,或;
所以存在a、b的值,当、或、时,满足、.
（2）因为、是方程的两个实根,则,
可得,
当时,,
由不等式对任意实数恒成立可得:,
即,解得或,
所以命题p为真命题时,,
命题q:不等式有解,
当时,原不等式一定有解,
当时,只需,解得,
不等式有解时,
又命题q是假命题,则,
所以命题p是真命题且命题q是假命题时,实数的取值范围为.
19．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到,
(2)证明见解析
解析：(1)①∵,且、,
∴,∴；
②∵,∴,
又,∴,
∴,
∴,
∵、,
∴,由①知,
∴,
∴；
③∵,,
∴或(只要写出其中一个即可)；
(2)①充分性：如果,则有和两种情况,
当时,当时,则、,等式成立,
当时,则、,等式成立,
当时,等式成立,
当时,即、或、,
当、时,、,等式成立,
当、时,、,等式成立,
∴当时,等式成立,
∴当时,成立,
②必要性：若且,则,
即,则,故,
综上所述,是等式成立的充要条件.